浅谈数形结合的思想在高中数学中的应用

浅谈数形结合的思想在高中数学中的应用


【内容摘要】：数形结合的思想是高考数学试题中的基本方法之一，数形结合的思想是< br>将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是可以使代数问题几何化，几何问题代数
化，从而 在解题过程中化难为易，化繁为简，提高解题效率。
【关键词】：数形结合 直观 形象 解题
一、数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法
华罗庚先生说过：数缺形时 少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万
事休。数形结合的数学思想：包含“以形助数” 和“以数辅形”两个方面，其应用大致可
以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的 联系，即以形作为手段，
数作为目的，比如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；二是借助于数的精 确性和规
范性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确的阐
明曲线的几何性质。实际上就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合
起来，使抽象 思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化。在解析
几何中，我们充分强调了用代 数方法解决几何问题的解析法，它解决了许多紧靠图形无法
精确讨论的问题，显示“数”的巨大威力。同 时我们也看到许多问题若从“形”的角度去
思考，可以找到直观、简捷的解题方案，这充分展现了“形” 的无穷魅力。

二、运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则
1、等价性原则
在数形结 合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。有
时，由于图形的局限性，不能 完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而
浅显的说明，要注意其带来的负面效应。
2、双方性原则
既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易
出错。
3、简单性原则
不要为了“数形结合”而数形结合。具体运用时，一要考虑是否可行和是否有 利；二
要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定
参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧
在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需要做到以下四点：
1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，
以便于问题求解。
很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍
的 效果。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是
借助于直角三角形 来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
四、下面我们从几个方面谈谈怎样用数形结合的思想方法解题
若能有意识的开发和利用解析几 何中的“形”，我们会发现它在方程、不等式、函数、
三角、复数、集合等代数分支中也有不俗的表现， 它往往比用纯代数理论进行的抽象的推
算要简捷明朗得多。
（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用
2
?
?
x
?bx?c,x?0,
例题：（1）设 函数
f(x)?
?
若
f(?4)?f(0),f(?2)??2,
则 函数
y?g(x)?f(x)?x
?
?
2,
x?
0
的零点个数为 。
（2）使
log
2
(?x)?x?1
成立的
x
的取值范围是 。
解析:（1）由
f(?4)?f(0)
得
16?4b?c? c
由
f(?2)??2,
得
4?2b?c??2.


y

C

B

0

联立两方程解得：
b?4,c?2.
于是，
?
x
2
?4x?2,x?0,
在同一直角坐标
f(x)?
?
?
2,
x?
0.
A

x

y?x

系内，作出函数
y?f(x)与函数y?x< br>的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点。
（2）在同一坐标系中，分别作出
log
2
(?x),y?x?1
的图象，由图可知，
x
的取值范围是
?
?1,0
?
.

1
y


?1

0

x


探究提高
（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角 等复杂方程）
的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉< br>函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作
出两个 函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。
（2）解不等式问题经常联系函数图象，根 据不等式中量的特点，选择适当的两个（或
多个）函数，利用两个函数图象的上下位置关系转化数量关系 来解决 不等式的解得问题，
往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答。
（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；

最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标。
（二）数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用
x
?
?
2?1,x
?
0,
例题：已知函数
f(x)?
?
2
若函数
g(x)?f(x)?m
有3个零点 ，则实数
m
的取值
?
?
?x?2x,x?0,
范围为 。
思维启迪
作出分段函数
f(x)
的图象，观察图象与
x
?
?
2?1,x
?
0,

y?m
的交点个数。函数
f(x)?
?
2
?
?
?x?2x,x? 0
y

1

?1

y?m

0

1

x

x
?
?
2 ?1,x
?
0,
?
?
画出其图象如图所示，又由函数
g(x )?f(x)?m
有3个零点，知
y?f(x)与y?m
2
?
??
?
x?1
?
?1,x?0
有3个交点，则实数
m的取值范围是
?
0,1
?
。
探究提高
解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题。
在解决函数图象的交 点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁。
（三）运用数形结合思想解决函数问题
加强数形结合意识，做到脑中有图，将图形性质与数量 关系联系起来，可使复杂问题
具体化，达到化难为易，解决问题的目的。

2
例题：已知实数
x,y
满足
x
?
y
?6x?7?0求：

2
（1）的最值；
（2）
y?x
的最值；
2
（3）
x
?
y
的最值。
2
y
x
分析：这是条件最值问题，若采用消元法，则较复杂，但我们 注意到方程
x
?
y
?6x?7?0
2
2
等价于?
x?3
?
2
?
y
2
?2,
表示圆心 在
?
3,0
?
，半径为
2
的圆，而
y
的几 何意义是圆上一点与原点
x
2
2
连线的斜率。令
y?x?b
，则
b
是
y?x?b
在轴上的截距，
x
?
y
是圆上一点与原点的距离的
平方。为此可借助于几何知识，通过数形结合解决。
解 ：条件
x
?
y
?6x?7?0?
2
2
?
x ?3
?
?
y
?2;
表示圆心
?
3,0
?< br>，半径为
2
2
2
的圆。

（1）设
k?,即y?kx
。由图可知，当
直线
y?kx
与圆相切时，斜率
k
取得最
大值和最小值。 此时，
3k?0
1?
k
2
y
x
y

y?kx

?2
，解
0

3

y?x?b

x

?
2
得
k??,所以< br>?
7
y
?
?
?
x
?
2
?< br>?;
?
7
max
y
?
?
?
x
?
2
??
。
7
min
（2）设
y?x?b,< br>即
y?x?b
。当
y?x?b
与

y

b

0

圆相切时，纵截距
b
取得最大值和最小值。
由图，此时
以

（3）
x
2
3

x

3?0?b
2
??1,
?2,解得b??1,b??5
所
??5
。
?
y?x
?
max
?
y?x
?
b

min
?
y
2
表示圆上的点与原点距离的
y

?
x?3
?
2
?y
2
?2
0

平方，由平面几何知，原点与圆心的两个
交点处取得最大值和最小值，即线段
OA,OB
.

