高中数学中的数形结合思想

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第十四讲 数形结合思想
基础知识点： < br>1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究
图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时
少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合 的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识
的基础上，注重对 数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，
可以有效提升思维 品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时 要与数学知识相
结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形 的数量表示，为
用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、
斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们
提供了 “数形结合”的知识平台。 < br>5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数
形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千
般好，数形分离万事休”。

经典例题剖析
1．选择题
2
?
x≥1，
?
x，
（1）（2007浙江）设
f(x)?
?< br>g(x)
是二次函数，若
f(g(x))
的值域是
?
0，∞?
?
，则
g(x)
?
?
x，x?1，
的值域是（ ）
A．
?
?∞，?1
?
C．
?
0，∞?
?

y
?
?

?
1，∞



B．
?
?∞，?1
?
D．
?
1，∞?< br>?

?
?

?
0，∞
1
。
O
1
图1
x
解析：因为
g(x)
是二次函 数，值域不会是A、B，画出函数
y?f(x)
的图像（图
1）易知，当
g( x)
值域是
?
0，∞?
?
时，
f(g(x))
的仁 政域是
?
0，∞?
?
，答案：C。
点评：本题考查函数的图像、定义域、值域，是高考的一个重点，考题多以小题形式出现。
（ 2）（2007黄冈模拟）平面直角坐标系中，若方程
m(x?y?2y?1)?(x?2y?3)表示椭圆，则实
数m的取值范围是 （ ）
222

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A.（0，5） B.（1，+
?
） C.（0，1） D.（5，+
?
）
解析：分析方程的结构特点，联想椭圆第二定义，可知应把左右两边分别化为两点间的距离和点到直
线的 距离：
mx
2
?(y?1)
2
?
|x?2y?3|
?5
，
5
x
2
?(y?1)
2
5
即< br>e???(0,1)
时表示椭圆，解得m>5,故选 D。
|x?2y?3|
m
5
点评：本题考查椭圆的第二定义，考查数形结合和综合运用解析几何知识分析解题的能力。
2．设A={x||x|=kx+1},若A∩R
+
=φ,A∩R
-
≠φ,求实数k的取值范围．
解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交 点的横坐标,结合图形知（如图2）,当直线y=kx+1
在角α范围内时,方程有负根,且没有正根, 故k≥1．
解法2:由题意须
?
?
x?0
①有解,
?x?kx?1
?
y=|x+1|

y=|x|

-1

y

?

x

?
x?0
②无解．
?
?
x?kx?1
?1
?0得k??1
;
k?1
1
②中k=1时无解,k≠0时,若
x??0即k?1,
则②有解,
1?k
①中k=-1时无解,
k??1时,x?
所以, k≥1．
o
1

图2
点评：解法1中，把方程解的讨论问题转化为两个函 数图像交点的问题，利用k的几何意义易得解，
这是最常用的方法，较之法2要简捷得多，体现了数形结 合的优越性。
3．设集全
A
算不同的组)。
解析：借助文氏图（图3）可 知，三个集合A、B、C把全集U分成
八个部分，需按1、3是否属于C分类，再把2、4、5三个数放 到如图中
①②③④⑤五个位置即可，每一种放法对应一个有序集合组。
按1、3是否属于C分四类：
(1)1、3
?
C; (2)1∈C且3
?
C;
(3)3∈C且1
?
C; (4)1、3∈C
共有5
3
×4=500种。
点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚，易于操作。
②
①
1,3
B
A
⑤
④
C
③
图3
BC?{1,2,3,4,5}
，且
AB?{1,3}
，求有 序集合组{A，B，C}的个数(不同的顺序
U

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?
4cos
2
x?3?0
4． 解三角不等式组
?

?
tanx?1?0
分析：利用三角函数的图像或三角函数线（如图4）求解,先求出 一个周
期上的解再写出全部。
5
?

6
y
?< br>4cos
2
x?3?0
?
?
cosx?
3
或 cosx??
3
?
?
解答：
?

