高中数学高考专题之 解决复数问题的实数化思想

【高考地位】
复数是中学数学中重要内容之一，也是高考考查重点之一。它 具有熔代数、三角、几何于一炉特点，
应用广泛。复数问题可化归为实数问题,可与三角、几何问题相互 转化，在教学(复习)中可纵横联系，不仅
有助于学生灵活应用知识,提高解决问题的能力，而且有益于 培养学生的数学思想方法、思维能力与创新意
识。
在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题的形式考查，其试题难度属低中档题.
【方法点评】
方法 实数化法
使用情景：求复数问题
解题模板：第一步 首先观察复数的形式；
第二步 然后根据分母实数化并由复数的概念对其进行求解；
第三步 得出结论.
例1. 【2 018河南八市重点高中联考】已知
i
为虚数单位，复数
z
的共轭复数为z
，且满足
2z?z?3?2i
，
则
z?
( )
A.
1?2i
B.
1?2i
C.
2?i
D.
2?i

【答案】A
例2、已知< br>?
1?i
?
x?1?yi
，其中
x,y
是实数，
i
是虚数单位，则
x?yi?
__________．

【答案】
2

【解析】由题意，
x?x i?1?yi
，则
x?y?1
，所以
x?yi?1?i?1?1?
例 3、【2018辽宁鞍山市第一中学第二次模拟】设复数
z?3?i
，且
zi?ab? iab
?
R,?
A. -4 B. -2 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】 复数
z?3?i
，且
iz?a?bi
?
a,b?R
?
，
[来源:学。科。网Z。X。X。K]
222
。
则
a?b
等于（ ）
?
，
< br>可得
?1?3i?a?bi
，解得
a??1,b?3
，所以
a ?b?2
，故选C.学&科网
a
2
?i
【变式演练1】【2018 豫西南部分示范性高联考】已知
i
是虚数单位，若则
a?
（ ）
?
a?R
?
为纯虚数，
1?i
A. 1 B. -1 C. 0 D.
?1

【答案】D
a
2
?i?
1?i
?
a
2
?1?a
2
?1i
a
2
?i
a
2
?1
??
?0?a??1.
【解析】为纯虚数，故
1?i2
2
?
1?i
??
1?i?
故答案为D。
【变式演练2】【2018湖北部分重点中学第一次联考】若复数
?
1?i
??
a?i
?
在复平面内对应的点在第二象限，
则实数
a
的取值范围是（ ）
A.
?
??,1
?
B.
?
??,?1
?
C.
?
1,??
?
D.
?
?1,??
?

【答案】B
????
【变式演 练3】若复数满足
(3?4i)?z?|4?3i|
，
i
是虚数单位，则z
的虚部为（ ）
A．
?4
B．
【答案】B
【解析】
试题分析：由
4
4
C．
4
D．
?

5
5
(?3i4?z)?|?i
有
(3? 4i)?z?|4?3i|?4
2
?3
2
?5
，所以有

z?
4
55(3?4i)34
???i
，虚部为,选B. 学&科网
5
3?4i(3?4i)(3?4i)55
考点：复数基本运算.
【变式演 练4】设复数
z?
4?5i
，则复数
z?1
的模为（ ）
1?i
A．
25
52
B．
4
C． D．
2

2
2
【答案】C
考点：1.复数的乘除运算；2.复数的模.
[来源学科网]

【高考再现】
1. 【2017课标1，理3】设有下面四个命题
1
p< br>1
：若复数
z
满足
?R
，则
z?R
；
p
2
：若复数
z
满足
z
2
?R
，则z?R
；
z
p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
?R
，则
z1
?z
2
；
p
4
：若复数
z?R
，则
z?R
.
其中的真命题为
A.
p
1
,p
3

【答案】B
【解析】
试题分析：令
z?a?bi(a,b?R)
，则由
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4

