难点08 直线方程及其应用-2021届高考数学一轮复习难点突破——重要思想方法

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难点08 直线方程及其应用
[思维导读] 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线
方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵 活
运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难 ，
但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的.同时，方程思想不论是在初中数学还是在高中 数学
中应用都十分广泛。
[实例分享]
●难点磁场
(★★★★★)已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c.
●案例探究
［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为 节约经费，他们利用
课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α
(90°≤
α
＜180°)镜框
中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别 相距a m,b m,(a＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
命题意图：本题是一个 非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运
用，而且更重要的是考查了 把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.
错解分析：解决本题有 几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二
是把问题进一步转化成求t anACB的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值.都将使问题变
得复杂起来 .
技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函 数
值.
解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一 点，在x轴的正
半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值 .
由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acos
α
,asin
α
)、
(bcos
α
,bsin
α
),于是直线AC、BC的斜率分别为：
k
AC
=tanxCA=
asin
?
,
acos
?
?x
bsin
?
k
BC
?tanxCB?.
bcos
?
?x
k?k
AC
(a?b)?xsin< br>?
(a?b)?sin
?
于是tanACB=
BC

??
1?k
BC
?k
AC
ab?(a?b)xcos
??x
2
ab
?x?(a?b)?cos
?
x
由于∠AC B为锐角，且x＞0,则tanACB≤
(a?b)?sin
?
2ab?(a?b)c os
?
,当且仅当
ab
=x，即x=
ab
时，等号成
x
立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(
ab
,0),因此，学生距离镜框下 缘
ab
cm处时，视角最大，即
看画效果最佳.
［例2］预算用2000 元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅
子不少于桌子数，且不 多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？
命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问 题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出
约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直 观求得满足题设的最优解，属★★★★★级题目.
知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解.

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错解分析：解 题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的
最优解不满足题设 时，应作出相应地调整，直至满足题设.
技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解.
解：设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件
?
50x? 20y?2000
200
?
x?
?
y?x
?
?50x?20y?2000
?
?
7
为
?
由
?
,解得
?
?
y?x
?
y?1.5x
?
y?
200
?
?
7
?
?
x?0,y?0
200 200
，
)
77
?
x?25
?
50x?20y? 2000
?
,解得
?
由
?
75

y?1. 5x
y?
?
?
2
?
75
∴B点的坐标为(25，< br>)
2
20020075
所以满足约束条件的可行域是以A(，
)，B (25，)，O(0，0)为顶点的
77
2
∴A点的坐标为(
三角形区域(如 右图)
由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，
∈N,y∈N< br>*
,故取y=37.
故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.
［例3］ 抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，
今有抛物 线y
2
=2px(p＞0).一光源在点M(
75
)，但注意到x
2
41
,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线
4
上的 点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：
2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)

(1)设P
、
Q两点坐标分别为(x
1
,y
1
)、(x
2
,y
2
)，证明：y
1
·y
2
=－p
2
；
(2)求抛物线的方程；
(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在 的直线对称？若存在，请求出此点的
坐标；若不存在，请说明理由.
命题意图：对称问题是直 线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题
目，考查了学生理解问题、 分析问题、解决问题的能力，属★★★★★★级题目.
知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程.
错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时.
技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键.
(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知

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光线PQ必过抛物线的焦 点F(
设直线PQ的方程为y=k(x－
由①式得x=
p
，0)，
2
①
p
) < br>2
1p2p
y+,将其代入抛物线方程y
2
=2px中，整理，得y< br>2
－
y－p
2
=0,由韦达定理，y
1
y
2
=－p
2
.
k
k2
p
当直线PQ的斜率角为90 °时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y
1
·y
2
=
2
－p
2
.
(2)解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点， 所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(
4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，则 < br>41
，
4
?
y
?
?41
???1
?
41
2
51
?
?
x
?
?
?
x?
?
?
4
解得
?
4

?
41
?
x
?
?
?
?
y
?
??1
?
y?4
?
4
?4?2??17?0
?
22
?< br>直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y
2
=－1，
由题设P点的纵坐标 y
1
=4，且由(1)知：y
1
·y
2
=－p
2< br>,则4·(－1)=－p
2
,
得p=2,故所求抛物线方程为y
2
=4x.
(3)解：将y=4代入y
2
=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)
将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=
故N点坐标为(
13
,
2
13
，－1)
2
由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0,
设M点关于直线NP的对称点M
1
(x
1
,y
1
)
?
y
1
?4
?(?2)??1
?
41
1< br>?
?
x
1
?
x?
??
4
则
?
解得
?
1
4

?
x?
41
?< br>?
y
1
??1
1
y?4
?
4
?1
2??12?0
?
22
?
又M
1
(
称.
●锦囊妙计
1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜 率、截距)等问题；直线平行和
垂直的条件；与距离有关的问题等.
2.对称问题是直线方程 的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直
线的对称.中点坐标公式 和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.
3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中 的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域.
求线性目标函数z=ax+by的最大值或 最小值时，设t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减

11,－1)的坐标是抛物线方程y
2
=4x的解，故抛物线上存在一点(
，－1)与 点M关于直线PN对
44

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小)，要会在可行域中确定最优解.
4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数 列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程
进行，考查学生的综合能力及创新能力.
[难点突破训练]
一、选择题
10
2000
?110
2 001
?1
,N?
2002
1.(★★★★★)设M=
2001，则M与N的大小关系为( )
10?120?1
A.M＞N
A.15
B.M=N
B.30


