高中数学选修2-3《独立性检验的基本思想及其初步应用》教案资料

◆ 教 案
独立性检验的基本思想及其初步应用(第1课时)

教 材:
人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-3


【教学目标】
知识与技能目标：
(1)通过学生课前分组进行“事件与事件之间是 否有关系”的调查研究，理解统计方法的基
本思想和应用，通过学生根据已有知识的基础上进行的数据分 析，得到的直观结论，了解独
立性检验的必要性，为知识的形成起到较好的推动作用.
(2) 通过一起对典型案例“吸烟是否与患肺癌有关系”的合作探究、自主学习，并通过和反
证法原理的对比， 进一步让学生去理解独立性检验的基本思想、方法及初步应用.
(3)经历由实际问题建立数学模型的 过程，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思
想，认识统计方法在决策中的作用.
过程与方法目标：
(1) 学生通过自主调查、设计抽样方案、分析数据、动手探究，培养学 生的数学应用意
识，掌握统计学的基本思想和方法，培养学生的动手能力、数理统计能力和合作精神.
(2) 学生通过对调查数据的分析，作出的直观结论的可靠性程度的探究及其过程，理解
独立 性检验的基本思想，进一步掌握统计的方法，完善思维品质，并过特殊问题到一般性方
法的探究，寻求知 识之间的联系，通过新的知识与旧知识之间的对比，使学生掌握学习数学
的基本方法，进一步完善认知结 构.
(3) 在探究过程中，在老师的引导下学生自主学习，学生主要通过合作交流，独立思考
探究新知，获取新的知识；通过不同层次学生反映的问题进行适当的分析和指导，让不同层
次的学生在 学习过程中都有不同程度的提高，在练习中设置B组题，让思维和掌握程度较好
同学能够“吃饱”.

情感、态度、价值观：
1

(1) 通过学生自主研究， 进一步体会统计思想在实践中的应用，体会数形结合的思想；
在探究过程中通过对具体情景中的问题到寻 求一般解决方案，培养由特殊到一般思想，通过
知识间的联系和对比，体验数学中转化思想的意义和价值 .
(2) 在教学中为学生提供充分的从事数学活动的机会，如：课前的调查研究，分析数据，
通过课堂的探究活动，让学生自主探究新知，经历知识形成过程.
(3)通过小组的协作，培养学生 的团队精神，在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真
正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方 法及数学的应用意识，学会用计算器或计算
机软件进行数理统计能力，获得广泛的数学活动经验，提高综 合能力，学会学习，进一步在
意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展.


【教学重点与难点】
重点：
理解独立性检验的基本思想及实施步骤. < br>难点：
(1)了解独立性检验的基本思想；(2)了解随机变量
K
2
的 含义.


【教学方法】
《新课程标准》的理念是“向学生提供充分从事数 学活动的机会，帮助他们在自主探索
和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思 想和方法”.
考虑授课对象是高二年级理科生，学生层次差异比较明显，动手能力不足，因此通过课< br>前的分组进行课题的调查研究，分析数据，获取结论的过程让学生在活动中提升数学思考能
力，锻 炼动手能力，学会处理数据的基本方法，课中通过合作探究，自主学习等方式体验知
识的形成，根据不同 层次学生在探究、解决问题和练习中反映的问题进行适当的引导，让学
生在已有的基础上获得最大的发展 .
本节课主要是探究性学习，学生通过课前的调查研究和直观发现的结论和样本的随机性，
理 解独立性检验的必要性，根据所探究问题进行类比联想，寻求突破点，并在过程中分析所
得数据与问题之 间的联系，提升数学思维能力，通过与反证法思想的类比，进一步加深对独
立性检验思想的理解. 课堂中的例题和练习，主要是学生知识的应用为主，体会统计方法在实际问题中的应用，
体会统计方 法应用的广泛性，以丰富学生对数学文化价值的认识；并且通过身边问题的研究
统计，提高学习数学的信 心，数学课也承担着育人的任务，因此通过实际生活中的问题研究
有助于完善人生观世界观，树立良好价 值观.
2

