数学中的类比思想

小议数学中的类比思想
王 安 平
关键字：类比的思想 数形之间、数数之间的类比
所谓类比，是指两种事物之间存在着相互类似的性质或特点。这个词来源于 希腊文
“analogia” 原意为比例，后来引申为某种类似的事物。
类比的思想方法在 科学发展中占有着十分重要的地位。例如，著名科学家牛顿的万有引
力定律就是把天体运动与自由落体运 动做类比而发现的；著名的生物学家达尔文把植物的自
花受精与人类的近亲结婚相类比，从而发现了自己 子女体弱多病的原因。
类比的思想涉及了对知识的迁移。所谓迁移就是一种学习对另一种学习的影响。 在教学
中我们应当注意对学生迁移意识的培养，也就是说要注重运用类比的思想。
在我们平时 的数学教学中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进
行学习；另外，在教学中也可 以利用类比的思想进行教学。的确，类比法是学习数学的一种
常用方法。
数学的类比主要体现在以下几个方面：
㈠ 几何图形之间的类比
（1） 几何形体数量关系的类比
平面图形 立体图形
三棱锥体积公式：
V?
棱台的体积
1
ah

2
1
梯形的面积公式：
S?(a?b)h

2
三角形面积公式：
S?
1
Sh

3
公式 ：
V?
1
(S
1
?S
1
S
2
?S
2
)h

3
在以往的高考题目中，也出现了类似题目。
例如：在某年上海的高考模拟题中的一道题：
已知：在平面几何有勾股定理：“假设
?ABC
的两边
AB
、
AC
互相垂直，则有关系：
”当我们 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理并研究三棱锥的侧面
AB
2
?AC
2< br>?BC
2
。
面积与底面面积的关系时，我们可得到相应结论：假设三棱锥
A?BCD
的三个侧面
ABC
、
2222
ACD
、
ADB
两两垂直，则
S
?ABC
?S
?ACD
?S
?ADB
?S
?BCD

（2） 几何性质之间的类比
例如，几何体中的椭圆与双曲线就有很多的相似之处：
在
x
轴或在
y
轴上
焦点类型
（1）在
x
轴上
(?c,0)

焦点坐标
（2）在
y
轴上
(0,?c)

离心率
e?
c

a
准线
a
2
（1） 在
x
轴上
x??

c

a
2
（2） 在
y
轴上
y??

c
在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比，例如：
三角形存在唯一的外接圆
和内切圆
三角形的三条中线交于一
点，且该点分每条中线的比为
2:1

三角形的三条角平分线交
于一点，这个点是三角形内切圆
的圆心。
三棱锥存在唯一的外接球
和内切球
三棱锥的四条中线相交于
一点，且该点分每条中线的比为
3:1

三棱锥的六个二面角的平
分面相交于一点，这个点是三棱
锥内切球的球心。
同样是在某年上海的高考模拟题中的一道题：
已知：在三角形中存在余弦定理：
a< br>2
?b
2
?c
2
?2bccosA
，那么，在三棱< br>柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中存在关系（假设
?
表示平面
BCC
1
B
1
与平面
ACC< br>1
A
1
所成的二
面角）：
222
S
ABB
?S?S?2S
BCC
1
B
1
S
ACC
1
A
1
cos
?

BCC
1
B
1< br>ACC
1
A
11
A
1
㈡ 数与形之间的类比
众所周知，初等数学可分为代数与几何。在数学发展的初期，代数与几何是相互独立
的两个学科,但随 着解析几何的产生，代数与几何实现了统一。数形结合的思想也是我们在
平时教学过程中需重点培养学生 所具备的一种数学思想。下面我们看几道例题：
例1：求函数
y?
3?cosx
的最值
2?sinx
分析：这道题如果我们按照代数运算的常规解法，只能作出如下解答：
y?
3?cosx
?2y?ysinx?3?cosx?ysinx?cosx?3?2y?< br>2?sinx
3?2y3?2y
y
2
?1sin(x?
?)?3?2y?sin(x?
?
)??||?1
22
y?1y?1

