函数与方程的思想方法在高考解题的应用

函数与方程的思想方法在高考解题中的应用
第七小组
李季、徐娜、王思雨、
魏晓姗、李炳玉、雷思然


数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对 数学的规律性的
理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知
识 的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综
合和渗透的能力。《考试大纲 》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密
性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知 识的纵向联系和横向联
系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思
想方法的考查是对数 学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要
与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映 考生对数学思想方法的掌握程
度”。
所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应 的思想，去分析和
研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性
质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本
质认识，用于指导解题就是 要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问
题。
所谓方程的思想就是分析数学问题中变 量间的等量关系，建立方程或方程
组，或者构造方程，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转 化问题使
问题获得解决，方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方
程或方程 观点观察处理问题。函数思想与方程思想是密不可分的，可以相互转
化的。
函数和方程的思想 是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学
中，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及 解析几何都可以归结为函数，
尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重 函
数与方程的思想是相当重要的．在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方
法的重点来考查 的，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而
在解答题中，则从更深的层次，在知识的网 络的交汇处，从思想方法与相关能
力相综合的角度进行深入考查。
本文通过以下例题说明这种思想方法在解高考题中的应用：

题型一 利用函数与方程的性质解题

例1．（2008安徽卷，理,11）若函数
f(x), g(x)
分别是
R
上的奇函数、偶函数，且满足
f(x)?g(x)?ex
，则有（ ）
A．
f(2)?f(3)?g(0)
B．
g(0)?f(3)?f(2)

C．
f(2)?g(0)?f(3)
D．
g(0)?f(2)?f(3)

分析：要比较函数值的大小，就要由已知条件求 得函数解析式，本题中的
f(x),g(x)
都未
知，只有一个等式，就需要我们再挖 掘一个等式，由函数的奇偶性容易想到用
?x
替换
x
，
从而得到两个 方程组成方程组解出。
x?x
解：因为
f(x)?g(x)?e
，用
?x
替换
x
得：
f(?x)?g(?x)?e,
因为函数
f(x),g(x)
分别是
R
上的奇函数、偶函数，所以
f(x)?g(x )??e
，又
f(x)?g(x)?e

?xx

e< br>x
?e
?x
e
?x
?e
x
解得：
f (x)?
，而
f(x)
单调递增且
f
?
0
?
?0
，∴
g,x(??)
22
f
?
3
?
?f
?
20
0，而
g(0)??1
，故选
D
。
?
?
大于等于
答案：
D

评注：本题中利用函数的 性质再得一方程，通过解方程组求得函数的解析式，再回归到函
数的单调性比较函数值的大小关系，是函 数与方程的较好得结合。

题型二 构造函数或方程解题

例2. (2 008天津卷，理，16）设
a?1
，若仅有一个常数c使得对于任意的
x?
?
a,2a
?
，都
2
?
x?lo
a
gy? c
，这时，
a
的取值的集合有
y?
?
?
a,a?
满足方程
lo
a
g
为 。
分析:题目给出的方程中含有
x,y,a,c
等多个字母，而条件中是对任意的< br>x?
?
a,2a
?
都有
2
?
，这使我们联想 到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于
y
的函数，
y?
?
a,a
??
再进一步研究函数的性质。
a
c
解：由已知
log
a
x?log
a
y?c
，得
y?
（其中x?[a,2a]
），函数为反比例函数，在
x
a
c?1
c?1
?
a,2a
?
（
a?1
）上为单调递减，所以当
x ?[a,2a]
时，
y?[,a]
又因为对于任意的
2
?
a
c?1
?a
?
c?2?log
a
2
?
2< br>?
，所以
?
2
x?
?
a,2a
?
， 都有
y?
?
，因为有且只有一个常
?
a,a
?
??
?
c?3
?
a
c?1
?a
2
?
数
c
符合题意，所以
2?log
a
2?3
，解得
a? 2
，所以
a
的取值的集合为
{2}
。
答案：
{2}

评注:本题看似方程问题，实质是函数问题，通过分析、转化 为函数，并运用函数的性质将
问题转化为不等式组解出。本题中自觉地、巧妙地运用函数的思想来指导解 答问题。

题型三 函数与方程、不等式的转化

例3．（2008广东 卷，理14)已知
a?R
，若关于
x
的方程
x?x?a?
2
1
?a?0
有实根，
4
则
a
的取值范围是 ．
分析：求参数
a
的范围，可以先将
a
分离出来，表示为
x
的函数，求出函数的值域，进而得
到参数
a
的范围
11
?
11
?
解：方程即
a??a??x
2
?x??
?
x?
?
??[0,]
,利用绝对值的几何意义,得
42
?< br>44
?
a?
111
?
1
?
?a?a??a?
，可得实数
a
的取值范围为
?
0,
?