22
?< br>tanx?1?0
?
?
tanx?1
由图得解集为：
{x|k
?
?
0
7
?

6
5
?

4
图4
?

4
?

6
x
?
?

6
?
6
?x?k
?
??
6
(k?Z)}

点评：三角函数图像和三角函数线，是处理三角函数 值大小问题的两个有力武器，用好它会使解题简
捷、高效。
5．已知xy＜0，并且4x-9 y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定
义域和值域；如果不能 ，请说明理由．
分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，反映了变量x、y之间的 对应关系，但还不一
定是函数关系，函数中一个x只能对应唯一确定的y，即图像上看不能有“上下重叠 ”的点。但加上条件
xy＜0呢？画出图形（如图5）则一目了然。
22
22
y
2
x
2
??1?0
解：
因为4x?9y?36
，故
49
22
y
解得
x??3或x?3
，
x?0x?0
或
又
xy?0?

y?0y?0
?< br>4
2
?x?4(x?3)
?
?
9
?y?f(x)?< br>?

4
?
x
2
?4(x??3)
?
?
9
??
O
x
图5
因此能确定一个函数关系y=f( x)．其定义域为(-∞，-3)∪)3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，
＋∞)．
点评：本例考查对函数概概念的理解，揭示了函数与解析几何中方程的内在联系——任何一个函数的解析式都可看作一个方程，但方程中x与y的对应关系未必是一个函数．要要处理好这个关系，又如： （2006全国I.20）在平面直角坐标系
xOy
中，有一个以
F
1< br>0,?3
和
F
2
0,3
为焦点、离心率为
????< br>3
的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与
x、 y
轴的交点分
2
别为A、B，且向量
OM?OA?OB
。求：

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（Ⅰ）点M的轨迹方程； [（Ⅱ）
OM
的最小值]。
y
2
?1
(x>0,y>0) 解:（I）……易得椭圆方程的方程为:
x?
4
2
下面想要通过导数确定过第一象限点P(x
0
,y
0
) （0 0
<1）切线的斜率，就要建立x与y的函数关系，
结合图形（如图6）可知：
y=21－x (0y??21?x
）
2
2
y
B
P
M
y'??
2x1?x
2
又
y
0
?21?x
0
,
y' |
x?x
0
??
2
4x
0
,
y
0
O
图6
A x
所以切线AB的方程为:
y??
4x
0
(x?x
0
)?y
0

y< br>0
2
y
0
14
2
?1
，设M（x,y) 从 而
A(,0),B(0,)
，又
x
0
?
x
0
y
0
4
14
→→→
由OM=OA+OB可得M的轨迹方程为：x
2
+
y
2
=1 (x>1,y>2)
6．已知关于x的实系数二次方程x
2
+ax+b=0有两个实数根α,β．证明:
(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│a│<4+b且│b│<4;
(Ⅱ)如果2│a│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2．
分析：借助函数 图像讨论方程的解是很直观有效的方法，由函数y=x
2
+ax+b的图像（如图7）易
知│α│<2,│β│<2,
f(?2)?0

y
证明：根据韦达定理│b│=│αβ│<4．
因为二次函数f(x)=x
2
+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2．
故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0, 2a>-(4+b);
4-2a+b>0, 2a<4+b．
∴2│a│<4+b．
(Ⅱ)由 2│a│<4+b 得 4+2a+b>0
即 2
2
+2a+b>0 f(2)>0． ①
及 4-2a+b>0 即 (-2)
2
+(-2)a+b>0,f(-2)>0． ②
由此可知f( x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外．若两根α,β均落在(-2,2)之 外,则与
│b│=│αβ│<4矛盾．
若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│ αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾．
综上所述α,β均落在(-2,2)内．
∴│α│<2,│β│<2．
-2
?

o
?

