数列中的数学思想和方法

数列中的数学思想和方法

数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥 梁.能否有意识地正确运用数学思想方
法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志．数列中 蕴涵了许多重要的数学思想，下
面我们一起来看一看吧！
一、方程思想
方程思想就 是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数
列的通项公式、求 和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.
例
1
已知等差数列< br>{a
n
}
的公差
d
是正数，且
a
3
a
7
??12,

a
4
?a
6
??4< br>，
求其前
n
项和
S
n
。
解：由等差数列< br>{a
n
}
知：
a
3
?a
7
?a4
?a
6
，从而
a
3
a
7
??12, a
3
?a
7
??4
，
2
故
a
3
,a
7
是方程
x?4x?12?0
的两根，又
d?0
，解之，得：
a
3
??6,a
7
?2
。
?a
1
?2d??6
?
a
1
??10
?
?
再解方程组：
?
，
a?6d?2
d?2
?
?< br>1
所以
S
n
??10n?n(n?1)
。
<法一>

法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程 知三求二
点评：本题利用了< br>a
3
?a
7
?a
4
?a
6
这一性质 构造了二次方程巧妙的解出了
a
3
??6,a
7
?2
，再利 用
方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与
a
n
?a
m
?a
p
?a
q
（或
a
n
?a
m
?a
p
?a
q
） 找出解题的捷径。关注未知数的个数，关注独立方程的个
数。
点评基本量法：性质法 技巧

备用：设{a
n
}是公比大于1的等比数列，S
n
为数列 {a
n
}的前n项和．
已知S
3
＝7，且a
1
＋ 3,3a
2
，a
3
＋4构成等差数列．
(1)求数列{a
n
}的通项；
(2)令b
n
＝ln a
3n
＋
1
，n＝1,2，…，求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
解
?
a
＋a＋a＝7，
(1)由已知得< br>?
?a
＋3?＋?a＋4?
＝3a，
?
2
12313
2

解得a
2
＝2.
2
设数列{an
}的公比为q，由a
2
＝2，可得a
1
＝，a
3＝2q，
q
2
又S
3
＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2
－5q＋2＝0.
q
1
解得q
1
＝2，q
2
＝
.由题意得q＞1，∴q＝2，∴a
1
＝1.
2
故数 列{a
n
}的通项为a
n
＝2
n
－
1
.
(2)由于b
n
＝ln a
3n
＋
1
，n＝1,2，…，
由(1)得a
3n
＋
1
＝2
3n
，∴b
n
＝ln 2
3n
＝3nln 2.
又b
n
＋
1
－b
n
＝3ln 2，∴{b
n
}是等差数列，
n?b
1
＋b
n
? 3n?n＋1?
∴T
n
＝b
1
＋b
2
＋…＋bn
＝＝
·ln 2.
22
3n?n＋1?
故T
n
＝
ln 2.
2
1

小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之 一，注意到方程思想在数列间题中的应用.常可
以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。在等 差数列和等比数列中，通项公式a
n
和前n
项和公式S
n
共涉及五个 量：a
1
，a
n
，n，q(d)，S
n
，其中首项a
1
和公比q(公差d)为基本量，“知三求
二”是指将已知条件转换成关于a
1，a
n
，n，q(d)，S
n
的方程组，通过方程的思想解出需要的量．

二、函数思想
函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的 函数,以函数的观点认识理
解数列，是解决数列问题的有效方法.
例2、已知等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?29
，
S
10
?S
20
，则该数列前多少项的和最大？
寻求通项 ，借助数列的单调性解决
解：
10?920?19
d?20a
1
?d
，
22
又
a
1
?29
，
?d??2

S
10
?S
20
,?10a
1
?
?a
n
?29?(n?1)?(?2)??2n?31

n?15,n?N
?
，所以数列首项为正，公差为负，
前
15项为正，从第
16
项开始为负，所以前
15
项的和最大，
15?14
S
15
?15a
1
?d?225
。 < br>2
令
a
n
?0,
巧用等差数列下标的性质，关注数列的单调性
解：
S
10
?S
20
,?a
11
?a12
?a
13
?a
19
?a
20
?0
，
由等差数列下标的性质可得：
a
11
?a
12< br>?a
13
?a
19
?a
20
?5(a
15< br>?a
16
)?0
，
又
a
1
?29?0，
?a
15
?0,a
16
?0

?
当
n?15
时，
S
n
取得最大值。

又
a
1
?29
，
?d??2

?a
n
?29?(n?1)?(?2)??2n?31


n?15,n?N
?
，所以数列首项为正，公差为负，前
15
项为正，从第< br>16
项开始为负，
15?14
d?225
。 所以前
15项的和最大，且
S
15
?15a
1
?
2
令a
n
?0,

思路2：从函数的代数角度来分析数列问题
解：
10?920?19
d?20a
1
?d
，
22
又
a
1
?29
，
?d??2

n?(n?1)
?S
n
?na
1
?d??n
2
? 30n

2
??(n?15)
2
?225

?
当
n?15
时，
S
n
取得最大值
225
。
S
10
?S
20
,?10a
1
?