4 44
?
4
?
2
评注：本题将方程转化为函数，利用函数的值域得到< br>a
的不等式，求得参数
a
的范围。
例4．（福建德化一中2008， 理）若关于x的方程
x+2kx-1=0
的两根
x
1
、x
2
满足
2
-1?x
1
<02
2
，则k的 取值范围是（ ）

A．
(-
3
,0)

4
B．
(-
3
,0]

4
C．
(0,)

3
4
D．
[0,)

3
4
分析：本题是研究二次方程的实根分布问题，可以转化为二次函数，由二次函数的图象转为
函数值表示的不等式组解出。
2
解：设函数
f
?
x
??x
2
?2kx?1
，∵关于x的方程
x+2kx-1=0
的两 根
x
1
、x
2
满足
-1?x
1
<02
?f
?
?1
?
?0
?
?2k?0
3
?
?
2
，∴
?
f
?
0
?
?0
即
?
?1?0
∴
??k?0
，故选择
B。
4
?
f
?
2
?
?0
?
4 k?3?0
?
?
答案：
B

评注：对于二次方程的实根分布 问题，要转化为二次函数，由二次函数的图象和各端点对
应的函数值以及二次项系数和对称轴解答。

题型四 函数与方程在立体几何中的应用

例5．（2008北京卷，理 ，8）如图，动点
P
在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线
BD
1
上．过
点
P
作垂直于平面
BB
1
D
1
D
的直线，与正方体 表面相交于
M，N
．设
BP?x
，
MN?y
，
则函 数
y?f(x)
的图象大致是（ ）
D
1
A
1
D

C
1
B
1
P
N

y y y y
C
O
A．
x
O
B．
x
O
C．
x
O
D．
x
< br>分析：本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由
MN的特殊性与平面
BBDD
垂直，可以把
MN
向平面
ABCD内作正投影，保持其长度不
11
变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系 即可顺利完成。
解：设正方体的棱长为
a
，由图形的对称性知
P
点 始终是
MN
的中点，
D

而且随着
P
点从
B
点向
BD
的中点滑动，
y
值逐渐增大到最大，再由中
点向
D
1
点滑动，而逐渐变小，排除
A,,C
，把
MN向平面
ABCD
内正投
影得
M'N'
，则
M'N'< br>=
MN?y
，由于
∴
BP'?
P'

C
N'

B
BP'BD2a6
???
，
BPBD
1
3
3a
A
M'

26
63
x
为一次函数，故选
B

x
，所 以当
x?a
时，
MN?y?2BP'?
32
3
答案：
B

评注：本题为函数的变化趋势问题，通过观察进行理性地分析，再从数值上加以运算。

题型五 函数与方程在解析几何中的应用
x
2
?y
2
?1
的左、右焦点. 例6．（2008山东淄 博）若
F
1
、
F
2
分别是椭圆
4
（Ⅰ）若
P
是该椭圆上的一个动点，求
PF
1
?PF
2
的最 大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点
M
?
1
，
2
?
的直线
l
与椭圆交于两不同的点
A
、
B
，且
?AOB
为锐角

（其中
O
为坐标原点），求直线
l
的斜率
k
的取值范围.
分析：（Ⅰ）中可以设出
P
点的坐 标，用坐标表示出
PF
1
?PF
2
，
得到函数求最值。（Ⅱ ）中
研究直线与椭圆的交点，需要解方程组，由韦达定理解答即可。

解：（Ⅰ）解法一：由椭圆方程知
a?2,b?1,c?3



?
则
PF?PF?
?
?3?x,?y
?
,
?
所以
F
1
?3,0,F
2
12
???
3,0
，设
P
?
x,y
?
3?x,?y?x
2?y
2
?3
?

x
2
x
2
1
2
22
?y?1
∴
PF
?x?1??3?3x?8
?
又
?PF
?
12
4
44

x?
?< br>?2,2
?
，故当
x?0
，即点
P
为椭圆短轴端点时 ，
PF
1
?PF
2
有最小值
?2


当
x??2
，即点
P
为椭圆长轴端点时，
PF< br>1
?PF
2
有最大值
1
．
解法二：易知
a?2,b?1,c?3
，所以
F
1
?3,0,F
2
2???
3,0
，设
P
?
x,y
?
22
?