2
图7
x

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点评：这是1993年全国高考题的压轴题, 标准答案中给的第一解法是利用求根公式写出两根,再由已
知求出
?
的范围,再转化为 a、b的关系，有一定的难度。但是利用数形结合，由二次函数的图象讨论实
根分布问题，就容易多了， 其压轴功能就大打了折扣。
7．求函数
y?x?|x?a|?1
的值域。
分析：本题需要去绝对值化为分段函数，再按直线x=a相对于两个抛物线的对称轴的位置分类讨
论，借 助于图象可有效帮助解题。
2
?
?
x?x?a?1
解：
y ?f(x)?
?
2

?
?
x?x?a?1
2
1
2
3
?
(x?)??a(x?a)
?
?
24< br>?
?

?
(x?
1
)
2
?
3
?a(x?a)
?
?24
（1）当
a??
y
1
时，如图8知
2
13
y?f(?)??a

24
11
?a?
时，如图9
22
2
a
-1
_

图8

_

2

O

_
1

2

x
y

（2）当
?
知
y?f(a)?a?1


-1_

a
O

2

1

_
2

x
图9
1
时，如图10
2
13
知，
y?f()??a

24
13
综上所述：当
a??
时，值域为
[?a,??)

24
11
2
当
??a?
时，值域为
[a?1,??)

22
13
当
a?
时，值域为
[?a,??)

24
（3）当
a?
点评：分段去绝对值，数形结合，分类讨论。
y
-1

O

2
_

1
2

a
x
_

图10
8．（2006福建）已知函数
f(x)??x?8x,g(x)?6lnx?m.

（I）求
f(x)
在区间
?
t,t?1
?
上的最大 值
h(t);

（II）是否存在实数
m,
使得
y?f(x )
的图象与
y?g(x)
的图象有且只有三个不同的交点？若存在，
求出m
的取值范围；若不存在，说明理由。
2

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分析：本题是利用导数方法讨论单调性、最值和方程的解的问题，这些都离不开函数的图象， 要通过
画图或想着图一步步解答。
解：（I）
f(x)??x?8x??(x?4)?16.

y
当
t?4
时，（如图11）
f(x)
在
?
t,t?1
?
上单调递减，
22
h(t)?f(t)??t
2
?8t.

当
t ?4?t?1,
即
3?t?4
时，
h(t)?f(4)?16;
< br>当
t?1?4,
即
t?3
时，
f(x)
在
?
t,t?1
?
上单调递增，
图11
O
t
t+1
x
x=4
h(t)?f(t?1)??(t?1)
2< br>?8(t?1)??t
2
?6t?7;

?
?t
2
?6t?7,t?3,
?
3?t?4,
综上，
h(t)?
?
16,　　　　
?
?t
2
?8 t,　　t?4
?
（II）函数
y?f(x)
的图象与
y?g(x)
的图象有且只有三个不同的交点（如图12），即函数
?
(x)?g(x)?f(x)
的图象与
x
轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
?
(x)?x
2
?8x?6lnx?m,

62x
2
?8x?62(x?1)(x?3)
?
?
'(x)?2x?8???(x? 0),
xxx
当
x?(0,1)
时，
?
'(x)?0,?
(x)
是增函数；
当
x?(0,3)
时，
?
'(x)?0,
?
(x)
是减函数；
当
x?(3,??)
时，
?
'(x)?0,
?
(x)
是增函数；
图12
y
y
y=g(x)
O
x=4
x
当x?1,
或
x?3
时，
?
'(x)?0.

?
?
(x)
最大值
?
?
(1)?m?7,
?
(x)
最小值
?
?
(3)?m?6ln3?15.

当x
充分接近0时，
?
(x)?0,
当
x
充分大时，?
(x)?0.

?
要使
?
(x)
的图象与< br>x
轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
?
?
?
(x)
最大值
?m?7?0,
即
7?m?15?6ln3.

?
?
?
?
(x)< br>最小值
?m?6ln3?15?0,
所以存在实数
m
，使得函数
y?f(x)
与
y?g(x)
的图象有且只有三个不同的交点，
m
的取值范围为
(7,15?6ln3).

