数形结合的数学思想方法剖析与应用

浅析数形结合的数学思想方法

熊仕权
（南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，江苏 泰州 225300）

摘要： 数形结合即数形渗透，两者相互推进，层层深入，这样就能使复杂问题简单化，抽象问
题直观化，是中学 数学中常见的解题思想和方法。本文首先对数形结合思想的方法进行了剖析，
然后通过具体的实例研究了 数形结合思想在中学数学中的应用。
关键词：数形结合；思想方法；中学数学

1.引言
记得我国著名数学家华罗庚说过这样一句话：“数缺形时少直观，形少数时 难入微，数形结
合百般好”。所谓数形结合就是根据“数”与“形”之间的对应关系，通过“数”与“形 ”的相
互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。数形结合既是一种思想，也是一种方法，它是中学数学中一种重要的解题思想和策略，数形结合具有直观、形象、生动等优点，在有些题型
中，运 用数形结合的思想解题还能避开繁琐的讨论，减少运算量，大大的简化了解题过程。
数形结合的思想可 以使某些抽象思维变为形象思维，有助于把握数学问题的本质，由于使
用了数形结合的方法，很多问题便 迎刃而解，并且解法很简单。 在解决数学问题时，将抽象的
数学语言同直观的数形相结合，实现抽象的 概念与具体形象的联系和转化，使“数”与“形”
的信息相互渗透，这样可以开拓我们的解题思路，使许 多数学问题简单化。“数”与“形”可以
看成是一对矛盾，它包含以“数”助“形”和以“形”助“数” 两个方向，数形结合的思想应
用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面，它 渗透与中学教材之
中。中学数学中常常用到数形结合的内容有：数轴上的点与实数的对应关系、函数与图 像的关
系、曲线与方程的关系、部分不等式与代数式的关系等等。数形结合的思想方法在解方程和不等式、函数（包括三角函数）、解析几何中即能直观的发现解题途径也能避免复杂的计算，简化
解题 过程，这对于毕业班的学生来说在考试时有很大的帮助。
数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图形 结合起来，通过“数”与“形”之间的对应
关系和转换来解决数学问题。在中学中主要以“数”转化为“ 形”和“形”转化为“数”这两
种关系。“数”与“形”是一种对应关系。“形”具有形象、直观、简洁 明快的优点，能表达具
体思维，起着解决问题的关键。但部分比较抽象的数量难以把握，这就需要我们把 与数量关系
相对应的图形找出来，利用图形来解决问题。我们把数量问题转化为图形，并通过对图形的分
析最终解决数量关系的方法叫图形转化法。这其中数量问题图形化是图形分析法的条件。对于
“ 数”转化为“形”这类题目的基本解题思路：弄清题目所给的条件和所求的目的，从条件或
结论出发，构 造出相对应的图形，再利用构造出的图形的性质、几何意义等再联系所要求的目
标去解决问题。“形”虽 然有形象、直观、简洁明快等优点，但对于定量分析还得借助于代数的
计算，特别是比较复杂的图形，不 但要正确的把图形信息转化为数字信息，还要观察图形的特
点，发掘题目中的隐含条件，充分的利用图形 的性质和几何意义进行计算。对于这类题目的解
题思路：明确题目中所给的条件和所求的目标，分析所给 的条件和所求的目标的性质和特点，
理解条件和目标在图形中的几何意义，正确将题目中的图形信息转化 为代数信息，再利用条件
与结论的联系，运用定理或公式解决问题。

2. 数形结合的思想方法在中学数学中的应用
2.1解决函数问题
利用图像研究函数的性质是常 用的方法，函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现
了数形结合的特征与方法。

例1 求函数
y?