（四）数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用
2
例题：已知P是直线
3x?4y?8?0
上的动点，PA、PB是圆
x
?
y
?2x?2y ?1?0
的两条切
2
A

3

B

x

线，A、B 是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
y

思维启迪
在同一个坐标系中画出直线与
圆，做出圆的切线PA、PB，则四边
P

3x?4y?8?0

C


A
B

x

形PACB的 面积
S
四边形PACB
?
S
?PAC
?
S
?PBC
?2
S
?PAC
,把
S
四边形PACB
转 化为2倍的
S
?PAC
可以有以下多
条数形结合的思路。

画出对应图形

利用数形结合明确所求
求解得结果
解：方法一 从运动的观点看问题，当动点P沿直线
3x? 4y?8?0
向左上方或向右下
方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积
s
?PAC
?
11
PA?AC?PA
越来越大，从而
S
四边 形PACB
22
也越来越大；当点P从左上、右下两方向向中间运动时，
S
四 边形PACB
变小，显然，当点P到
达一个最特殊的位置，即CP垂直直线，
PC?< br>3?1?4?1?8
2
2
S
四边形PACB
应有唯一的最小值 ，此时
3
?
4
?3
,
从而
PA?
PA< br>2
?
AC
2
?22.

?
(
S四边形PACB
)
1
?2??PA?AC?22.

min
2
方法二 利用等价转化的思想，设点P的坐标为
(x, y)
，则
PC?
股定理及
AC?1
,得
PA?
?< br>x?1
?
?
?
y?1
?
,
由勾
2< br>2
PC
1
2
2
?
AC
2
?
?
x?1
?
?
y?1
?
?1

2
?
2
从而
S
四边形PACB
?2
S
?PAC
?2?PA?AC?PA?
?
x?1
?
?
y?1
?
?1

2
?
2
从而欲求
S
四边形PACB
的最小值，只需求
PA
的最小值，只需求
PC
?
2
?x?1
?
?
?
y?1
?
的最小值，
2
2
即定点
C
?
1,1
?
与直线上动点
P
?
x,y
?
距离的平方的最小值，它也就是点
C
?
1,1?
到直线
3x?4y?8?0
的距离的平方，这个最小值
d
?< br>
2
3?1?4?1?8
3
?
4
2
2
?9
，
?
?
S
四边形PACB
?
min
?9?1?22
。

方法三 利用函数思想，将方法二中< br>S
四边形PACB
?
?
x?1
?
?
y?1< br>?
?1
中的
y
由
3x?4y?8?0
2
?< br>2
解出，代入化为关于
x
的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得
?
S
四边形PACB
?
探究提高
min
?22.
.
本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合 思想，运动变化的思想，等价转化思
想以及函数思想，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解 决。
（五）运用数形结合思想研究复数问题
复数的几何意义用向量表示， 把复数与平面几何和解析几何有机地联系起来，复数几
何意义充分体现了数形结合的思想方法。
例题：如果复数
z
满足
z?i?z?i?2,那么z?i?1的最小值
（ ）。
A.1 B.
2
C.2 D.
5

解：
?z?i和z?i
分别表示复数
z

在复平面上的对应点到
?i和i
的距离。
有
z?i?z?i?2
。
?
表示复数
z
的点的
集合石虚轴上点
i到点?i
之间的线段
?1

y

i

1

?1?i

?i

x

（包括端点）；另一方面
?z?i?1?z?(?1?i)
表示
z
对应的点到
?1?i
对应点的距离。由图可

见，当
z??i
时，
z?i?1
取得最小值为1。所以应选A。
探究提高：本题的常规解法是根据已知条件，寻求变量
x
和
y
关系，转化为一元函数，
按照求二次函数的最值的方法求解，这个解法虽有遵循操作程序，但对解题过 程中出现情
况难以预料，对可能发生的疏漏不易察觉，而且解题过程很长，而用数形结合的思想方法，< br>则通过图形直接揭示出问题的本质面貌，在很短时间内就能直观地看到十分简捷的解题途
径直接获 得可靠地结果，这对只要写出结果的选择和填空题中，有显著的优越性，当这种
机会出现时，应是首选的 解题方法。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直
接运用复数的性质求解；设复数的三角形 式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化
为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求 解。
总之，类似上述的题目很多，经常做这样的训练，对于培养学生的学习兴趣，提高解
题能 力是很有帮助的，总之凡是涉及到几何图形或具有几何意义的数学问题都应让学生考
虑先从几何图形的关 系上分析问题，从“形数”结合上逐步推理的好习惯。这样做既可以
培养对“形数”两方面的分析能力又 可迅速的估计出答案或答案的大致情形以寻找并发现
解答问题的途径，有时还可以防止和纠正某些计算错 误。高考十分重视对于数学思想方法
的考查，我们要有意识的运用数学思想方法去分析问题和解决问题， 形成能力，提高数学
素养。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是

根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几 何直观，使
数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，
宇宙间万 物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。