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点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方 法，考
查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

三、方法总结与高考预测
（一）方法总结
1．数形结合，数形转化常从一下几个方面：
（1）集合的运算及文氏图
（2）函数图象，导数的几何意义
（3）解析几何中方程的曲线
（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等； 2．取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元
转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。
（二）高考预测
1．在高考题中，数形结 合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，
把图象作为工具、载体，以此 寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是
选择、填空等小题。
2．从近三年全国高考卷来看，全国卷与其它省市卷相比，涉及数形结合的题目略少，预测20XX年
可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，
是对学生思维品质和数学技能的考查，是考纲明确的一个命题方向。

高考回顾
（一） 选择题
1．设集合
A?xx?2?2,x?R
，
B?y| y??x
2
,?1?x?2
，则
C
R
?
AB
?
等于（ ）
A．
R
B．
xx?R,x?0
C．
?
0
?
D．
?

2．（2007浙江）设
f
?
(x)
是函 数
f(x)
的导函数，将
y?f(x)
和
y?f
?
(x)
的图象画在同一个直角坐标系
中，不可能正确的是（ ）





O
A．
x
O
B．
x
O
C．
x
O
D．
x
y y y y

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3．（2007安徽）若对任意< br>x?R
，不等式
x≥ax
恒成立，则实数
a
的取值范围是（ ）
A．
a??1
B．
a≤1

22
C．
a?1
D．
a≥1

4．（2005福建）设
a,b?R,a?2b?6,则a?b
的最小值是 （ ）
A．
?22

2
B．
?
2
53

3
C．－3 D．
?
7

2
5．(2006湖南）若圆
x?y?4x?4 y?10?0
上至少有三个不同点到直线
l
:
ax?by?0
的距离 为
22
,
则直线
l
的倾斜角的取值范围是 ( )
A．[

6．（2007安徽）．函数
f(x)?3sin
?
2x?
①图象
C
关于直线
x?
②函数
f(x)
在 区间
?
?
??
124
,
] B．[
?
5
?
1212
,
] C．[
??
,]
D．
[0,]

632
?
?
?
?
?
?
的图象为
C
，
?
?
11
?
对称；
12
?
?5?
?
，
?
内是增函数；
?< br>????
?
③由
y?3sin2x
的图象向右平移
?
个单位长度可以得到图象
C
．
?
C．2 D．3
以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）
A．0 B．1
7．（2 007浙江）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，
使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水 龙头的喷洒范围都是关径
为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
Ａ．
3
Ｂ．
4
Ｃ．
5
Ｄ．
6

8．（2005辽宁）已知
y?f(x)
是定义在R上的单 调函数，实数
x
1
?x
2
,
?
??1,
，
?
?
x?
?
x
1
x
1
?
?
x
2
,
?
?
2
，若
|f(x
1
)?f(x
2
)|?|f(
?
)?f(
?
)|，则（ ）
1?
?
1?
?
A．
?
?0
B．
?
?0
C．
0?
?
?1
D．
?
?1

9．（2006北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区 间
(1,2)
上的任意
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
，
|f(x
1
)?f(x
2)|?|x
2
?x
1
|
恒成立”的只有 （ ）
（A）
f(x)?
1

x
（B）
f
?
x
?
?|x|

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（C）
f(x)?2

x
（D）
f(x)?x

2
10．（2006辽 宁）直线
y?2k
与曲线
9k
2
x
2
?y
2
?18k
2
x

(k?R,且k?0)
的公共点的个数为
（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
11．（2007天津）．在
R
上定义的函数
f(x)
是偶函数，且
f(x)?f(2?x)，若
f(x)
在区间
[1，2]
上是
减函数，则
f(x )
（ ）
Ａ．在区间
[?2，?1]
上是增函数，在区间
[3，4]
上是 增函数
Ｂ．在区间
[?2，?1]
上是增函数，在区间
[3，4]
上是减函数
Ｃ．在区间
[?2，?1]
上是减函数，在区间
[3，4]上是增函数
Ｄ．在区间
[?2，?1]
上是减函数，在区间
[3，4]
上是减函数
12．（2007全国II）．设
F
为抛物线
y?4x
的焦点，
A
若
FA?FB?FC?0
，
，B，C
为 该抛物线上三点，
则
FA?FB?FC?
（ ）
A．9