对实际问题的分析中借助信息技术学会利用图形分析、解决问题及 用具体的数量来衡量
两个变量之间的联系，学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系.展示学生作品 则给学生
以成功的体验，增强学习数学的兴趣和信心.
【学法指导】
通过自己设计 研究的问题的调查，进行数理统计分析，引出问题后，通过每个环节不同
的问题的思考，学生主动积极地 参与探究活动，体验学习的乐趣，进行有意义学习活动；教
师在这个教学过程中进行有意义的引导，放手 让学生进行思考和探究，让学生主动找知识的
联系，寻求问题的解决.使学生充分经历“调查研究——分 析统计——数学解释——知识障碍
——探究新知——讨论归纳——发现新知——应用新知——回归应用” 这一完整的数学学习
活动，让学生感受到数学来源于生活应用于生活.学生自主探索、动手实践、合作交 流的学习
方式，体现在整个教学过程中.
【教学手段】

(1)学生课前分组调查研究，体会统计方法.
(2)借助计算器、多媒体，强化直观感知，体现数形结合.
(3) 提供学案“学生活动”，突破理解难点.
【教学流程】

课前分组确立调查问题

确定抽样方案，获取数据，统计分析







【教学过程】
反思总结，类比学习，构建有意义学习，练习巩固
3
给出卡方公式和临界值表，应用知识解决疑惑
课堂展示成果，协作探究，提出问题
由特殊到一般，寻求检验的方法
用频率近似概率，找出样本中
a
,b,c,d的关系

教 学 过 程 设 计 意 图
通过展示学生课前调查
一、展示调查研究成果、合作探究，提出问题
研究的问题，增 强学生学
习数学的兴趣，通过教师
1.让一个或两个组的同学展示调查研究的问题和成果 和同学肯定小组调查研
师：对事件间是否有关系的问题，前面各个组都确立了调查的问题
究 的成果，体验成功，增
和方案，也有了成果，下面请两个组的同学上来给我展示他们的成果.
强数学学习信心.根据学
生统计的情况加以分析
学生上讲台展示调查研究的成果，分析数据和给 出数学结论.
指导，如果没有用图形去
分析，可以引导他们用图
师：各个小组做得都非常好.
形去判断更加直观.
二、创设情景，合作探究、提出问题、引入新课
1.给出分类变量的概念
师：对性别变量，其取值为男和女两种.这种变量的不同“值”表示 个
体所属的不同类别，像这样的变量成为分类变量.现实生活中，分类变

量是大量存在的，例如：是否吸烟、宗教信仰、国籍等.
大家调查的问题就是两个分类变量之 间是否有关系的问题，通过抽
样调查获得数据，分析数据得到直观的结论的方法具有一般性，我们
什么许多类似的问题都可以用相同的方法进行调查研究；例如：数学
成绩和性别是否有关系对篮球的爱 好和性别是否有关系吸烟和患肺癌
是否有关系等，下面我们一起来研究一下“吸烟与患肺癌是否有关系”
的问题.
2.合作探究“吸烟与患肺癌是否有关系”
为了研究吸烟是否对患肺癌有 影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965
人，得到如下结果(表3-7)：
不患患肺总计
肺癌 癌
不吸7775 42 7817
烟
吸烟 2099 49 2148
总计 9874 91 9965
像这样列出两个分类变量的频数表，称为列联表.
师：你能从表格中数据判断吸烟是否对患肺癌有影响理由是什么
生：观察表格中的数据，计算 患肺癌在吸烟和不吸烟人群中所占的比
100%
例作出等高条形图：
90%
80%
直观上可得到结论，
70%
60%
患肺癌
50%
吸烟群体和不吸烟群
不患肺癌
40%
30%
体患肺癌的可能性
20%
10%
0%
存在差异.
不吸烟吸烟



描述分类变量的概念，并
举一些具体实例加以理
解，把具体事件之间的关< br>系归为两个分类变量之
间是否有关系的问题，让
学生体会这种有特殊到
一般数学 思想方法，教会
学生提炼数学问题.