?|3?2y|?y
2
?1?(3?2y)
2
?y
2
?1?3y
2
?12y?8?0?
6?236?236?236?23
?y??y
min
?,y
max
?
3333
但是本题， 我们若利用数形结合的思想，则会使解答过程大幅度简化。当我们考虑到题
目所给形式与直线的斜率公式
k?
y
2
?y
1
(x
1
?x
2< br>)
有些类似时，我们可以认为原题为：
x
2
?x
1
过 动点
(?sinx,cosx)
与定点
(2,3)
的连线的斜率的最值，很明 显，点
(?sinx,cosx)
是单位
圆上的点。假设过点
(2,3)的直线方程为
y?3?k(x?2)
，则求原题的最值就转化为求上面

这条直线与单位圆相切时
k
的值。由原点到直线的距离为1 ，所以通过点到直线的距离可得，
k?
6?23
。
3
所以，原题
y
min
?
6?236?23
。
,y
max
?
33
例2 求函数
f(x)?x
2< br>?4x?13?x
2
?10x?26
的最小值。
分析：对于这道求函 数最值的问题，我们可以利用判别式的方法或其它一些代数方法进行
求解，但是它们的计算量都较大。当 我们观察到题目中只含有二次根式，并且在二次根式
中含有二次式，同学们可以联想一下，在高中阶段我 们所学的公式中，两点间的距离公式
是满足这种形式的。所以，可以将原函数配凑成两点间距离公式的形 式
f(x)?(x?2)
2
?(0?3)
2
?(x?5)
2
?(0?1)
2
。可见，这里面包含着三个点(
x
,0),(2,3 )
和(5,-1)。依次设三点为A,B,C，其实本题就是在求
AB?AC
的最小值 。在坐标系内画出
这三点，其中A点在
x
轴上移动，当这三点共线时
AB?A C?BC
；当A点不在BC上
时，这三点构成三角形，由三角形的知识我们知道
AB? AC?BC
。不难看出，只有当
三点共线时
AB?AC
有最小值
BC
。
所以，
f(x)
min
?(AB?AC)
min
?BC?5

通过简单计算可知，这时
x?
17
。
4
在各个省市的高考模拟题中经常出现类似于这样的题目：
例3：方程：
log
3
x?x?3
的解所在的区间是（ ）
A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 从表面上看，这是一道解方程的题，然而这种题如果利用解方程的常规方法，也只有利用逐
步逼近的 最小二乘法才能解决，但是这种数学方法的运用要求同学们有高等数学的知识，这
只有到了大学才能学到 ，那么这道题对于高中阶段的同学们就无从下手了吗？我们先来回顾
2
一下有关方程的一些表示 的几何意义。例如：方程
x?8x?7?0
表示的就是一个二次函
数
y?x? 8x?7
与
x
轴的交点，也可以说成一个二次函数
y?x?8x
与一 个常量函数
22
y?7?0
的交点，所以由此可知原题
log
3x?x?3
的解实际上就是一个在求对数函数
y?log
3
x
和 一个一次函数
y?3?x
的交点横坐标。可见，我们只要在同一个坐标系内画
出
y?log
3
x
和
y?3?x
的图像，然后观察交点的横坐标所在 区间就可以了。通过画图像

可明显得到交点的横坐标所在的区间为（2,3），选C。
应该讲数与形的类比中蕴含着数形 结合的数学思想，这是高职、高考中的一个重点，应
该引起足够的重视。
㈢ 数与数之间的类比
在代数中有一些概念是存在类比关系的，例如均值不等式中
二元均值不等式

a
2
?b
2
?2ab


a?b?2ab

三元均值不等式
a
3
?b
3
?c
3
?3abc

a?b?c?3
3
abc


abc?(
a?b
2
)

2
当且仅当
a?b
时取“=”

ab?(
a?b?c
3
)

3
当且仅当a=b=c时取“=”
并且我们在解一些代数题目时，如果有着较强的类比能力的话往往题目就会得到很大简
化。
例1：在三角函数中有着这样的一道习题
化简下面的式子：
y?sin2xsi n2ysin2z?sin(x?y)sin(y?z)sin(z?x)?
sin(x?z)sin( y?z)sin(y?x)?sin(y?x)sin2zsin(x?y)?