C.M＜N D.无法判断
C.36 D.以上都不对
2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )
二、填空题
3.(★★★★)直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1) ，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐
标是_________.
4.(★★★★)自点 A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x
2
+y2
－
4x－4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_________.
5.(★★★★)函数f(
θ
)=
sin
?
?1
的最大值为 _________，最小值为_________.
cos
?
?2
6.( ★★★★★)设不等式2x－1＞m(x
2
－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x的范 围为_________.
三、解答题
7.(★★★★★)已知过原点O的一条直线与函数 y=log
8
x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴
的平行线与函数y=l og
2
x的图象交于C、D两点.
(1)证明：点C、D和原点O在同一直线上.
(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
8.(★★★★★)设数列{a
n}的前n项和S
n
=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0 .
(1)证明：{a
n
}是等差数列.
(2)证明：以(a
n
,
(3)设a=1,b=
值范围.
[难点突破答案与解析]
难点磁场
证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc－ 1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b＜1.
∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0
f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0
∴线段y=(bc－1)x+ 2－b－c(－1＜x＜1)在x轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+ 2＞
a+b+c.

一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(10
2001
，10
2000
）及C(10
2002
，102001
）连线的斜率大小，
因为B
、
C两点的直线方程为y=
答案：A
2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则

S
n
－1)为坐标的点P
n
(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. n
1
,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P
1
、P
2
、P
3
都落在圆C外时，r的取
2
1
x， 点A在直线的下方，∴k
AB
＞k
AC
,即M＞N.
10

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?
0?x?11
?
?
0?y?11

?
x?y?11
?
点(x,y）应在如右图所示区域内
当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；
当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;
当x=5时，y=7,8,9,10,11.
以上共有15个，x,y对调又有15个，再加 上(6，6），(7，7），(8，8），(9，
9），(10，10）、(11，11）六组，所以共 有36个.
答案：C
二、3.解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P
点.
答案：P(5，6）
4.解析：光线l所在的直线与圆x
2
+y
2
－4x－4y+7=0关于x轴对称的圆相切.
答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0
5.解析：f(
θ
)=< br>答案：
sin
?
?1
表示两点(cos
θ
,sin< br>θ
)与(2,1)连线的斜率.
cos
?
?2
4
0
3
6.解析：原不等式变为(x
2
－1)m+(1－2x)＜0,构造线 段f(m)=(x
2
－1)m+1－2x,－2≤m≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0.
7?13?1
?x?

22
三、7.(1)证明：设 A、B的横坐标分别为x
1
、x
2
，由题设知x
1
＞1,x
2
＞1,
点A(x
1
,log
8
x
1< br>),B(x
2
,log
8
x
2
).
答案：
因为A
、
B在过点O的直线上，所以
由于log
2
x
1
=3log
8
x
1
,log
2
x
2< br>=3log
8
x
2
,则
log
8
x
1
log
8
x
2
,又点C
、
D的坐标分别为(x
1
,log
2
x
1
）、(x
2
,log< br>2
x
2
).
?
x
1
x
2
k
OC
?
log
2
x
1
3log
8
x
1
log
2
x
2
3log
8
x
2

?,k
OD
??
x
1
x
1
x
2
x
2
由此得k
OC
=k
OD
,即O、 C
、
D在同一直线上.
(2)解：由BC平行于x轴，有log
2
x
1
=log
8
x
2
,又log
2
x1
=3log
8
x
1

∴x
2
=x
1
3

将其代入
log
8
x
1
log
8
x
2
,得x
1
3
log
8
x
1
=3x
1
log
8
x
1
,
?
x
1
x
2
由于x
1
＞1知log
8
x
1
≠0,故x
1
3
=3 x
1
x
2
=
3
,于是A(
3
，log8
3
).
9.(1)证明：由条件，得a
1
=S
1
=a,当n≥2时， 有a
n
=S
n
－S
n
－
1
=［na+ n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.
因此，当n ≥2时，有a
n
－a
n
－
1
=［a+2(n－1)b］－［ a+2(n－2)b］=2b.

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所以{a
n
}是以a为首项，2b为公差的等差数列. < br>S
n
S
na?n(n?1)b
?1)?(
1
?1)? a
(n?1)b1
1a
(2)证明：∵b≠0,对于n≥2,有
n
? ??

a
n
?a
1
a?2(n?1)b?a2(n?1)b 2
(
∴所有的点P
n
(a
n
,
－1)=
S
n
1
－1)(n=1,2,…)都落在通过P
1
(a,a－1)且 以
为斜率的直线上.此直线方程为y－(a
2
n
1
(x－a),即x－2y+a－2=0.
2
11
n?2
(3)解：当a=1 ,b=
时，P
n
的坐标为(n,),使P
1
(1,0)、P
2
(2, )、P
3
(3,1)都落在圆C外的条件是
22
2?
(r?1)
2
?r
2
?r
2
?
(r ?1)
2
?0
??
117
??
2222
?0

?
(r?1)?(r?)?r

即
?
r?5r?< br>24
??
222
?
(r?3)?(r?1)?r
?
r
2
?8r?10?0
??
由不等式①,得r≠1
由不等式②，得r＜
①

②
③
55
－
2
或r＞
+
2

22
由不等式③，得r＜4－
6
或r＞4+
6

再 注意到r＞0,1＜
55
－
2
＜4－
6
=
+
2
＜4+
6

22
5
－
2
)∪(4+
6
,+∞).
2
故使P
1
、P
2
、P
3
都落在圆C外时，r的取值 范围是(0，1)∪(1,