则
PF
1
?PF
2
?PF
1
?PF
2
?cos?F
1
PF
2
?PF
1
?PF
2
?
PF
1
?PF
2
?F
1
F
2
2PF
1
?PF
2

22
1
?
2
?x?3?y?x?3?y
2
?12
?
?x
2
?y
2
?3
?
??
2
?

????
（以下同解法一）

（Ⅱ）显然当直线的斜率不存在即
x?0
时，不满足题设条件
可设
l
的方程为
y?kx?2
，设
A(x
1
,y
1)
，
B(x
2
,y
2
)

2
?
x
2
?
?y
2
?1
2
联立
?
4
得
x?4
?
kx?2
?
?4
?
?
y?kx?2
即
1?4k
∴
x
1
x
2
?
?
2
2
?

x
2
?16kx?12?0

1216k
，
x?x??
12
1?4k
2
1?4k
2
22
由
??(16k)?4?(1?4k)?12?0

2
即
4k?3?0

解得
k
2
?

3
①
4

又
?AOB
为锐角
?cos?AOB?0?OA?OB?0

∴
OA?OB?
1
x
2
x?
1
y
2
y?0

2
x?2)?
2
k
1
x
2
x?2k(
1
?x
∴
y
1
y2
?(kx
1
?2)(k
2
2
)xx?x
∴
x
1
x
2
?y
1
y
?
1
x
2
?2k(
12
)?

4
2
(1?k
x)?

4
?(1?k
2< br>)?
1216k
?2k?(?)?4

22
1?4k1?4k
12(1?k
2
)2k?16k
???4

22
1?4k1?4k
4(4?k
2
)
??0

1?4k
2
1
?k
2
?4
②
4
3
综①、②可知
?k
2
?4

4
33
)(,2)
． ∴
k
的取值范围是
(?2,?
22
∴
?
评注：解析 几何中点的坐标，线的方程都与函数、方程是相通的，可以利用函数与方程的
思想解答问题。在解方程组 时要注意保证方程组有两不同的解，求得参数的取值范围。
x
2
y
2
?
2
?1
，抛物线方程为例7．（2008广东卷，理18）设
b?0，椭圆方程为
2
2bb
x
2
?8(y?b)
．如图4所 示，过点
F(0，b?2)
作
x
轴的平行线，与抛物线在第一象限的
交点为
G
，已知抛物线在点
G
的切线经过椭圆的右焦点
F
1
．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设
A，B
分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点
P
，使得
△ABP
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出
这些点的坐标）． < br>分析：本题中的抛物线可以看作为二次函数，抛物线在点
G
的切线的斜率就是该点处的函
数的导数，由此可以写出此切线方程，从而得到椭圆的右焦点
F
1
的坐标，进 而求出椭圆和
抛物线的方程，（2）为探索结论问题，
△ABP
为直角三角形自然要考 虑谁是直角，所以
需要分类讨论，并转为方程确定其解的个数。
y
解：（1）由< br>x?8(y?b)
得
y?
2
1
2
F
x?b
，当
y?b?2
得
x??4
，
8
G
1
F
1

?
G点的坐标为
(4,b?2)
，
y'?x
，
y'|
x?4
?1
，
x
A
O
4
B
过点G的切线方程为
y?(b?2)?x?4
即
y?x?b?2
，
图
令
y?0
得
x?2?b
，
?F
1
点的坐标为
(2?b,0)
，由椭圆方程得
F
1
点的坐标为
(b,0)
，
4
x
2
?2?b?b
即
b?1
，即椭圆和抛物线的方程分别为
?y
2
?1
和
x
2
?8(y?1)
；
2