sin(y? z)sin(z?y)sin2x?sin(z?x)sin(x?z)sin2y
分析：此题让人眼花 缭乱，深感无从下手，如果利用两角和的正弦公式以及二倍角的正弦公
式去进行化简则工作量是十分巨大 。但我们观察到，题目是一个六项的代数和，前三项是正
的，后三项是负的，且每一项都是三个正弦的乘 积形式，我们可以与三阶行列式的展开式相
类比，可以进行如下的解法：
sin2x
y?sin(y?x)
sin(x?y)sin(x?z)
sin2ysin(y?z)
sin2z
sinxcosy?cosxsiny
sinzcosy?coszsinysinxcosz?cosxsinz
sinzcosz?sinzcosz
sin(z? x)sin(z?y)
sinxcosx?sinxcosx
sinzcosx?coszsi nx
?sinycosx?cosysinxsinycosy?sinycosysinycosz? cosysinz
sinxcosxsinxcosysinxcoszsinxcosxcosxsi nycosxsinz
?sinycosxsinycosysinycosz?cosysinxsi nycosycosysinz
sinzcosxsinzcosysinzcoszcoszsinx coszsinysinzcosz
sinxsinxsinxcosxcosxcosx
?c osxcosycoszsinysinysiny?sinxsinysinzcosycosycosysinz
?0?0?0
例2：（1）解方程：
3
x?1?
33x?2?4x?3?0

sinzsinzcoszcoszcosz

（2）求证：
(1?2003)
200 2
?(1?2003)
2002
2003
?N
?

分析：同学们一看肯定就会问，为什么例2包括了两道题目，而且，这两道题目表面上似乎
没有什么联系 ，可谓是风马牛不相及，但是，同学们还是先看一看这两道题目的解题过程吧。
解（1）：观察到题目中
x?1?3x?2?4x?3


?
3
x?1?
3
3x?2?x?1?3x?2?0

令
x?1?t?
3
t?t?
3
3t?1?3t?1?0

设一个函数
f(t)?
3
t?t
，
则
f(3t?1)?
3
3t?1?3t?1

所以，
f(t)?f(3t?1)?0

又由于这个函数是一个奇函数，
f(?t)??f(t)

所以，
f(3t?1)??f(t)?f(?t)

由于，函数
f( t)?
3
t?t
是在整个定义域区间内单调的函数，所以
3t?1??t?t ?
13
?x??

44
3
所以原方程的解为
x??

4
2002解（2）：设一个函数
f(x)?(1?x)?(1?x)
2002
，通过判断可 以知道，这个函数是一个
奇函数。所以函数的展开式中一定只含有
x
的奇数次项，那么 在函数
(1?x)
2002
?（1?x)
2002
g(x)?
的展开式中一定只含有
x
的偶数次项，所以将
x
(1?2003)
2002
?(1?2003)
2002
2003

展开后，在
2003
上一定就只有偶数次，也就是说，在展开式中将不再含有有关
2003
的< br>因式，而是一些整数的乘加运算，综上所述，我们可以推断出结论：
(1?2003)
2 002
?(1?2003)
2002
2003
?N
?
< br>总结：以上就是这两道题目的解题过程，通过观察我们不难发现，这两道表面上似乎没有什
么联系 的题目，在解题过程中，存在着很多共同之处。首先，两道题目都设了一个函数，其
次，对所设的函数的 奇偶性题目都进行了讨论，并且通过函数的奇偶性，我们解决了题目。

如果我们在解（1）时，同学们还沿用常规方法（等式两边开立方），那么题目的运算量可想
而知； 如果，我们在解（2）时，采用二项式定理将原式展开，那么它的运算量也是不小的。
可见，在解题过程 中，合理的运用我们所学的知识进行类比，有时往往能使我们一筹莫展或
运算量很大的题目柳暗花明，这 就叫巧解。
当然我们在进行类比时也有可能出现诸如此类的错误：
例如：由于
a(b?c)?ab?ac
这个乘法的分配律，则
错误 正确
log
a
(x?y)?log
a
?log
a
y
log
a
(x?y)?log
a
x?log
a
y

log
a
(x?y)?log
a
x?log
a
y

log
a
x
?log
a
x?log
a
y

y
sin(
?
?
?
)?s in
?
?sin
?

cos(
?
?
?)?cos
?
?cos
?

sin(
?
??
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin< br>?

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

我们对于这些从外 形上看相似的概念，如果也利用类比的思想去处理有关的问题，那么
我们就会得到错误的结论，这也可以 称为类比的思想在数学中的局限性，我们不能一味根据
外形的相似，而忽略对数运算、正（余）弦运算与 乘法运算的根本差异。
综上所述，类比的思想在我们处理一些数学问题时的确起着十分重要的作用，我 们也应
该学习类比的思想，但是在利用类比的思想去处理一些问题时，我们也要注意所类比的两个
事物在本质上是否是相同或相似的，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题。