高一数学专题1-数形结合思想

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数形结合思想
一．作图、识图、用图技巧
(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．
描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点
等)和对称 性进行．
(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解
析式与图象的对应关系．
(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定 与应用及一些方程、不等
式的求解常与图象结合研究．
(4)利用基本函数图象的变换作图
①平移变换：
y＝f(x)
h<0，左移
――→y＝f(x－h)，
|h|个单位
y＝f(x)
k<0，下移
――→y＝f(x)＋k.
|k|个单位
②伸缩变换：
y＝f(x)错误!y＝f(ωx)，
y＝f (x)
0A>1，纵坐标伸长到原来的A倍
k>0 ，上移|k|个单位
h>0，右移|h|个单位
――→y＝Af(x)．
③对称变换：
y＝f(x)――→y＝－f(x)，
y＝f(x)――→y＝f(－x)，
y＝f(x)
关于直线x＝a对称
关 于y轴对称
关于x轴对称
――→y＝f(2a－x)，
y＝f(x)――→y＝－f(－x)．
关于原点对称
f(x)――→y＝－f(－x)．
关于原点对称
二、通法归纳与感悟
1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化
(1)集合的运算及韦恩图；
(2)函数及其图像；
(3)方程(多指二元方程)及方程的曲线；

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(4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点
是 关键点)，做好知识的迁移与综合运用．
2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则
(1)等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，
由于图形的局 限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的
说明，但它同时也是抽象而 严格证明的诱导．
(2)双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代 数抽象的探索，两方面相辅相成，仅
对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时 候是很难行得通的．
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时 候，若能
充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．
(3)简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，
则 取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数
方法．

三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点
利用数形结合求方程解应注意两点
(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使 问题转化为讨论两曲线的交点问题，但
用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得 到错解．
(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，
不要刻意去数形结合．
1
1．(2013·长沙模拟)若f(x)＋1＝，当x∈[ 0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内g(x)＝f(x)
f?x＋1?
－mx －m有两个零点，则实数m的取值范围是( )
1
0，
?
A.
?
?
2
?
1
0，
?
C.
?
?
3
?
1
?
B.
?
?
2
，＋∞
?


1
0，
?
D.
?
?
2
?
[解析]D 当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，
∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x，∴f(x＋1)＝x＋1.
11
而由f(x)＋1＝，可得f(x)＝－1
f?x＋1?f?x＋1?
＝
1
－1(x∈(－1,0])．
x＋1
如图所示，作出函数f(x)在区间(－1,1]内的图像，
而函数g(x) 零点的个数即为函数f(x)与y＝mx＋m图像交点的个数，显然函数y＝mx＋m

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的图像为经过点P(－1,0)，斜率为m的直线．
1 －0
1
如图所示，f(1)＝1，故B(1,1)．直线PB的斜率k
1
＝＝ ；直线PO的斜率为k
2
1－?－1?
2
＝0.由图可知，函数f(x)与y ＝mx＋m的图像有两个交点，则直线y＝mx＋m的斜率k
2
1
，
1
0，
?
. 即m∈
?
?
2
?
2. 若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]
?
?
0，x＝0，
时，f(x)＝1－x，函数g(x)＝
?
1
－
?< br>?
x
，x<0，
2
lg x，x>0，

则函数h(x)＝
f(x)－g(x)在区间[－5,5]内零点的个数是
A．5 B．7
C．8 D．10
解析:C
依 题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函
数y＝f(x)与函数y＝g(x) 的图像，结合图像得，当x∈[－5,5]时，
它们的图像的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x )－g(x)在区间[－
5,5]内的零点的个数是8.

3.已知函数
f
?
x
?
?x?2?1
g
?
x
?
? kx
.
若方程
f
,
则实数k的取值范围是
( ) ?
x
?
?
g
?
x
?
有两学科网个不相 等的实根，
（1，2）（2，??）
（0，）（，1）
（A）（B）（C）（D）
答案：B
4．(文)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1) ；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x
2
，则方
程f(x)＝lgx解的个数是( )
A．5 B．7
C．9 D．10
[答案] C
[分析] 由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)为周期函数，结合f(x)在[－1,1]上的 解析式可画出f(x)的
图象，方程f(x)＝lgx的解的个数就是函数y＝f(x)与y＝lgx的 图象的交点个数．
[解析] 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数． 由方程f(x)＝lgx知x∈(0,10]时方程有解，画出两函数y＝f(x)与y＝lgx的图象，则 交点个数
即为解的个数．又∵lg10＝1，故当x>10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．
1
2
1
2


