数形结合思想在高中数学解题中的应用

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第5讲 数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1．数形结合是数学 解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形
结合，就是 根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想
通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学 问题
的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关 ：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方
程的对应关系；④以几何元素 和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的
结构含有明显的几 何意义。
如等式(x?2)
2
?(y?1)
2
?4

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半 功倍的效果，数
形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛 ，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复
数和三角函数问题中，运 用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解
题过程。这在 解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己
的 思维视野。
二、例题分析
k的取值范围。
例1.
若关于x的方程x?2kx?3k?0的两根都在?1和3之间，求

分析：
令f(x)?x
2
?2kx?3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x )?0

2
f(3)?0
，
的解，由y?f(x)的图象可知，要 使二根都在?13，之间，只需f(?1)?0，
f(?
b
)?f(?k)?0
同时成立，解得?1?k?0，故k?(?1，0)

2a

例2.
解不等式x?2?x

解：法一、常规解法：

?
x?0
?

原不等式等价于(I)
?
x? 2?0
?
x?2?x
2
?
?
x?0
或(II)?

x?2?0
?
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解(I)，得0?x?2；解(II)，得?2?x?0


综上可知，原不等式的解集为{x|?2?x?0或0?x?2}?{x|?2?x?2}

法二、数形结合解法：

令y
1
?x?2，y2
?x，则不等式x?2?x的解，就是使y
1
?x?2的图象

在y
2
?x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为{x|x
A
?x?x
B
}


而x
B
可由x?2?x， 解得，x
B
?2，x
A
??2，
故不等式的解集为{x|?2?x? 2}。

例3.
已知0?a?1，则方程a
|x|
?|loga
x|的实根个数为(
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
|x|
)

分析：
判断方程的根的个数 就是判断图象y?a与y?|log
a
x|的交点个数，画

出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

例4.
如果实数x、y满足(x?2)?y?3，则
22
y
的最大值为(< br>x
)


A.
1
2
B.
3< br>3
C.
3
2
D.3

分析：
等式( x?2)
2
?y
2
?3有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，

圆心为(2，0)，半径r?3，(如图)，而
yy?0
?则表示圆上的点(x， y)与坐

xx?0
标原点(0，0)的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下 几何问题：动点A

在以(2，0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图

可见，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最

大值为tg60°?3

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x
2
y
2
??1，求y?3x的最大值与最小值
例5.
已知x，y满足
1625
x
2
y
2
??1下求最值 问题，常采用
分析：
对于二元函数y?3x在限定条件
1625
构造直线的截距的方法来求之。

令y?3x?b，则y?3x?b，

x
2
y
2
??1上求一点，使过该点的直线斜率为3，

原问题转化为：在椭圆
1625

且在y轴上的截距最大或最小，

x
2
y
2
??1相切时，有最大截距与最小

由图形知，当直线y?3x?b与椭圆
1625
截距。
?
y?3x?b
?

?
x
2
?16 9x
2
?96bx?16b
2
?400?0

y
2
?
16
?
25
?1
?

由??0，得b?±13，故y?3x的最大值为13，最小值为?13。

例6.
若集合M?
?
(x，y)
?
?
?
?
??
?
x?3cos
?
?
(0?
?
?
?
)
?
，集合N?{(x，y)|y?x?b}

?
?
y?3sin
?
?
且M?N≠?，则b的取值范围为
22
。

分析：
M?{(x，y)|x?y?9，0?y?1}，显然，M表示以(0，0)为圆心，

以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截
距为b，由图形易知，欲使M?N≠?，即是使直线y?x?b与半圆有公共点，

显然b的最小逼近值为?3，最大值为32，即?3?b?32

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x
2
y
2
??1上一点，它到其中一个焦点F
1
的距离为2，N为 例7.
点M是椭圆
2516
MF
1
的中点，O表示原点，则|ON|=（ ）

A.
3
2
B.2C.4D.8

分析：①设椭圆另一焦点为F
2
，（如图），
则|MF
1
|?|MF
2
|?2a，而a?5


|MF
1
|?2，∴|MF
2
|?8
又注意到N、O各为MF
1
、F
1
F
2
的中点，
∴ON是△MF
1
F
2
的中位线，
∴|ON|?
11
|MF
2
|?×8?4

22
②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF
1
中点 的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但
这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。
例8.
已知复数z满足|z?2?2i|?2，求z的模的最大值、最小值的范围。

分析：
由于|z?2?2i|?|z?(2?2i)|，有明显的几何意义，它表示复 数z对应的

点到复数2+2i对应的点之间的距离，因此满足|z?(2?2i)|?2的复数z对应点

Z，在以(2，2)为圆心，半径为2的圆上，(如下图)，而|z|表示复数z对应的

点Z到原点O的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，|z|取得最值，

|z|
min
?2，|z|
max
?32，



∴|z|的取值范围为[2，32]

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sinx?2
的值域。

cosx?2
sinx?2
得ycosx?2y?sinx?2
， 解法一（代数法）：
则y?
cosx?2
例9.
求函数y?
x ?ycosx??2y?2，y
2
?1sinx(?
?
)??2y?2

sin

∴sin(x?
?
)?
?2y ?2
y?1
2
，而|sin(x?
?
)|?1

?4?7?4?7
?y?