解：借助
x
2
?1?x
2
?4x?8
的最小值.
两点间的距离公可化为：
令
x
2
?1?x
2
?4x ?8?(x?0)
2
?(0?1)
2
?(x?2)
2
?(0 ?2)
2
A(0,1)
,
B(2,2)
,
C(x,0)，则问题转化为在
x
轴上求一点
C
，使
CA?CB
有最 小值.如图1，
由于
AB
在
x
轴的同侧，故取
A
关 于
x
轴的对称点
D(0,?1)
,则
(CA?CB)
min
?DB?(2?0)
2
?(2?1)
2
?13
,即函数y?x
2
?1?x
2
?4x?8
的最
小值为
1 3
。
















2.2解决方程或不等式问题
2.2.1在处理方程时，把方程的根的问题看作是图象的交点问题；
22
例2，如果方程< br>x?2ax?k?0
的两个实根在方程
x?2ax?a?4?0
的两实根之间， 试求
a
与
k
应满足的关系.
22
解：画出对应 的二次函数
y
1
?x?2ax?k
,
y
2
?x?2 ax?a?4
的草图，这两个函数图
像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线（如图 2），要使方程
x?2ax?k?0
的
2
两实根在方程
x?2ax? a?4?0
的两实根之间，则对应的函数图像
y
1
与
x
轴的 交点应在函数
图像
y
2
与
x
轴的交点之内，她等价于抛物线
y
1
的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线
y
2
的顶点
2
-a?k)，P
2
(-a，-a?a?4)
,故纵坐标，由配方法知y
1
与
y
2
的顶点坐标分别为:
P
1
(-a，
22
?a
2
?a?4??a
2
?k?0
, 即可以求出
a
与
k
的关系为：
a?4?k?a
2
。

2.2.2在处理不等式时，联系相关函数，分析其几何意义，从图形 上找解决题目
的思路。
例3，解不等式
5?4x?x?x

解：作 直线
y?x
和半圆弧
y?
2
5?4x?x
2
的图像 ，由
5?4x?x
2
?x
知
x?
14?2
，由2
直线和半圆弧的位置关系即可知原不等式的解为：
(?5,


















14?2
)
。
2
2.3解决三角函数问题
在解决三角函数单调区间的确定或比较三角函数值 的大小等问题时，数形结合思想是处理三
角函数的重要方法。


例4，求
y?
解：
y
的结构类似于斜率公式，故可视为定点
M(2,1)与单位圆上的动点
N(cosx,sinx)
连线的
斜率，如图4，当
M N
与单位圆相切时，切线的斜率取值就是所求函数的最值，由图可知：
sinx?1
的 最值。
cosx?2
0?k
MN
?
44
,故可知
y
的最值为：
y
min
?0
,
y
max
?
。
33

2.4解决解析几何问题
解析几何的基本思想就是数形结合，在 解题中善于将数形结合的数形思想运用于对曲线的性
质及相互关系进行研究中。
x
2
y
2
例5，椭圆
??1
的焦点为
F
1
，F
2
，点
P
为其上的动点，当
?F
1
PF
2
为钝角时，点
P
的横
94
坐标的取值范围为 。
解：如图5，由题意可知，点P在以
F
1
F
2
为直径的 圆的内部且在椭圆上时，
?F
2
PF
2
为钝

?
x
2
y
2
?1
35
?
?
角，则解方程组
?
9
得圆与椭圆的交点横坐标
x??
，所以点P的 横
4
5
?
x
2
?y
2
?5
?< br>
坐标的取值范围是：
?
3535
?x?
。
55

三．总结

数形结合思想在中学数学中占有非常重要的地位，其“数”与“形 ”的结合，把代数式与几
何图形相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结 合.应用数形结
合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示 其几
何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决，运用这一数学
思想，必须熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，才能熟练的运用这一
思想。
[参考文献]
[1].邱海泉.浅谈数形结合思想在高中数学的几点应用[J],2005,3.
[2].姚立新.数形结合的数学思想方法在解题中的应用[J],2005,1
作者简介：熊仕权(1990-)，男，贵州德江人，理学学士，研究方向：数学教育学。
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