（2）过
A
作
x
轴的垂线与抛物线只有一个交点
P
,
?
以
?PAB为直角的
Rt?ABP
只有
一个，同理
?
以
?PBA
为直角的
Rt?ABP
只有一个。若以
?APB
为直角，设
P
点坐标为
1
(x,x
2
?1)
，
A
、< br>B
两点的坐标分别为
(?2,0)
和
(2,0)
，
8
11
4
5
2
2
关于
x
的二次方程有一大 于零的解，
PAPB?x
2
?2?(x
2
?1)
2
?x?x?1?0
。
8644
?x
有两解，即以
?APB
为 直角的
Rt?ABP
有两个，因此抛物线上存在四个点使得
?ABP
为直角三 角形。
评注：本题较好地把圆锥曲线问题和函数的导函数结合起来解答问题，一般地，对于已经
曲线的某一点处的切线，就要转为函数求导，从而求出其切线。另外，还要注意方程的解
的个数的探讨 。
例8．（2008湖南，理20）若A
、
B是抛物线y
2
=4x 上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）
的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相 关弦”。已知当x>2时，点P
（x,0）存在无穷多条“相关弦”。给定x
0
>2.
（I）证明：点P（x
0
,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(II) 试问：点P（x
0
,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x
0
表示）：若不存在，请说明理由.
分析：本题 （1）研究中点弦问题，可以用点差法，求得中点的坐标从而证明；（2）可用中
点的坐标表示出弦长， 得到关于中点的纵坐标的函数，再求出函数的值域。
解: （I）设AB为点P（x
0
,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
（x
1
,y
1
）、（x
2
,y
2
）（x< br>1
?
x
2
）,则y
2
1
=4x
1,
y
2
2
=4x
2
,
两式相减得（y
1
+y
2
）（y
1
-y
2
）=4（x
1-x
2
）.因为x
1
?
x
2
,所以y
1
+y
2
?
0.
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x
m
, y
m
）,则
k=
y
1
?y
2
42
y
??
.从 而AB的垂直平分线l的方程为

y?y
m
??
m
(x?x
m
).

x
1
?x
2
y
1
?y
2
y
m< br>2
又点P（x
0
,0）在直线
l
上，所以
?ym
??
y
m
(x
0
?x
m
).

2
而
y
m
?0,
于是
x
m
? x
0
?2.
故点P（x
0
,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都 是x
0
-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦
AB
所在直线的方程是
y?y
m
?k(x?x
m
)
，代入
y?4x
中，
222
整理得
kx?2[k(y
m
?kx
m
)?2 ]x?(y
m
?kx
m
)?0.
（·）
2
(y
m
?kx
m
)
2
.
则< br>x
1
、x
2
是方程（·）的两个实根，且
x
1
?x
2
?
2
k
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
l
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(1?k
2
)(x
1?x
2
)
2

22
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4xx
1]
2
?4(1?k)(x
m
?xx
1
)
2
?4(1?
4
2
)[x?
m
2
ym
(y
m
?
2
x
m
)
2
y< br>m
]
4
2
y
m

2
?(4?ym
)(4x
m
?y
m
2
)??y
m
4
?4y
m
(
2
x
m
?1)?16x
m22
?4(x
m
?1)
2
?[y
m
2
?2(x
m
?1)]
2
?4(x
0
?1)?[y
m
?2(x
0
?3)].
22
2
因为0<
y
m
<4x
m
=4(x
m
-2) =4x
0
-8,于 是设t=
y
m
,则t
?
(0,4x
0
-8). < br>记l
2
=g(t)=-[t-2(x
0
-3)]
2
+ 4(x
0
-1)
2.
若x
0
>3,则2(x
0
-3)
?
(0, 4x
0
-8),所以当t=2(x
0
-3),即
y
m
= 2(x
0
-3)时,
l有最大值2(x
0
-1).
若2 0
<3,则2(x
0
-3)
?
0,g(t)在区间（0 ，4 x
0
-8）上是减函数，
所以02
<16(x
0
-2),l不存在最大值.
综 上所述，当x
0
>3时，点P（x
0
,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值 ，且最大值
为2（x
0
-1）；当2< x
0
?
3时，点 P（x
0
,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.
评注：本题中需要解方程组求 弦长，弦长用弦的中点坐标表示出来，可用配方法求得函数的
值域。直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着 函数与方程的思想，在解决解析几何问题时常常
运用函数与方程的思想来解答。