（二） 填空题
1．若关于x的方程
x? 4|x|?5?m
有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为____。
2．（2006浙 江）对
a,b?R
,记则
max
?
a,b
?
??
2
2
B．6 C．4 D．3
?
a,a?b
则函数
?
b,a＜b
f
?
x
?
?max
?
x?1,x?2
?
?
x?R
?
的最小值是 ．
3．（2006湖北）关于x的方程(x
2
-1)< br>2
-|x
2
-1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是________
4． 设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪( 0，+∞)且在(0，+∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式f［x(x-
＜0的解集是____ __________
（三） 解答题
1
)］
2

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1．若不等 式
2x?1?m(x
2
?1)对满足m?2
的所有m都成立。求x的取值范围 。
1?x
2
2．求函数
y?
的最大值。
2?x


3．（2006春上海） 设函数
f(x)?x
2
?4x?5
．
（1）在区间
[?2,6]
上画出函数
f(x)
的图像；
（2）设集合
A?
?
xf(x)?5
?
,
并给出证明； < br>（3）当
k?2
时，求证：在区间
[?1,5]
上，
y?kx ?3k
的图像位于函数
f(x)
图像的上方．
B?(??,?2]?[0,4]?[6,??)
． 试判断集合
A
和
B
之间的关系，


4． 已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：

cos
2
?
?
?
2
c
2
?
2
．
a?b
2
5． 已知二次函数y=f< br>1
（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f
2
（x）的 图象与直线y=x
的两个交点间的距离为8，f（x）=f
1
（x）+f
2< br>（x）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．
6．（2006浙江）设f(x)=3ax
2
+2bx+c,若a+b+c=0, ,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜

（四）
1．
求函数u?
创新试题
a
＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根．
b
2t?4?6?t的最值。

2． 设函数
f(x)
＝
a
ｘ
2
+8x+3 (
a<0),对于给定的负数
a
，有一个最大的正数
l(a)
，使得在整个区 间［０，

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l(a)
］上，不 等式｜
f(x)
｜≤５都成立。问
a
为何值时
l(a)
最大 ？求出这个最大的
l(a)
，证明你的结论。

解析答案：
选择题：1-12：ADCCB CBAAD BB
填空题：
1．画出< br>y?x
2
?4|x|?5和y?m
的图象可知，有四个交点则
m?(1 ，5)
；
2．解析：由
x?1?x?2?
?
x?1
?
?
?
x?2
?
?x?
22
1
，
2
y=|x-2|
?
?
x?1
?
f
?< br>x
?
?
?
?
x?2
?
?
?
?
x?
?
1
?
?
2
?
y

y=|x+1|

|

1
??
x?
??< br>2
??
如右图
f
min
?
x
?
?f
?
?
1
?
3
?
?

?
2
?
2
-1

o
2

x

3．设u=x
2
-1,化原式为：
|u|
2< br>?|u|??k
，
画出函数
y?|u|
2
?|u|
的图象，看使u≥-1的解的个数，可知假命题的个数为0。
4．解析：由已知画出y=f(x)的图象可知：
当x∈(-1，0)∪(1，+∞)时f(x)＞0
当x∈（-∞，-1）∪(0，1)时 f(x)＜0
-1 O 1 x
y
1111
)=(x-)
2
-≥-＞-1
241616
1
∴f〔x(x-)〕＜0成立，则必有
2
又x(x-
0＜x(x-

解答题
1?171?17
11
)＜1,解之得：＜x＜0或＜x＜
44
2 2
1．解：原不等式化为（x
2
-1）m-（2x-1）＜0记f（m）=（x
2
-1）m-（2x-1）
（-2≤m≤2），其图像是线段。结合图像和题意知，只须：
f（-2）=-2（x
2
-1）-（2x-1）＜0
f（2）=2（x
2
-1）-（2x-1）＜0
即 2x
2
+2x-3＞0
2x
2
-2x-1＜0
解之，x的取值范围为
?1?71?3
?x?