33

∴|
?2y?2
y
2
?1
|?1，解不等式得

∴函数的值域为[
?4?7?4?7
，]

33
y?y
1
sinx?2

的形式类似于斜率公式y?< br>2
cosx?2x
2
?x
1
解法二（几何法）：
y?

y?
sinx?2
表示过两点P< br>0
(2，?2)，P(cosx，sinx)的直线斜率

cosx?2

由于点P在单位圆x
2
?y
2
?1上，如图,

显然，k
P
0
A
?y?k
P
0
B


设过P
0
的圆的切线方程为y?2?k(x?2)


则有
|2k?2|
k
2
?1
?1，解得k ?
?4±7
3
即k
P
0
A
?
?4?7?4 ?7

，k
P
0
B
?
33
∴?4?7?4?7
?4?7?4?7

∴函数值域为[，]

?y?
33
33
例10.
求函数u?2t?4?6?t的最值。

分析：
由于等号右端根号内t同为t的一次式，故作简单换元2t?4?m，无法

转 化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到
式中有两个根号，故可采用两步换元。
解：
设x?2t?4，y?6?t，则u?x?y


且x
2
?2y
2
?16(0?x?4，0?y?22)


所给函数化为以u为参数的直线方程y??x?u，它与椭圆x?2y?16在

第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）
22
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u
min
?22

相切于第一象限时，u取最大值

?
?
y??x?u
22
?
x?2y?16
?3x
2
?4ux?2u
2
?16?0


解???，得u?±26，取u?26


∴u
max
?26


三、总结提炼
数形结合思 想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中
要以 熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

四、强化训练
见优化设计。
【模拟试题】
一、选择题：
1. 方程
lgx?sinx
的实根的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 函数
y?a|x|与y?x?a
的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A.
(1，??)


B.
(?1，1)

D.
(??，?1)?(1，??)
C.
(??，?1]?[1，??)

3. 设命题甲：
0?x?3
，命题乙：
|x?1|?4
，则甲是乙成立的（ ）
A. 充分不必要条件
C. 充要条件




B. 必要不充分条件
D. 不充分也不必要条件
4. 适合
|z?1|?1
且
argz?
A. 0个
?
4
的复数z的个数为（ ）
C. 2个 D. 4个 B. 1个
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5. 若不等式
x?a?x(a?0)
的解集为
{x|m?x?n}，且 |m?n|?2a，
则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知复数
z
1
?3?i，|z
2|?2，则|z
1
?z
2
|
的最大值为（ ）
A.
10?2
B.
5
C.
2?10
D.
2?22

7. 若
x?(1，2)
时，不等式
(x? 1)
2
?log
a
x
恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] D. [1，2]
8. 定义在R上的函数
y?f(x)在(??，2)
上为增函数，且函数
y?f(x?2)
的图象的对称轴为
x?0
，则（ ）
A.
f(?1)?f(3)

C.
f(?1)?f(?3)


二、填空题：
9. 若复数z满 足
|z|?2
，则
|z?1?i|
的最大值为___________。
2
10. 若
f(x)?x?bx?c
对任意实数t，都有
f( 2?t)?f(2?t)
，则
f(1)、f(?3)
、
f(4)
由小 到大依次为




B.
f(0)?f(3)

D.
f(2)?f(3)

___________。
11. 若关于x的方程
x
2
?4|x|?5?m
有四个不相等的实根，则实 数m的取值范围为___________。
12. 函数
y?x
2
? 2x?2?x
2
?6x?13
的最小值为___________。
13. 若直线
y?x?m
与曲线
y?1?x
2
有两个不同的交点， 则实数m的取值范围是___________。

三、解答题：
14. 若 方程
lg(?x
2
?3x?m)?lg(3?x)在[0，3]
上有唯一解，
求m的取值范围。
15. 若不等式
4x?x
2
?( a?1)x
的解集为A，且
A?{x|0?x?2}
，求a的取值范围。
16. 设
a?0且a≠1
，试求下述方程有解时k的取值范围。

log((x?a)

a
x?ak)?log
a
2
22
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【试题答案】
一、选择题
1. C
提示：画出
y?sinx，y?lgx
在同一坐标系中的图象，即可。

2. D
提示：画出
y?a|x|与y?x?a
的图象

?
a?0
情形1：
?
?a?1

a?1
?