由一般再回到具体问题
“ 吸烟与患肺癌是否有
关系”的判断上，师生一
起探究，既让学生再次体
会研究分类变量 间是否
有关系和分析数据的基
本方法，也把学生课外的
活动延伸到课堂中，调动
学生学习积极性.
4

让学生明白抽样调查的
3.提出问题，引入新课，获取新知
数据具有 随机性，所得到
师：通过数据和图形分析，我们得到的直观判断“吸烟和患肺癌有关”，
结论能 否推广到总体中
需要进一步检验结论
那么这种判断是否可靠呢由于抽样调查的数据具有随机性， 下这个结
去，
论是否会犯错误，犯错误的概率有多大这需要我们进一步的检验，这
的可 靠程度，提出问题，
引入新课.
就是我们今天要解决的独立性检验的问题.
师：如 果设事件A表示吸烟；事件B表示患肺癌.对于事件之间是否有
关系即会不会相互影响，和我们概率上的 两个事件A、B之间什么关系
是一致的
生：相互独立.
师：什么时候A、B相互独立相互独立事件有什么概率公式
生：A、B没有关系，如果相互独 立的话，同时发生的概率为相应概率
的乘积；即
P(AB)?P(A)P(B)
事件A，B和课本构造的
不一样，主要是根据学生
的认知特点，这样比较顺
应他们 的思维.通过类似
问题的联想，找到知识之
间的联系，为解决问题提
供线索，培养学生 分析问
题，联系旧知识，解决新
问题的能力.
由于概率中相互独立事
件有概 率计算公式的定
义，让学生理解为什么要
假设
H
0
：吸烟与患肺师：非常好，为此我们可以不妨假设
H
0
：吸烟与患肺癌没有关系.
为了研究更一般性，不妨把表中数据用字母表示，即：

不吸烟
吸烟
总计
不患肺癌
a

癌没有关系.






对吸烟与患肺癌有关系
的可靠性程度的检验具
有一般 性，由此把数据用
字母代替，让学生体会有
特殊到一般的思想方法.


患肺癌 总计
b

d

a?b

c?d

a
+b+c+d
c

a?c

b?d

学生在假设
H
0
的前提
请同学们在假设的 前提下，看看表中数据
a
,b,c,d具有什么关系
生：同学自主探究. 由表可知 ，
a
恰好为事件
AB
发生的频数；
a?b
和
下，结 合独立事件的
a?c
恰好分别为事件
A
和事件
B
发生的频数 ，因为频率近似于概率，
概率公式，自主探讨
所以在
H
0
成立的条件 下应该有
a
,b,c,d之间的关系，
培养学生的字母计算
aa?ba?c
能力.

??(其中n?a?b?c?d为样本容量）
nnn

(a?b?c?d)a?(a?b)(a?c),

根据学生推导的结果，让
ad?bc
师：这个过程你有什么体会
生1：在假 设
H
0
下，即如果吸烟和患肺癌没有关系，那么
a
d与bc的
5
学生理解、解释计算结
果，初步理解独立性检验
的基本思想，也培养学生
良好的数学思维品质，提

值会非常接近.
生2：如果
a
d 与bc的值相差很大，那么说明假设
H
0
成立的可能性很
小.
生3 ：判断吸烟与患肺癌有关系强弱可以转化为计算|
a
d-bc|，如果
|
a< br>d-bc|的值很大，这有关系越强，如果|
a
d-bc|的值很小，则有关系
越弱.
师：非常好，经过统计学家经过大量的研究调查，构造了一个随机变
n(ad?bc)
2
量
K?
其中
n?a?b?c?d
为样本容量.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2
升学生提炼总结的能力.
在这个环节基 础好的同
学应该要能够基本理解
透彻，因此提问中下层的
学生，根据他们回答的情况加于分析引导，让他们
在已有的知识结构中去
理解独立性检验的基本
思想，构建 起新的知识网
络.

给出
K
2
公式后，让学
请同 学们看
K
2
的大小对吸烟与患肺癌有关系的强弱程度有什么影响
生：若假设
H
0
成立，则
K
2
的值应该很小.
生和|ad-bc|值的大
小情况进行比较，理
解
K
2
的含 义，进一步
形成理解独立性检验
的基本思想.


师：很好，
K
2
的值会样本数据的变化而变化，
K
2
的计算公式和列联表中的数据有什么关系在表3－7中的数据下，
K
2
的观测值
k
大 小是多少
观察公式的结构，并通过
9965(7775?49?42?2099)
2
?56.632
生：
k?
7817?2148?9874?91
对 表3－7的数据代入计
算，初步掌握公式的计算
方法.