2
题型六 函数与方程在导数中的应用
x
2
例9．（2008湖 南卷，理21）已知函数
f
?
x
?
?ln
?
1?x
?
?
.
1?x
2
(I) 求函数
f(x)
的单调区间;
（Ⅱ）若不等式
(1?)
求
?
的最大值.
分析：由导数研 究函数的单调性，求得函数的单调区间，不等式
(1?)
1
n
n?a
?e
对任意的
n?N*
都成立（其中e是自然对数的底数）.
1
n
n?a
?e
对任意的
1
n?N*
都成立可等价转化为不等式
(n?a)ln(1?)?1.
进而分离出
a
来，不等式恒成立转
n
为函数研究最值问题，可构造函数利用导数研究函数的单调性，从而求出最值。
解: （Ⅰ）函数
f(x)
的定义域是
(?1,??)
，
2ln(1?x )x
2
?2x2(1?x)ln(1?x)?x
2
?2x
f
?
(x)???.

1?x(1?x)
2
(1?x)
2设
g(x)?2(1?x)ln(1?x)?x?2x,
则
g
?
(x)?2ln(1?x)?2x.

2

令
h(x)?2ln (1?x)?2x,
则
h
?
(x)?
2?2x
?2?.
1?x1?x
当
?1?x?0
时，
h
?
(x)?0,

h(x)
在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，
h
?
(x)?0,
h(x)
在
(0, ??)
上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以
g
?
(x)?0(x?0)
，
函数g(x)在
(?1,??)
上为减函数.
于是当
?1?x?0
时，
g(x)?g(0)?0,

当x＞0时，
g(x)?g(0)?0.

所以，当
?1?x?0< br>时，
f
?
(x)?0,
f(x)
在（-1，0）上为增函数.
当x＞0时，
f
?
(x)?0,
f(x)
在
(0, ??)
上为减函数.
故函数
f(x)
的单调递增区间为（-1，0），单调 递减区间为
(0,??)
.
（Ⅱ）不等式
(1?)
11
? e
等价于不等式
(n?a)ln(1?)?1.
由
1??1
知， < br>nn
11
1
?,x?
?
0,1
?
,
则
a??n.
设
G(x)?
1
ln(1?x)x
ln (1?)
n
n?a
1
n
11(1?x)ln
2
(1 ?x)?x
2
G
?
(x)????
2
.

(1?x)ln
2
(1?x)x
2
x(1?x)ln
2
(1 ?x)
x
2
?0,
即
(1?x)ln
2
(1?x) ?x
2
?0.
由（Ⅰ）知，
ln(1?x)?
1?x
2< br>所以
G
?
(x)?0,
x?
?
0,1
?,
于是G(x)在
?
0,1
?
上为减函数.
故函数G （x）在
?
0,1
?
上的最小值为
G(1)?
所以a的最大 值为
1
?1.

ln2
1
?1.

ln2
评注：第（1）问是为第二问铺垫的，在解答问题（2）时，不等式恒成立问题转化为函数研
究 最值，利用导数研究单调性，进而研究最值是解决函数最值问题的常用方法。理科的题目
常常是超越方程 或不等式，要利用导数解答问题。而文科的题基本上是含有参数的三次函数，
如下一例题
() ?f(x)2?
例10．（2008北京卷，文17）已知函数
f(x)?x?ax?3bx? c(b?0)
，且
gx
是奇函数．（Ⅰ）求
a
，
c
的值；（Ⅱ）求函数
f(x)
的单调区间．
32

分析：本题 从函数的性质入手，利用奇函数的定义，确定函数的解析式，，再由导数研究函
数的单调性。
解：（Ⅰ）因为函数
g(x)?f(x)?2
为奇函数，
所以，对任意的< br>x?R
，
g(?x)??g(x)
，即
f(?x)?2??f(x)? 2
．
又
f(x)?x?ax?3bx?c

所以
?x?ax?3bx?c?2??x?ax?3bx?c?2
．
所以
?
3232
32
?
a??a，

c?2??c?2．
?
3
解得
a?0，c?2
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)?x?3bx?2
．
所以
f
?
(x)?3x?3b(b?0)
．
当
b ?0
时，由
f
?
(x)?0
得
x???b
．
2
x
变化时，
f
?
(x)
的变化情况如下表：
x

(??，??b)

?