22

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2．解：由定义知1-x
2
≥0且2+x≠0
∴ -1≤x≤1，故可设x =cosθ，θ∈[0，π]，则有
y?
sin?sin??0
可看作是动点M（co s
?
cos??2cos??(?2)
?
x?cos?
θ，sinθ ）(θ∈[0，π])与定点A（-2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程
?
，θ∈[0， π]，
y?sin?
?
即x
2
+y
2
=1（y∈[ 0，1]是半圆。
设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2
∴
k
AT
?
1
3
，∴0≤k
AM
≤
1
3

即函数的值域为[0，
3．解:（1）






33
]，故最大值为。
33
（2）方程< br>f(x)?5
的解分别是
2?14,0,
递减，在
[?1,2]
和
[5,??)
上单调递增，因此
4
和
2?14
，由于
f(x)
在
(??,?1]
和
[2,5]
上单调
A ???,2?14?[0,4]?2?14,??
．
由于
2?14?6,2?14??2,?B?A
．
（3）解法一：当
x?[?1,5]
时，
f(x)??x
2
?4x?5
．

g(x)?k(x?3)?(?x
2
?4x?5)


?x
2
?(k?4)x?(3k?5)

?
??
?
4?k
?
k
2
?20k?36
?

?
?
x?
，
?
?
24
??
2< br>?k?2,?
4?k
?1
． 又
?1?x?5
，
2
4?k4?k
① 当
?1?
，
?1
，即2?k?6
时，取
x?
22
k
2
?20k?3612

g(x)
min
????
?
k?10
?
?64
．
44
??
?16?(k?10)
2< br>?64,?(k?10)
2
?64?0
，

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则
g(x)
min
?0
．
② 当
4?k
??1
，即
k?6
时，取
x??1
，
g(x)
min
＝
2k?0
．
2
由 ① 、②可知，当
k?2
时，
g(x)?0
，
x?[?1,5]
．
因此，在区间
[?1,5]
上，
y?k(x?3)
的图 像位于函数
f(x)
图像的上方．
解法二：当
x?[?1,5]时，
f(x)??x
2
?4x?5
．
?
y?k(x?3),
由
?
得
x
2
?(k?4)x?(3k?5)?0
，
2
?
y??x?4x?5,
令
??(k?4)
2
?4(3k?5)?0
，解得
k?2
或
k?18
，
在区间
[?1,5]
上，当
k?2
时，
y?2(x?3)
的图像与函数
f(x)
的图像 只交于一点
(1,8)
；当
k?18
时，
y?18(x?3)
的图像与函数
f(x)
的图像没有交点．
如图可知，由于直线
y?k(x ?3)
过点
(?3,0)
，当
k?2
时，直线
y?k(x? 3)
是由直线
y?2(x?3)
绕
点
(?3,0)
逆时针方 向旋转得到． 因此，在区间
[?1,5]
上，
y?k(x?3)
的图像位于 函数
f(x)
图像的上
方．
4．分析：解决此题的关键在于由条件式的结 构联想到直线方程．进而由A、B两点坐标特点知其在单
位圆上．还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题．
证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,
sinβ）是 直线l:ax+by=c与单位圆x
2
+y
2
=1的两个交点如图．
从而：｜AB｜
2
=(cosα–cosβ)
2
+(sinα–sinβ)
2

=2–2cos(α–β)
又∵单位圆的圆心到直线l的距离
d?
|c|
a?b
22

由平面几何知识知｜OA｜
2
–(
1
｜AB｜)
2
=d
2
即
2
2?2cos(
?
?
?
)c
2
2
1??d?
2

4
a?b
∴
cos

5．分析 用数形结合思想求f（x）－f（a）=0解的个数．
解 （1）由已知，设f
1
（x）=bx
2
，由f
1
（x）=1，
设f
2
（x ）=
b=1．∴f
1
（x）=x
2
．
分别为A（k，k） ，
2
?
?
?
2
c
2
?
2
．
a?b
2
k
（k＞0），则其图象与直线y=x的交点
x

