运用大学数学思想巧解高考题

运用大学数学思想巧解高考题
摘要：高考数学试题中的一些难理解的问题往往让同学们 花费很
多时间。传统的作法，学生讨论的过程比较复杂，甚至许多同学不
知从何入手。本文结合 大学数学对洛必达法则解高考导数问题、行
列式知识解高考数列问题、柯西不等式解高考中最值问题进行 了解
析。通过引入大学中一些简单知识得到新的方法，简化解题过程，
帮助同学们提高解题技巧 ，让同学们在高考中增加很多优势。
关键词：高考数学 大学数学思想 洛必达法则 行列式 柯西不等
式
引言：
近年来，高考数学试题经常与大学数学思想有机接轨，运用大学
数学知识解一些高考题反而会很简单且容易被同学们接受.不管高
中数学还是大学数学，其思想 、方法一直主导着对本学科的学习效
果。大学数学中的一些思想能将高中的一些复杂问题转化为简单，< br>理想的问题。因此了解和掌握一些大学数学思想方法可以使学生在
解决高中问题的实际运用中更加 得心应手，同时也有助于学生思维
能力的拓宽和解题技巧的提高。下面，笔者就中学巧妙运用大学数学思想解题举几个例子。
一.洛必达法则巧解高考题
近年来，导数问题中的求参数取值 范围成为许多数学高考试卷的
压轴题中一类重点考查题型。对于这种题目，很多同学会想到分离
参数方法。但在高中范围内，用分离参数的方法解这类题经常需要

复杂的讨论，学生理解 与应用起来常常会遇到很多困难。而利用大
学数学知识中的洛必达法则来解决这一问题往往会轻松很多。
洛必达法则
设函数 f（ x） 、g（ x） 满足：
（1）limx→af（x）=limx→ag（x）=0；
（2）在u0（a）内，f′（x）和g′（x）都存在，且g′（x）
≠0；
（3）limx→af′（x）g′（x）=a（a可为实数，也可以是±∞）
则limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=a。
例： （ 2011 年全国新课标理） 已知函数曲线 y = f（ x） 在
点[1，f（ 1） ]处的切线方程为 x +2y -3 =0。
（ ⅰ） 求 a、b 的值；
（ ⅱ） 如果当 x >0，且 x≠1 时，f（ x） >lnxx-1+kx，求 k
的取值范围。
注：原解在解答第（ ii） 题时方法比较困难，现用洛必达法则
进行如下解析：
解： （ ii） 由题设可得，当 x > 0，x≠1 时，k 0，x≠1） ，
则g （ x） = 2·（x2+1）lnx-x2+1（1-x2）2，
再令 h （ x ）= （x2+1）lnx-x2+1（ x > 0，x≠1），则h （ x ）
= 2xlnx+1x- x，h″（x）=2lnx+1-1x2，易知h″（x）=2lnx+1-1x2
在（0，+∞）上为 增函数，且 h″（1） = 0，故当 x∈（ 0，1）
时，h″ （ x ）0。

所以h′（x）在（ 0，1） 上为减函数，在（ 1，+ ∞）上为增
函数，故h′（x） >h′（1）=0，所以 h （ x ）在（ 1，+ ∞）
上为增函数。
因为 h（1） = 0，所以当 x∈（ 0，1） 时，h （ x ）0，
所以当 x∈（ 0，1） 时，g′（x） 0，
所以 g （ x ）在（ 0，1） 上为减函数，在（ 1，+ ∞）上为
增函数，因为由洛必达法则知limx→1g（x）= 2limx→
1xlnx1-x2+1=2limx→11+lnx-2x+1=2×（-12）+1= 0
即 k≤0，得k 的取值范围（ - ∞，0]。
通过对题目的分析，同学们容易想到用分离变量的方法，即分离
参数 k，再求导分离出的函数 g（ x） =2xlnx1-x2+1，进而分析
其单调性和极值。然而，这时对于“当 x =1 时，函数 g（ x） 没
有意义”环节，很大一部分同学不知如何分析。但如果在之前对其
讲 解用洛必达法则知识来解答此类问题，将会让同学们在高考数学
中节省很多时间并容易得到正确答案。
二.行列式知识巧解高考题
虽然行列式知识是大学数学高等代数中的内容，但其的一些思想< br>和知识能够作为高中数学的重要工具让同学们更加便捷的解决高
考难题。现在，对于用行列式知识 解高考题中的数列问题做以下解
析。
如运用知识：若ak，al，an是等差数列an第k，l，n项，则bk，
bl，bn 也是 等差数列bn的第k，l，n项的充分必要条件是