5

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答案B
1
6．函数 y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
1－x
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] D
[解析] 依题意：两函数的图象如图所示：

由两函数的对称性可知：交点A1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
，A
6
，A
7
，A
8
的横坐标满足x
1
＋x
8
＝2，
x
2
＋x
7
＝2，x
3＋x
6
＝2，x
4
＋x
5
＝2，即x
1
＋x
2
＋x
3
＋x
4
＋x
5
＋x
6
＋x
7
＋x
8
＝8，故选D．
二、利用数形结合解不等式或求参数
利用数形结合解不等式应注意的问题
解含参数 的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设
与几何图形有联系，那 么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．

7. (1)使log
2
(－x)1(2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
2





[解析] (1)在同一坐标系中，分别作出y＝log
2
(－x)，
y＝x＋1的图像，由图可知，x的取
值范围是(－1,0)．
1
(2)作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，
2
1
依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.
2
8. 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)
2
a
x恒成立，则a的取值
范围为
( )
A．(2,3] B．[4，＋∞)
C．(1,2] D．[2,4)
解析：C设y
1
＝(x－1)
2
，y
2
＝log
a
x，则y
1< br>的图

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像为如图所示的抛物线．要使对一切x∈(1,2)，
y
1
2
恒成立，显然a>1，并且只需当x＝2时，
log
a
x≥1，即a≤2，所以1
?
a，a－b≤1，
?
9. (理)对实数a和b，定义运算“?”：a?b ＝
?
设函数f(x)＝(x
2
－2)?(x－x
2
)，x∈
?
?
b，a－b>1，

R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
3
A．(－∞，2]∪(－1，)
2
11
C．(－1，)∪(，＋∞)
44
[答案] B
3
B．(－∞，－2]∪(－1，－)
4
31
D．(－1，－)∪[，＋∞)
44
3
?
x－2?－1≤x≤
2
?，
[解析] 由 已知得f(x)＝
?
3
x－x
?x<－1或x>?，
?
2< br>2
2


如图，要使y＝f(x)－c与x轴恰有两个公共点，
3
则－14

[点评] 本小题考 查分段函数及函数图象与x轴的交点及平移等基础知识，考查理解和处理
新信息的创新能力及数形结合思 想的应用，难度较大．
ax＋b
10. (理)(2015·安徽理，9)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
?x＋c?
2

A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
[答案] C
[解析] 考查函数的图象与应用．
ax＋b
b
由 f(x)＝
2
及图象可知，x≠－c，－c>0，则c<0；当x＝0时，f(0)＝
2
>0，所以b>0；
c
?x＋c?
b
当y＝0，ax＋b＝0，所 以x＝－>0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，选C．
a
[方法点拨] 1.给出解析式判断函数图象的题目，一般借助于平移、伸缩
11. (理)已知f(x)是定义在( －3,3)上的奇函数，当0式f(x)cosx<0 的解集是( )

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ππππ
A．(－3，－)∪(0,1)∪(，3) B．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)
2222
C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
π
D．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)
2
[答案] B
[分析] 由奇函数图象的对称性可画出f(x)的图象，不等式f(x)·cosx<0可等价转化为
?
f?x?>0
?
f?x?<0
?
或
?
， 结合图形可得出解集．
?
cosx<0
?
cosx>0

?
，
?
，
?
f?x?>0
?
f?x?<0
[解析] 不等式f(x)cosx<0等价于
?
或
?

?
?
cosx<0，
?
cosx>0.
?


画出f(x)在(－3,3)上的图象，cosx的图象又熟知，运用数形结合，如图所示， 从“形”中找出
ππ
图象分别在x轴上、下部分的对应“数”的区间为(－，－1)∪(0,1 )∪(，3)．
22

?
a，a－b≤1
?
13．(文) (2014·哈三中二模)对实数a和b，定义运算“*”：a*b＝
?
，设函数f(x)＝< br>?
b，a－b>1
?

(x
2
＋1)*(x＋2)， 若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是
( )
A．(2,4]∪(5，＋∞) B．(1,2]∪(4,5]
C．(－∞，1)∪(4,5] D．[1,2]
[答案] B
[解析] 由a *b的定义知，当x
2
＋1－(x＋2)＝x
2
－x－1≤1时，即－1≤x ≤2时，f(x)＝x
2
＋1；
当x<－1或x>2时，f(x)＝x＋2，∵y＝f (x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，∴方程f(x)－c
2
?
?
x＋1 ?－1≤x≤2?，
＝0恰有两不同实根，即y＝c与y＝
?
的图象恰有两个交点，数 形
?
x＋2 ?x<－1或x>2?，
?