单调递增
??b

0
极大
值
(??b，?b)

?b

0
极小
值
（?b，??）

?

单调递增
f
?
(x)

f
?
x
?


?

单调递减 < br>??b)
上单调递增，在
(??b，?b)
上单调递减，所以，当
b? 0
时，函数
f(x)
在
(??，
??)
上单调递增． 在< br>(?b，
当
b?0
时，
f
?
(x)?0
，所 以函数
f(x)
在
(??，??)
上单调递增．
评注：
g
?
x
?
为奇函数是对任意的
x?R
，
g(?x)? ?g(x)
都成立来说的，也就是恒等式，
对应项的系数相等，从而确定系数。在研究含有参数 的函数的单调性时往往要对参数在分界
值处进行分类讨论。

题型七 函数与方程在数列中的应用
例11．（2008陕西卷，理22）已知数列
{a
n< br>}
的首项
a
1
?
3a
n
3
，
a
n?1
?
，
n?1，2，
．
2a
n
?1
5

（Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式； < br>（Ⅱ）证明：对任意的
x?0
，
a
n
≥
11
?
2
?
??x
，2，
；
??
，
n?1< br>1?x(1?x)
2
?
3
n
?
（Ⅲ）证明：
a
1
?a
2
?
n
2
?a
n
?．
n?1
分析：（1）由递推关系求通项，可以进行变形，构造一个特殊数列求出；（2 ）不等式的左边
只含有
n
，右边含有
n
和
x
，可以 看作是关于
x
的函数，可证此函数的最大值
?a
n
。
解法 一：（Ⅰ）
a
n?1
?
?
3a
n
121
1 1
?
1
??
?1?
?
?1
?
， ，
?
，
?
2a
n
?1a
n?1
33a
n< br>a
n?1
3
?
a
n
?
又
?
1
?
12
21
?1?
，
?
?
?1
?
是以为首项，为公比的等比数列．
a
n
3
33
?
a
n
?
3
n
1212
?
，
?a
n
?
n
?
?1?
．
a
n
33
n ?1
3
n
3?2
3
n
?0
， （Ⅱ）由（Ⅰ）知< br>a
n
?
n
3?2
11
?
2
?
??x
??

1?x(1?x)
2
?
3
n
?
?
11
?
2
?
??1?1?x
?
< br>2
?
n
1?x(1?x)
?
3
?
?
11
?
1?x(1?x)
2
?
1
?
?(1?x)< br>??

?
a
n
?
??
112
?

2a
n
(1?x)1?x
2
1
?
1
?
? ?
?
?a
n
?
?a
n
≤a
n
，< br>?
原不等式成立．
a
n
?
1?x
?
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，对任意的
x?0
，有
a
1
?a
2
? ?a
n
≥
11
?
2
?
11
?
2< br>?
??x???x
??
?
2
?
2
?
2
1?x(1?x)
?
3
?
1?x(1?x)
?
3
?
?
11
?
2
?
??x
?
2
?
n
1?x(1?x)
?
3
?
?
n 1
?
22
?
?
??
1?x(1?x)
2
?
33
2
?
2
?
?nx
?
．
3< br>n
?

?
取
x?
1
?
22?
?
2
?
n
?
33
2
?
1< br>?
1?
?
2
?
3
?
1
?
3
n
?
1
?
?
?
n
?
??
?
1?
n
?
，
3
?
?
1
?n
?
3
?
n
?
1?
?
?
3< br>?
则
a
1
?a
2
?
nn
2
n
2
．
?a
n
≥??
1
n?1
1
?
1
?
1?
?
1?
n
?
n?1?
n
3
n
?
3
?
?
原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设
f(x)?
11
?
2
?
??x
??
，
1?x(1?x)
2
?
3
n
?
?
2
??
2
?
?(1?x)
2
?
?
n
?x
?
2(1?x)2
?
n< br>?x
?
1
?
3
??
3
?