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B（－k，－k），由|AB|=8，得k=8，
88
，故f（x）=x
2
+．
xx
88
（2）由 f（x）=f（a），得x
2
+=a
2
+，
xa
88
即=－x
2
+a
2
+．
xa< br>88
在同一坐标系内作出f
2
（x）=和f
3
（x）=－x< br>2
+a
2
+的大致图象（如图所示），其中f
2
（x）的图< br>xa
8
象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f
3
（ x）的图象是以（0，a
2
+）为顶点，开口向
a
∴f
2
（ x）=
下的抛物线．f
2
（x）与f
3
（x）的图象在第三象限有一 个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵f
2
（2）=4，f
3
（2）=－4+a
2
+
f
3
（2）－f
2
（2）=a
2
+
8
，当a＞3时，
a
8
－8＞0，
a
∴当a＞3时，在f
3
（x） 第一象限的图象上存在一点（2，f
3
（2））在f
2
（x）图象的上方．
∴f
2
（x）与f
3
（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x ）=f（a）有两个正数解．
故方程f（x）=f（a）有三个实数解．
6．证明：（I）因为f(0)>0,f(1)>0，所以c>0,3a+2b+c>0
由条件
a?b?c?0
，消去
b
，得
a?c?0
；
由条件
a?b?c?0
，消去
c
，得
a?b?0
，
2a?b?0
．
故
?2?
b
??1
．
a
2
b3ac?b
2
,)
， （II）抛物线
f( x)?3ax?2bx?c
的顶点坐标为
(?
3a3a
在
?2?b11b2
??1
的两边乘以
?
，得
???
．
a333a3
又因为
f(0)?0,f(1)?0,

ba
2
?c
2
?ac
?0,
而
f(?) ??
3a3a
所以方程
f(x)?0
在区间
(0,?
bb< br>)
与
(?,1)
内分别有一实根
3a3a
故方程
f(x)?0
在
(0,1)
内有两个实根．

创新试题
1．解：
设x?2t?4，y?6?t，则u?x?y

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且x
2
?2y
2
?16(0?x?4，0?y?22)

所给函数化为以u为参数的直线方程y??x?u
，
它与椭圆
x
2
?2y
2
?16
在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）
u
min
?22

相切于第一象限时，u取最大值
?
y??x?u
22
?3x?4ux?2u?16?0

?
22
?
x?2y?16
解???，得u?±26，取u?26

∴u
max
?26

4
2
1616
)?3 ?
，∵
a
<０∴
f(x)
max
=
3?

aaa
164
当
3?
>５，即－８<
a
<０时，０ <
l(a)
<－ （如图１）
aa
2．解：
f(x)
＝
a(x?
∴
l(a)
是方程
a
ｘ
2
+8x +3＝５的较小根
l(a)?






５
o
l(a)

图１
?8?64?8a
21
?
＝
2a
16?2a?4
2
ｙ
ｙ
Ｏ
l(a)
x
x
-5
图２
3?
164
≤５，即
a
≤－８时，
l(a)
>－ （如图２）
aa
?8?64?8a
＝
2a
∴
l(a)是方程
a
ｘ
2
+8x+3＝－５的较大根
l(a)?
4
4?2a?2
?
4
20?2
＝
5?15?1
1，当且仅当
a
＝－８时等号成立，由于>，
22
2
因此当且仅 当
a
＝－８时，
l(a)
取最大值
5?1
。
2< br>点评：本题是典型的函数、方程、不等式的综合问题，数形结合利于开拓思路，找到解决办法。

五、复习建议
1．加强对数学概念的复习，深刻理解定义以及数、式的几何意义，真正夯实双基；

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2．加强作图能力的训练，解题先想图，以图助解题，养成数形结合的习惯；
3．注意知识间 的联系、综合与交汇，提倡一题多问，一题多解，多题一解，培养发散思维和归纳概
括的习惯，重视数学 思想方法在解综合题中的指导作用。