结合易得1

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[方法点拨] 关于函数零点的综合题，常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角 函数、二
次函数揉合在一起组成一个大题，零点作为其条件的构成部分或结论之一，解题时主要依据题目特点：①分离参数，将参数的取值范围转化为求函数的值域；②数形结合，利用图象的
交点个数 对参数取值的影响来讨论；③构造函数，借助于导数来研究．
三、利用数形结合求最值
利用数形结合求最值的方法步骤
第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义．一般从图 形结构、图形的几何意义分析
代数式是否具有几何意义．
第二步：转化为几何问题．
第三步：解决几何问题．
第四步：回归代数问题．
第五步：回顾反思．应用几何意 义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，
主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率 ；
(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式
——可考虑两点间的距离．

14已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足
(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 ( )
A．1 B．2
C.2






解析：C
D.
2

2
????????
????
????
因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c)．如图所示，设
OC
＝c，
OA
＝a，
OB
＝b，
CA
?
?? ??
?
????
???
????
???
＝a－c，
CB
＝b－c，即
AC
⊥
BC
，又
OA
⊥
OB
，所以O，A，C，B四点共圆．
当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为2.
→
AB
→→15．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(＋
→
|AB|
→
AC
)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
→
|AC|
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[答案] B

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→→→
AB
→
ABAC
[分析] 因为是AB的单位向量，故λ(＋ )对应向量若以A为起点，则终点在∠BAC
→→→
|AB||AB||AC|
→→→
的平分线上，结合OP－OA＝AP可知点P的轨迹．
→→→→
ABACABAC
→
[解析] 如图所示，易知AP＝λ(＋)，而 与是单位向量，故点P在∠BAC的平
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
分 线上，所以点P的轨迹通过△ABC的内心，应选B．

[方法点拨] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用
三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具．
31
16．对 于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x
2
－4x＋3
22
中的较大者，则f(x)的最小值是
A．2 B．3
C．8 D．－1

( )
31
解析 ：A分别画出y＝－x＋3，y＝x＋，y＝x
2
－4x＋3三个函数的图像，如图所示，得到
22
三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
x
2
－4x＋3，x≤0，
?
－x＋3，0?
函数f(x)的表达式为 f(x)＝
?
31
x＋，122
?
?
x －4x＋3，x>5，
2
2


f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是B(1,2)，
所以函数f(x)的最小值是2.
?
?
g?x?＋x＋4，x＜g?x?< br>17．(文)设函数g(x)＝x－2(x∈R)，f(x)＝
?
，则f(x)的值域是 ( )
?
g?x?－x，x≥g?x?
?

9
－，0
?
∪(1，＋∞) B．[0，＋∞) A．
?
?
4
?
99
－，＋∞
?
D．
?
－，0
?
∪(2，＋∞) C．
?
?
4
??
4
?
[答案] D
[解析] 由题意知

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2?
?
x＋x＋2，xf(x)＝
?
2
< br>?
x－x－2，x≥g?x?，
?
2
?
，＋∞?，
?
x＋x＋2，x∈?－∞，－1?∪?2
?
＝
2

?
?
x－x－2，x∈[－1，2]，


＝
?< br>x＋
1
?
2
＋
7
，x∈?－∞，－1?∪?2，＋∞ ?，
?
?
2
?
4
?
?
1
?
9
?
?
x－
2
?
－
4
，x∈[－1，2 ].
2



所以结合图形，可得当x∈(－∞，－1)∪(2，＋ ∞)时，f(x)的值域为(2，＋∞)；当x∈[－1,2]
9
－，0
?
. 故选D． 时，f(x)的值域为
?
?
4
?
18. (理)设直线x ＝t与函数f(x)＝x
2
，g(x)＝lnx的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最 小
时t的值为( )

A．1
C．
1
B．
2
52
D．
22
[答案] D
[解析] 在同一坐标 系中画出函数f(x)＝x
2
与g(x)＝lnx的图象如图，作直线x＝t，由题意知
122
t>0，则|MN|＝t
2
－lnt，令y＝t
2
－lnt (t>0)，则y′＝2t－，由y′>0得t>，由y′<0得0t22
∴y＝t< br>2
－lnt在(0，
t＝
222
)上单调递减，在(，＋∞)上单调递 增，故t＝时，y取最小值，即
222
2
时，|MN|取最小值．
2