11a?bi
??
2< br>?R
得
b?0
，所以
z?R
，故
p
1
正确；
2
za?bia?b
22
当
z?i
时，因为z?i??1?R
，而
z?i?R
知，故
p
2
不正确；
当
z
1
?z
2
?i
时，满足
z
1
?z
2
??1?R
，但
z
1
?z
2
，知
p
3
不正确；
对于
p
4
，因为实数没有虚 部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故
p
4
正确，故选B.
【考点】复数的运算与性质. 学&科网

【名师点睛】分式形式的 复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成
z?a?bi(a,b?R)
的形式进行判断，< br>共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.
2. 【2017课标II，理1】
3?i
?
（ ）
1?i
A．
1?2i
B．
1?2i
C．
2?i
D．
2?i

【答案】D

3. 【2017山东，理2】已知
a?R
,i是虚 数单位，若
z?a?3i,z?z?4
，则a=
（A）1或-1 （B）
7或-7
（C）-
3
（D）
3

【答案】A
2
【解析】试题分析：由
z?a?3i,z?z?4
得
a?3?4
，所以
a??1
，故选A.
【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算.
【名师点睛】复数
a?bi(a,b?R)
的共 轭复数是
a?bi(a,b?R)
，据此结合已知条件，求得
a
的方程即可.
4. 【2017课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
A．
1

2
B．
2

2
C．
2
D．2
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得：
z?
故选C.
【考点】 复数的模；复数的运算法则
【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有：
z
1
2i
z
2i
2
，由复数求模的法则：
1
?
可得：
z???2
.
1?i
1?i
z
2
z
1
2

(1)
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
；(2)
z
1
?z
2
?z
1
?z
2
；
(3)
z?z?z?z
；(4)
z
1
?z
2?z
1
?z
2
?z
1
?z
2
； < br>(5)
z
1
z
2
?z
1
?z
2 ；(6)
22
z
z
1
?
1
.学&科网
z
2
z
1
5.
【2017北京，理2】若复数
?
1?i
??
a?i
?
在复平面内对应的点在第二象限，则实数
a
的取值范围是

（
A
）（
–∞
，
1
）

（
B
）（
–∞
，
–1
）

（
C
）（
1
，
+∞
）

（
D
）（
–1
，
+∞
）

【答案】
B
6. 【2017天津，理9】已知
a?R
，i为虚 数单位，若
【答案】
?2

【解析】
a?i
为实数，则a的值为 .
2?ia?i(a?i)(2?i)(2a?1)?(a?2)i2a?1a?2
????i
为实 数，
2?i(2?i)(2?i)555
则
a?2
?0,a??2
.
5
【考点】 复数的分类
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为 复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需
把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式 )组即可．
复数
z?a?bi(a,b?R)
，
当
b?0
时，
z
为虚数，
当
b?0
时，
z
为实数，
当
a?0,b?0
时，
z
为纯虚数.

2
7. 【2017浙江，12】已知a，b∈R，
（a ?bi）?3?4i
（i是虚数单位）则
a
2
?b
2
?
，ab= ．
【答案】5，2
8. 【2017江苏，2】 已知复数
z?(1?i)(1?2i),
其中i是虚数单位，则
z
的模是 ▲ .
【答案】
10

【解析】
z?(1?i)(1?2i)?1?i1?2i?
【考点】复数的模
【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
2?5?10
，故 答案为
10
．
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i,(a,b,c.d?R)
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
a?bi(a,b?R)
的实部为
a
、 虚部为
b
、模为
a
2
?b
2
、对应点为
( a,b)
、共轭为
a?bi.