师：这个值到底告 诉我们什么呢也就是说这个数值大小是在假设
H
0
成
立下计算出来的，它的可 能性有多大呢经过统计学家们的研究发现，
K
2
的观测值的临界值对应的概率如下：
(
k
>
k
)
2


给出临界值表，引导学生
理解表格中临界值的变

化和对应概率的变化情
k

况，理解观测值与对应临
界值的概率大小 的含义，
观察表格，如果选择为临界值，说明了什么问题
理解独立性检验基本思
并初 步应用对应的概
生：说明
H
0
成立的情况
K
2
超过 的概率非常小，近似为，这是一个小
想，
率去解释实际问题.

概率事件，可以理解为在一次试验中是不会发生的，因此判断
H
0
不成
立.



师：对，由此我们可以确定，“吸烟与患肺癌没有关系”的概 率不超过，
即我们有99％以上的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.由此，我们就
应用独立性 检验的基本
有了，判断两个分类变量之间有没有关系的可靠性程度的检验方法了，
思想和方法进 行解释“吸
请同学利用这个方法检验一下自己调查分析的结论可靠性程度如何.
烟与患肺癌有关系”的可
靠性问题
6

生：利用独立性检验的方法进行检验自己调查的问题可靠性程度.
师：下面请各个小组说说你的结论.（请各个小组把计算的结果和得到
的结论进行交流）
生：小组间交流结果.
三、课堂阶段性小结，深化认识
师：有了这种检验的方法后 ，解决了直观结论的可靠性问题，这种方
法伟大吗(很好)，那么让我们走一次发现这种检验方法的路程 吧.
提问同学：独立性检验的基本思路什么
生：思考并回答：要判断“两个分类变量有关系 ”，首先假设该结论不
成立，即
H
0
：两个分类变量没有关系，在该假设下我 们所构造的随机
变量
K
2
应该很小，如果有观测的数据计算得到
K< br>2
的观测值
k
很大，则
断言
H
0
成立的可能 性很小，即认为“两个分类变量有关系”可能性很
大，如果观测值
k
很小，则说明在样 本数据中没有发现足够证据说明
两个分类变量有关系.
师：这种思维方法有没有和我们学过的什么方法类似
生：反证法.
师：对，下面让我们一起来对比一下两种方法的原理，完成下表：
在假设
H
0
下，如果推出一个矛盾，就证明了
H
0
不
成立.
在假设
H
0
下，如果出现了一个与
H
0
相矛盾的小概
独立 性检验原
率事件，就推断
H
0
不成立，且该推断犯错误的概
理
率不超过这个小概率
让学生利用新知识去解
决问题，加深对独立性检
验基本 思想的理解，并初
步掌握独立检验实施的
基本步骤.通过计算和查
表，小组间进行交流 ，体
验数学知识应用的成功，
体会数学的应用价值，加
深对统计方法的理解.

让学生通过学习，学会表
述自己所学的知识，在表
述的过程中完善数学思< br>维，规范语言表达，以达
到提高数学思维品质.特
别是要关注基础薄弱的
学生， 他们虽然不一定能
够准确表述到位，但是对
他们来说形成规范的数
学思维也是非常重要 的.


引导学生把独立性检验
的基本思想和反证法原
理进行类比 ，加深对独立
性检验的理解，同时也培
养他们联系看问题的观
点.



反证法原理
例如：在吸烟与患肺癌是否有关系的问题中，我们就可以这样下结论：

假设“吸烟与 患肺癌没有关系”，计算
K
2
的观测值
通过具体问题，教师给出
k?
9965(7775?49?42?2099)
?56.632
，因为
P(k
2
?6.635)?0.01
，
7817?2148?9874?91
2
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为吸烟与患肺癌有关系.

规范的表述， 让学生学会
规范表述数学结论，培养
学生严谨的数学思维和
良好的数学品质.


7

四、知识应用、巩固理解
例题1：某学校高二理科班期末市统考数学成绩如下：
优秀 不优秀 合计
男生
女生
合计
83
27
110
278
115
379
361
142
503

让 学生通过例题来理解、
体会独立性检验实施的
基本步骤，巩固知识；本
例题是课前所提 出的问
题之一，数据来源实际的
真实数据，希望借助本例
题的完成，让学生体会统计的结论对实践的指导
作用，加明确数学成绩与
性别无关，只要有兴趣，
通过一定 的努力都是可
以学好数学的.教师在学
生过程进行巡视，适当给
予指导.