思路3：从函数图象入手，数形结合
解：设
S
n
?An
2
?Bn
，数列对应的图象是过原点的
抛物线上孤立的点，又
a
1< br>?29?0
，
S
10
?S
20
，
2

10?20
?15
且开口向下，
2

?
当
n?15
时，
S
n
取得最大值。
?
对称轴为
n?

四种方法的比较


设数列{
a
n
}的公差为
d
，
∵
S
10
＝
S
20
，
10×920×19
∴10×29＋
d
＝20×29＋
d
，
22
解得
d
＝－2，
∴
a
n
＝－2
n
＋31，
设这个数列的前
n
项和最大，
?
?
a
n
≥0，
则需
?

?
a
n
＋1
≤0，
?

?
－2
n
＋31≥0，
?
即
?

?
－
n
＋＋31≤0，
?
∴14.5≤
n
≤15.5，
*
∵
n
∈N，∴
n
＝15.
方法二 设数列{
a
n
}的公差为
d
，
∵
S
10
＝
S
20
，
10×920×19
∴10×29＋
d
＝20×29＋
d
，
22
解得
d
＝－2.

等差数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
n
＋(
a
1
－)
n
是关于
n
的不含常数项的二次函数，根据其图象的 对称
22
10＋20
性，由
S
10
＝
S
2 0
，知
x
＝＝15是其对称轴，
2
由
d
＝－2知二次函数的图象开口向下，
故
n
＝15时
S
n
最大．
备用：数列
?
a
n
?
中，
a
n
?
d
2
d
n
2
?1?n,n?N
?
，求数列
?
a
n
?
的最大项。.
小结：利用二次函数的性质解决等差数列的前n项和的最值问题，避免了复杂的运算过程. 数
列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑
采用函 数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一
特 殊性对问题结果可能造成影响．

三、分类讨论思想
复杂问题无法一次性解决,常 需分类研究,化整为零,各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论的
问题. 分类讨论是一种逻辑方法, 同时又是一种重要的解题策略,在数学解题中有广泛的应用.所谓
分类讨论,是在讨论对象明确的条件下 ,按照同一的分类标准,不重复、不遗漏、不越级的原则下进行
的.它体现了化整为零、积零为整的思想 与归类整理的方法.
例
3
、已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项的和
S
n
?3?2
n
，求
a< br>n
。
解：
(1)
当
n?1
时，
a
1
?s
1
?5
；
(2)
当
n?2
时，< br>a
n
?s
n
?s
n?1
?2
n
?2
n?1
?2
n?1
；
3

?
5??????n?1
综合
(1)

(2)
可知
a
n
?
?
n?1
。
?
2??n?2
点评：此例从分的体现了
a
n
与
s
n
的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是
a
n
?s
n
?s
n?1
中脚码
n?1
必须为正整数。
备用：已知数列
?< br>b
n
?
的前
n
项和
s
n
??n2
?18n
，
试求数列
b
n
的前
n
项和
T
n
的表达式.
分析:解题的关键是求出数列
?
b< br>n
?
的通项公式,并弄清数列
?
b
n
?
中各 项的符号以便化去
b
n
的绝
对值.故需分类探讨．
解:当n=1时 ,
b
1
?s
1
??1
2
?18?1?17
;
当n≥2时,
??
b
n
?s
n
?s
n?1
??n
2
?18n??
?
n?1
?
?18n ?19?2n
.
∴当1≤n≤9时,
b
n
?0
,当n≥10时,
b
n
?0
.从而
2
??
当1≤n≤9时,
T
n
=
b
1
?b
2
?????b
n

=
b
1
?b
2
?????b
n
?s
n
?? n
2
?18n
;
当n≥10时,
T
n
=
b
1
?b
2
?????b
n

=
b
1
?b
2
?????b
9
?b
10
? ???b
n
??s
n
?2s
9

n
2?18n?2(?9
2
?18?9)?n
2
?18n?162
.
2
?
?
?n?18n,(1?n?9)
∴
T
n=
?
2

?
?
n?18n?162,(n?10)

小结：数列中的分类讨论 多涉及对公差d、公比q、项数n的讨论,特别是对项数n的讨论成为
近几年高考的热点.

四、整体的思想
整体思想就是从整体着眼,通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后，达到简捷地解题
的目的.
例
4
、在等差数列
{a
n
}
中，已知
a< br>1
?a
4
?a
7
?9
，
a
2?a
5
?a
8
?15
，求
a
3
?a< br>6
?a
9
的值。

解：
a
2
?a
5
?a
8
?(a
1
?a
4
?a
7
)?3d
，
?d?2
，
?a
3
?a
6< br>?a
9
?(a
2
?a
5
?a
8
)? 3d?21