【反馈练习】
1?2i
?1?i
，则
z
的共轭复数是（ ）
z
31311313
A.
?i
B.
?i
C.
??i
D.
??i

22222222
1．【2018湖北咸宁联考】若复数
z
满足
【答案】D
【解析】
1?2i1?2i?1?3i13
?1?i,?z??,?z???i.
z1?i222
本题选择D选项.
2.
【2018黑龙江齐齐哈尔 八中三模】已知复数
z?i
?
4?3i
2017
?
，则复数
z
的共轭复数为（ ）
A.
3?4i
B.
?3?4i
C.
4?3i
D.
?4?3i

【答案】A

【解析】
i< br>2017
?i
??
4
504
?i?i
，所以
z?i
?
4?3i
?
?4i?3i
2
?3?4i
，
所以
z?3?4i
，故选A。
3.
【2018河南中原名校联考 】
i
是虚数单位,复数
4?2i
?
?
1?i
?2
?4i?
（ ）
1?2i
A. 0 B. 2 C.
?4i
D.
4i
【答案】A
来源学科网
4?2i
??
1?2i
??
4?2i
2
【解析】
?
?
1?i
?
?4i??
?
1?2i?1
??4i?2i?2i?4i?0
，所以选A。
1?2i1?2i1?2i
??? ?
4．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设
a?R
，若
?
a?i?
i
（
i
为虚数单位）为正实数，则复数
a?2i
的共 轭复
数为（ ）
A.
2?2i
B.
1?2i
C.
1?2i
D.
?1?2i
【答案】B
来源:]
2


5．【 2018河北衡水中学联考】已知复数
z?
5i
（
i
为虚数单位）， 则复数
z
在复平面内对应的点位于（ ）
2i?1
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
2i?1??
2i?1
?
i
?
5i
???2?i
， 【解析】结合复数的运算法则可得：
z?
2i?12i?1
即复数
z
在复平面内对应的点位于第四象限.
本题选择D选项.
6．【2018云南昆明一中一模】已知
A.
1
B.
0
C.
【答案】C
1?z< br>??i
（其中
i
是虚数单位），则
1?z?
（ ）
1?z
2
D.
2

【 解析】
1?z?1?i
?i,?z??i
,
?1?z?1?i?1?1?2< br>，故选C.
1?z1?i
z?2
?
（ ）
z?17．【2018广西柳州摸底联考】已知复数
z
在复平面内对应点是
?
1 ,?2
?
，
i
为虚数单位，则
A.
?1?i
B.
1?i
C.
1?
【答案】D
33
i
D.
1?i

22
z?23?2i3
?

?1?i
，选D.
z?1?2i2
2?bi
8．【2018四川南充一诊】若复数的实部和虚部互为相反数，那么 实数
b
等于（ ）
1?2i
22
A.
?
B. C.
2
D. 2
33
【解析】
【答案】A

9．【2018河南豫南豫北第二次 联考】若原命题为：“若
z
1
,z
2
为共轭复数，则
z1
?z
2
”，则该命题的逆命
题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为 （ ）
A. 真真真 B. 真真假 C. 假假真 D. 假假假
【答案】C
【解析】由题意得原命题为真，由于模相等的复数不一定共轭，所以逆命题为假命 题，从而否命题为假命
题，逆否命题为假命题。因此真假性的判断为假假真。选C。
10. 【2018湖北八校第一次联考】已知复数
z?
A.
0
B. 1 C.
2
D.
3

【答案】D
【解析】∵
z?
故选D．
11. 【2018辽宁沈阳东北育才学校第二次 模拟】设复数
z
1
,z
2
在复平面内对应的点关于虚轴对称，且a2?i
?
的实部与虚部和为
2
，则实数
a
的值为（ ）
2?i5
?
2a?2
?
?
?
a?1
?
?2
a2?i
a
?
2?i
?
2?i
?2a?2
??
a?1
?
i
?????
，∴解得
a?3
，
2?i5555555

z
1
?2 ?i
，则
z
1
?z
2
?
（ ）
A.
?4?3i
B.
4?3i
C.
?3?4i
D.
3?4i

【答案】C
【解析 】由题意可得
z
2
??2?i
，从而
z
2
??2? i

则
z
1
?z
2
??3?4i

故答案选
C
来源:]

22
12. 【2018黑龙江省牡 丹江市模拟】已知
z?m?1?m?3m?2i(m?R,i
为虚数单位），则“
m? ?1
”
??
是“
z
为纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C