情形2：
?
3. A
4. C
提示：|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的 复数满足条件
argz?
?
a?0
?a??1

?
a??1
?
4
，另外，点O
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对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足
argz?
?
4
，故满足条件的z有两个。

5. B
提示：画出
y?x?ay?x
的图象，依题意，
m??a，n?a，
从而
a?a?a?a?0或2
。

6. C
提示：由
|z
2
|?2
可知，z
2
对应的点在以（0，0） 为圆心，以2为半径的圆上，

而
|z
1
?z
2
|?|z
2
?(?z
1
)|?|z
2
?(?3?i )|

表示复数
z
2
与?3?i
对应的点的距离，
结合图形，易知，此距离的最大值为：

|PO|?r
?
7. C
提示：令
y
1?(x?1)，y
2
?log
a
x
，
若a>1，两函数图象如下图所示，显然当
x?(1，2)
时，
2
(?3?0)
2
?(1?0)
2
?2?10?2

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要使
y
1
?y
2
，只需使
lo g
a
2?(2?1)
2
，即a?2
，综上可知
当
1?a?2
时，不等式
(x?1)
2
?log
a
x
对
x?(1，2)
恒成立。
若
0?a?1
，两函 数图象如下图所示，显然当
x?(1，2)
时，不等式
(x?1)?log
a
x
恒不成立。
2

可见应选C
8. A
提示：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2) 的图象关于直线x=0（即y轴）对称，
故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在 （
??，2
）上为增函数，可知，f(x)在
(2，??)
上为减函数，依< br>此易比较函数值的大小。


二、填空题：
9.
2?2

提示：|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z |=2的复数Z对应的点在圆O上运动，（如下图），而|z+1
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－i|=|z－（－1+i）|表示复数Z与－1+i对应的两点的距离。

由图形，易知，该距离的最大值为
2?2
。
10.
f(1)?f(4)?f(?3)

提示：由
f(2?t)?f(2 ?t)
知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又
f(x)?x
2
?bx? c
为二次函数，其图象是开
口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知
f(1)、f( ?3)、f(4)
的大小。

11.
m?(1，5)

提示：设
y
1
?x
2
?4|x|?5y
2
?m
，画出两函数图象示意图，要使方程
x
2
?4|x|?5?m< br>有四个不相等实根，只
需使
1?m?5


12. 最小值为
13

2
提示：对
x?2x?2?(x?1)?
?1?(x?1)
2
?(1?0)
2
，联想到两点的距离公式 ，它表示点（x，1）到（1，
0）的距离，
x
2
?6x?13?(x?3)
2
?(1?3)
2
表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是
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（x，1）到两个定点（1， 0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得
y
min
?13
。
y?x
2
?2x?2?x
2
?6x?13
表示动点
13.
m?(?2，?1]


提示：y=x－m表示倾角为45 °，纵截距为－m的直线方程，而
y?1?x
2
则表示以（0，0）为圆心，以1为半
径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点 ，只需直线的
纵截距
?m?[1，2)
，即
m?(?2，?1]
。

三、解答题：
?
?x
2
?3x?m?0
??x
2
?3x?m?0
?
?
?
3?x?0
14. 解：原方程等价于
?

?
?
0?x?3
0?x?3
??
?x
2
?4x?3?m
?
2
?
?x? 3x?m?3?x
?
令
y
1
??x
2
?4 x?3，y
2
?m
，在同一坐标系内，画出它们的图象，
其中注意
0?x?3
，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图 可见，当m=1，
或
?3?m?0
时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3， 0]
?
{1}。

注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。

15. 解：令
y
1
?4x?x
2
，y2
?(a?1)x，其中y
1
?4x?x
2
表示以（2，0）为 圆心，以2为半径的圆在x轴的
上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，
y
2
?(a?1)x
表示过原点的直线系，不等式
4x?x
2
?(a? 1)x
的
解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。
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由于不等式解集
A?{x|0?x?2}

因此，只需要
a?1?1，∴a?2

∴a的取值范围为（2，+
?
）。
16. 解：将原方程化为：
log
a
(x?ak)?log
a
∴
x?ak?
x
2
?a
2
，
x
2
?a
2
，且x?ak?0，x
2
?a
2
?0

令
y
1
?x?ak
，它表示倾角为45°的直线系，
y
1
?0

令
y
2
?
（a，0 ）的等轴双曲线在x轴上方的部分，
y
2
?0

x
2
?a
2
，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）
∵原方程有解，
∴两个函数的图象有交点，由下图，知


?ak?a或?a??ak?0

∴
k??1或0?k?1

∴k的取值范围为
(??，?1)?(0，1)





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