(1) 利用图形判断数学成绩与性别是否有关系；
(2) 能否在犯错误的概率不超过的前提下认为数学成绩的好坏与性别
有关系
解：由列联表可得等高条形图如下：
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%男生女生
不优秀
优秀



通过实物投影仪把学生做得进行展示，特别是有
代表性的进行一些展示
和点评，以提高学生学习
数学的兴 趣和信心，同时
也规范解题步骤和格式，
养成严谨的数学思维和
解答习惯.



由图及表直观判断：“成绩优秀与性别没有关系”，根据列联表数据得
5 03?(83?115?27?278)
2
?0.944?0.708
， 到
k?
361?142?110?379
由于
P(K
2
?0.708) ?0.40
，故在犯错误的概率不超过的前提下不能认
为数学成绩的优秀与否与性别有关.
师：通过上述例题的解决，你能总结一下独立性检验实施的基本步骤

吗
第一步：根据抽样列出两个分类变量的列联表
第二步：有等高条形图直观判断是否有关系
第三步：计算
K
2
的观测值
k

第四步：查表找出观测值
k
对应临界值
k
0
的概率
第五步：下结论
8
通过总结步骤，进一步理
解独立性检验的基本思
想和方 法的应用，提高学
生的提炼总结能力.

五、学生课堂练习(见附注1)、教师点评练习


练习的设置分为A组和B组，A组主要是基础练习，所有同学建议都做，

也鼓励有部 分比较优秀的同学跳着做的，目的是突破本节课的重点和
难点的检查，掌握两个分类变量之间是否有关系 的直观判断，理解独
通过练习巩固新知识，
2
立性检验基本思想及其应用，了解
K
的含义，学会应用临界值表.B
组题的主要是在完成A组后，针对学习程度较好的同学和A 组完成比
较快的同学所预留的，希望不同层次的学生在已有的基础上或得最大
的发展.
在这期间教师主要巡视学生的解答情况，根据具体情况进行一些交流
和引导，师生一起核对答案或把答 案投影出来.

让学生在实践中感受知
识的应用，体会独立性检
验基本思想及 其初步应
用，完善知识结构.
六、课堂小结，总结知识和思想方法
这节课我们学习了什么知识和方法你有什么收获

学生总结提炼本节课主
要学习的内容和思想方
法.

课后继续学习：
教材：
P
97
习题 第1题
以小组为单位对自己设计的问题调查进行完善补充.
思考：1.建立两个分类变量的列联表时 ，数据的顺序和计算结果有关
系吗2.从前面我们的结论：在犯错误的概率不超过的前提下，认为“吸< br>烟与患肺癌是有关系的”，是否说吸烟就一定会患肺癌


附注1：(课堂上通过学案给出)
巩固新知，对学生已经调
查研究的问题进行再完< br>善的过程，以加深对问题
和解决问题方法的理解，
进一步理解统计思想和
确定性 思维的差异，体会
统计结论对实践的指导
作用.
学生课堂练习题

A组.
1.下列关于K
2
的说法正确的是( )
A. K
2
是用来判断两个分类变量是否有关系的一个随机变量；
B. K
2
的值越大，两个分类变量间的关系就越大
C. K
2
的观测值计算公式为K
2
=|
a
d-bc| D.以上都正确
2.在一个2×2列联表中，由其数据计算的K
2
观测值k为，则这 两个变量间有关系的可能性为
( )
% D.无关系




9

3.观察下列图表，期中两个分类变量的关系最强的是( )
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%< br>20%
10%
0%
CD
100%
80%
B
A
60%
40%
20%
0%
B
A

CD

A
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
C D

100%
90%
80%
70%
B
B
A
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
CD
B
A

C D
4.如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出K
2
的观测值k的数据 可能是( )
> <3.841 > <
5. 有甲乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下
列联表： 请画出列联表的等高条形图，并通过图形判断成绩与班级是否有关系；根据列联表的独立性
检验，能 否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩与班级有关系

优秀 不优合计

秀

甲班 10 35 45

乙班 7 38 45

合计 17 73 90

B组.
1. 给出假设
H
0
，下列结论中，不能对
H
0
成立与否作出明确判断的是( )
A.
k?2.235
B.
k?7.723
C.
k?10.321
D.
k?20.125

2.在调查的4 80名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患色盲，分别利用图形和独
立性检验的方法判断 色盲与性别是否有关系







3.在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中
有43 人主要是看电视，另外27人主要是运动，男性中21人主要是看电视，另外33人主要
是运动.
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
10