例4、在等比数列
{a
n}
中，
a
9
?a
10
?a(a?0)
，
a
19
?a
20
?b
，
则
a
99
?a
100
?
________.
a
19
＋a
20
10
b
分析 根据题设条件可知
＝q＝，
a
a
9
＋a
10
a< br>99
＋a
100
而＝q
90
，故可整体代入求解．
a
9
＋a
10
解析 设等比数列{a
n
}的公比为q，
4

a
19
＋a
20
b
则＝q
10
＝，
a
a
9
＋a
10
a
99
＋a
100
b
?
9
又＝q
90
＝(q
10
)
9
＝
?
?
a
?
，
a
9
＋a
10
b
?
9
b
9
?
故a
99
＋a
100
＝
?
a
?
(a
9
＋a
10
)＝< br>8
.
a
9
b
答案
8

a
小结：解决此题如果不把它与整体思想联系起来，那么直接解决要走很多弯路也不容易直接求
出它的准 确答案，因此此题应用了整体思想来解决了数列问题是非常重要的.
备用：已知数列
?
b
n
?
为等差数列，前
12
项和为
354
，前< br>12
项中
奇数项和与偶数项和之比为
27:32
,求公差
d
.
分析 :此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，计算量较大,注意考虑用整体思
想去解决,解法十分简捷 .
解:由题意令奇数项和为
27x
,偶数项和为
32x
.
因为：
s
12
?27x?32x?59x?354,
所以：
x?6
.
而
32x?27x?5x?30?6d,?d?5
.


五、转化与化归的思想
等价转化就是将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种 研究对象,使之成为大家熟悉的或
容易解决的问题.这是解决数列问题重要方法.
例5． 已 知数列
?
a
n
?
的首项
a
1
?1
，前
n
项和为
S
n
，且
S
n?1
?4a< br>n
?2(n?N
*
)
，求
?
a
n
?
的
通项公式。
分析与略解：当n≥2时，
S
n?1
?4a
n
?2
，
S
n
?4a
n?1
?2
。两式相减，得
a
n?1
?S
n?1
?S
n
?4 a
n
?4a
n?1
，
a
n?1
?2a
n
?2(a
n
?2a
n?1
)
。
可见
?< br>a
n?1
?2a
n
?
是公比为2的等比数列。
又
a
1
?a
2
?S
2
?4a
1
?2
，
a
1
?1
，
得
a
2
?5
，
则
a
2
?2a
1
?3
。
因此
a
n?1
?2a
n
?3?2
n?1
。
两边同除以
2
n?1
，得
a
n?1
a
n
3
?
n
?
（常数），
n?1
4
22a
1
1
3
?
a
?
?
可见
?< br>n
是首项为，公差为的等差数列。因此
n
?
4
22
2
??
a
n
13
??(n?1)

2
n
24
?
31
n?
，
44
从而
a
n
?(3n?1)2
n?2
。
评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随
着化归的 进行。问题降低了难度。

5

六、类比的思想方法
如：数列与函数、等差数列与一次函数、等比数列与指数函数以及等差数列与等比数列之间概念< br>和性质的类比等。类比等差数列的通项、性质、前n项和，可以得出对等比数列相应问题的研究；
类比函数概念、性质、表达式，可以得出对数列、等差数列、等比数列相应问题的研究。类比思想
的应用 是本章的主要特色。

还有一些重要的思想方法，如递推思想、从特殊到一般、数形结合、构造模型等思想方法。
数 列问题应用数学思想方法来解决非常重要，具体应用在数学解题中灵活多变，如果我们掌握
了数学思想方 法解题的一些常用技巧，在解决数列的时候认真分析，巧妙地应用八种数学思想方法
中的一种来解决，那 么解题就变得简单多了．在高中数学中，我们也可以应用这些思想方法来解决
相关数学问题.并且学好这 些思想方法我们也可以来解决其它数学知识方面的难点问题.

预习作业：
1．设 数列
{a
n
}
是公差不为零的等差数列，
S
n
为其 前
n
项和
(n?N
?
)
，
且
S
1
2
?9S
2
，
S
4
?4S
2
， 则数列
{a
n
}
的通项公式为________．
答案 a
n
＝36(2n－1)
解析 设等差数列{a
n
}的公差为d，
由前n项和的概念及已知条件得
a
2
1
＝9(2a
1
＋d)，
4a
1
＋6d＝4(2a
1
＋d )．
2
由②得 d＝2a
1
，代入①有a
1
＝36a
1
，












①
②
解得a
1
＝0或a
1
＝36.
将a
1
＝0舍去．因此a
1
＝36，d＝72，
故数列{a
n
}的通项公式为 a
n
＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1)．
2．若数列< br>{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?
3
2
29
n?n

(n?N
?
)
，
22
则此数列的通项公式为________；
数列
{na
n
}
中最小的项是第________项．


答案 a
n
＝3n－16 3
?
?
S
1
，n＝1，
864
解析 利用a
n
＝
?
求得a
n
＝3n－16. 则na
n
＝3n
2
－16n＝3[(n－
)
2
－
]，
39
?
?
S
n
－S
n
－
1
，n≥2
所以n＝3时，na
n
的值最小．


3、在 等比数列
{a
n
}
中，
a
9
?a
10?a(a?0)
，
a
19
?a
20
?b
，
则
a
99
?a
100
?
________.
总结方法比做题重要!
方法产生于具体数学内容的学习过程中.
祝同学们学习进步！


6