akbk1albl1anbn1=0 。
例 （2010 年山东理科高考卷 18 题）
已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26。 an的前n项和为sn。
（1）求an及sn；
（2）令bn=1a2n -1（n∈n*），求数列bn的前n 项和tn。
解：由题目易得2a6=a5+a7=26，所以a6=13。
（1）由定理 1 得3716131nan1=39+6an+7n-13n-3an-42=0整理
得an=2n+ 1。由通项知当 n=1 时，a1=3，所以由定理 3 得
131371n22sn-3nn=0。第 3 列的—1倍加到第 1 列，第 3 列的 （—
3 ）倍加到第 2 列，得001241n2-n2sn-6nn=0，24n2-n2sn-6 n=0，
sn=n2+2n。
整理得：sn=n2+2n。
（2） bn = 1a2n -1 = 1（2n + 1）2-1 = 14n2 + 4n，b1=18，
b2=12 4。由上面所给行列式知识得，118121241n22tn-18nn=0，将
第 3 列的 —1倍加至第 1 列，将第 3 行的-18倍加至第 2 列得，
0011-1121n2-n2tn-14nn=0，1-112n2-n2tn-14n=0，
即：2tn-14n+112（n2-n）=0，tn=-124n2+16n
通过对上题的 解析可以看出，用行列式知识来求解等差数列问题
就可以轻而易举的摆脱中学数学传统做法中对数列首项 和公差的
依赖。同时，这一知识对等比数列问题同样适用。行列式知识在解
决高中数学问题中的 应用还有很多，在这里不再一一列举。
三.柯西不等式巧解高考题

灵活的应 用高等数学中的柯西不等式可以使高中数学中比较难
解答的问题迎刃而解。不管是求函数的最值问题、还 是证明不等式
或者解几何问题，柯西不等式都可以运用到其中并简化问题。
柯西不等式：（n 维形式）对于任意的实数a1，a2，a3···an与
b1，b2，b3，···，bn，有（a21 + a22 + ··· + a2n ）（b21 + b22
+……+ b2n ）≥（a1 b1 + a2 b2 + ··· + an bn ）2。当且仅
当a1b1=a2b2=···= anbn时等号成立。（当bk=0时，认为ak=0，1
≤k≤n）。
例：（2008 年全国高考（ii）卷（理））如图设椭圆中心在坐标
原点， a（ 2，0）b（0，1） 是它的两个顶点，直线 y = kx （ k>0）
与 ab 相交于点d，与椭圆相交于e、f 两点。
（1） 若ab= 6df，求k 的值。
（2）求四边形 aebf 面积的最大值.
解：由已知，顶点a （2， 0） b（0，1）易得椭圆方程 x24+y2=1，
直线 ab 方程 x+ 2 y—2=0。
记点 e与点 f到直线 ab 的距离分别为d1与d2，e（x0，y0），
f（-x0，-y0）
则
d1=x0+2y0-25 ？ ？，d2=x0+2y0+25
从而四边形 aebf 的面积
s四边形abcd=12ab·（d1+d2）=x0+2y0-2+x0+2y0+22
考虑到点e（x0，y0）在椭圆x24+y2=1上，即x20 4 + y20 = 1，

由柯西不等式得x0+2y0=2·x02+2·y0≤22 + 22·x20 4 + y20 = 22
则x0+2y0∈-22，22
由绝对值的几何意义，故当x0+2y0=±22时，
s四边形aebf=x0+2y0-2+x0+2y0+22取到最大值22。
数学在高考答 题中是一门时间紧迫的学科，因为压轴题解题过程
的复杂性，使得大部分同学在压轴题中失去很多分数。 而大学数学
思想能将高中数学问题简单化、理性化。所以，适当的掌握一些与
解高中题目联系紧 密大学思想将会让同学们在高考或数学竞赛中
增加很多优势。（作者单位：西南大学数学与统计学院）
指导老师：于波
参考文献
[1]杨立群.行列式在中学数学中的运用[g].[硕士学位论文].东
北师范大学2012
[2]王伟.中学数学思想方法及其教学研究[j].才智.2010
[3]余池曾.柯西不 等式在高中数学中的应用研究[g].[硕士学位
论文].广州大学.2012