??
则
f
?
(x)??
(1?x)
2
(1?x)< br>2
(1?x)
2
x?0
，
22
?
当
x?
n
时，
f
?
(x)?0
；当
x?
n
时，
f
?
(x)?0
，
33
?
当
x?
2
时，
f(x)
取得最大值
3
n
1
?
2
?
f
?
n
?
??a
n
．
2
3
??
1?
3
n
?
原不等式成立．
（Ⅲ）同解法一．
评注：本题为利用函数与方程的思想解答数列问题，在求右边函数的最值时 ，可以用配方
法，也可以用导函数求得函数的单调性求其最值。

题型八 函数与方程在实际问题中的应用
例12.(2009山东卷理) 两县城A和B相距20km，现计划 在两县城外以AB为直径的半圆弧
上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的 的距离有关，对
城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建 在C
处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度
与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B
的距离的平方 成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在
响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点 ，使建在此处
的中点时，对城A和城B的总影
的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存 在，求出该点到城A的距
离;若不存在，说明理由。

解法一:（1）如图,由 题意知AC⊥BC,
BC?400?x
,
y?
其中当
x?102时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
y?
22
4k
?(0?x?20)

x
2
400?x
2
49
?(0?x?20)
22
x400?x
89?(?2x)18x
4
?8(400?x
2
)
2
49
?
（2）
y?
2
?
,
y'??
3
?
,令
y'?0
得
x(400?x2
)
2
x
3
(400?x
2
)
2x400?x
2
18x
4
?8(400?x
2
)
2
,所以
x
2
?160
,即
x?410
,当0?x?410
时,
18x
4
?8(400?x
2
)
2
,即
y'?0
所以函数为单调减函数,当
46?x?20
时,
18x
4
?8(400?x
2
)
2
,即y'?0
所以函数为单调增函数.所以当
x?410
时, 即当C点到
城A的距离为
410
时, 函数
y?
解法二: （1）同上.
（2）设
m?x,n?400?x
,
则
m?n?4 00
,
y?
22
49
?(0?x?20)
有最小值.
22
x400?x
49
?
,所以
mn
4949m ?n14n9m11
当且仅当
y???(?)?[13?(?)]?(13?12)?
mnmn400400mn40016
4n9m
?
n?240
即
?< br>时取”=”.
?
mn
m?160
?
下面证明函数
y ?
49
在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
?
m400?m
4949
??(?)

m
1
400?m
1
m
2
400?m
2
设012
<160,则
y
1
?y
2
?

?(
4(m
2
?m
1
)9m(
1
?m2
)
4499
?)?(??)?

m
1
m2
400?m
1
40?0m
2
m
1
m
2
(40?0m
1
)(4?00m
2
49
?]
m< br>1
m
2
(400?m
1
)(400?m
2
)
)
?(m
2
?m
1
)[
?(m
2
?m
1
)
4(400?m
1
)(400?m
2
)? 9m
1
m
2
,
m
1
m
2
(40 0?m
1
)(400?m
2
)
因为01
2
<160,所以4
(400?m
1
)(400?m
2
)
>4×240×240

9 m
1
m
2
<9×160×160所以
4(400?m
1
)(400?m
2
)? 9m
1
m
2
?0
,
m
1
m
2< br>(400?m
1
)(400?m
2
)
所以
(m
2
?m
1
)
4(400?m
1
)(400?m
2
)?9m
1
m
2
49
?0
即
y
1
?y
2
函数
y??
在
m
1
m
2< br>(400?m
1
)(400?m
2
)
m400?m
( 0,160)上为减函数.
同理,函数
y?
49
在(160,400)上为 增函数,设1601
2
<400,则
?
m400? m
y
1
?y
2
?
4949
??(?)
m< br>1
400?m
1
m
2
400?m
2
4(40 0?m
1
)(400?m
2
)?9m
1
m
2

m
1
m
2
(400?m
1
)(400?m2
)
?(m
2
?m
1
)
因为16001
2
<400,所以4
(400?m
1
)(400 ?m
2
)
<4×240×240, 9 m
1
m
2
>9×160×160
所以
4(400?m1
)(400?m
2
)?9m
1
m
2
?0,
m
1
m
2
(400?m
1
)(400?m
2
)
4(400?m
1
)(400?m
2
)?9m
1
m
2
49
?0
即
y
1
?y2
函数
y??
在
m
1
m
2
(400? m
1
)(400?m
2
)
m400?m
所以
(m< br>2
?m
1
)
(160,400)上为增函数.
所以当m=160即
x?410
时取”=”,函数y有最小值,
所以弧上存 在一点，当
x?410
时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度
最小. < br>【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用，运用待定系数法求解函数解析式
的能力 和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题。