高等数学在高中阶段的应用

浅谈高等数学在高中阶段的应用
作者简介：田帅，（1990.12-），男，籍贯：河南淮阳，单位：
周口师范学院 研究方向：信息与计算科学，职业：学生。
摘要：本文介绍高中数学和高等数学的概念，然后总结了它 们
之间的关系，重点探讨了高等数学中导数、极限思想、柯西不等式
在高中数学题中的应用，并 给出了例子进行详细说明。
关键词：导数；极限思想；向量方法
1.中学数学和高等数学的关系
高等数学与中学数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很
大的区别，正因为这个原因，有许多学者认为，学生不需要懂得高
等数学知识。其实，这是一种 误解。因为高等数学是在中学数学的
基础上发展起来的，是中学数学的继续和提高，利用高等数学知识< br>揭示中学数学的解题方法，有利于提高学生的数学思维能力，帮助
学生学会以高等数学的思想、方 法为工具从不同的角度去研究中学
数学问题，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决中学数学中一些或一类问题等等。中学数学里很多理论遗留问题必须在高
等数学中才能澄清，很多数学题都 因为高等知识的运用才得以扩
展，才让我们对题的本质有更透彻的了解，所以二者有着密切的关
系。我们应该将高等数学思想方法全面渗入到中学数学中，寻找高
等数学与中学数学的结合点。
2.高等数学知识在中学数学题中的应用

高等数学中有许多方法和中学数学相通，有些可以适当迁移到
中学数学中来。高等数学的方法不 仅可以使我们居高临下地去观察
中学数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能够帮助我们剖析
某些问题实质，寻求简捷的解法。中学数学中常用的高等数学方法
有极限法、求导法、向量法、概率法 等。下面以中学中常见的问题
为例来说明高等数学方法在中学数学中的应用。
2.1导数的应用
导数是中学数学与高等数学的重要衔接点，在中学数学里导数
的应 用很广泛，比传统的方法有许多优越性，给传统的数学内容注
入了新的生机和活力。
2.1.1求函数的极值、最值
求导是数学中非常重要的一种方法，求极值、最值问题是是中
学数学里很普遍的，用一般的方法比较复杂，利用导数求函数的极
大（小）值，求函数在连续区 间a，b上的最大（小）值，能使问
题变得简单化。
利用导数这一工具，我们就很容易的解决了一元三次函数的极
值问题.
2.1.2利用函数单调性证明不等式
中学里不等式的证明是一大重点也是难点，证明的方法 有很多
种，而利用函数单调性证明不等式是一种行之有效的手段，其基本
步骤是：

（1）移项，使不等式一端为零，另一端函数设为辅助函数f（x）.
此时问题转化
为证明f（x）≥0或f（x）≤0.
（2）讨论f（x）的正负来确定f（x）的单调性.
（3）根据函数的增减性及端点处的函数值或极限值（或其符号）
即可得所证.
由此 例可以看出利用函数的单调性证明不等式关键是构造辅助
函数f（x），在判别f（x）单调性时，有时 需借助于f″（x）或更
高阶导数的符号来得到f′（x）的符号；有时对所证的不等式作适
当 的变形可以使问题简化.
2.2极限思想方法的应用
极限是高等数学中的基本概念.在高中 数学与高等数学中起着
承上启下的作用，下面通过例子来看极限思想在高中数学里的体
现.
以上例子是极限思想在数列中的应用，同时极限思想也可以应
用于应用题.
2.3向量方法的应用
向量不仅是研究高等数学的重要工具，也是研究中学数学的一
种手段.用向量方法研究几何、代数、三角等方面的问题具有直观
性、表述的简洁性、处理方法的一般性 等特点.下面举例加以说明。
特别地，当a在bcd面上时，即δbcd的三条高线交于一点.

由此例可以看出用向量方法比几何证明方法简单，也足以说明
高等数学知识对解中学数学题的重 要性.
2.4概率的应用
不等式的证明始终是高中学生学习的一大难题，当然，随着高中知识的深入，我们也学会了越来越多的方法.如果用概率论方法
来证明一些不等式，不但可以简化 证明，而且还显示了概率应用的
巧妙性和优越性，为解决一些不等式的证明提供了一种新的思路.
下面研究一下概率在不等式证明中的应用.
通过以上不等式的证明，可以看出，要利用概率论方法对 不等
式进行证明，关键在于针对不等式的具体形式构造相应的概率模
型，再利用概率论的相关公 式、性质加以证明，从而可以使不等式
的证明大大的简化.
3.结束语
本文论述了 高等数学与高中数学的关系，介绍了导数、极限思
想等在中学数学题中的应用，由本文可以看出从高等数 学的角度来
看中学数学中的一些问题会更全面、深刻，高等数学的运用可以培
养学生分析问题和 解决问题的能力，拓展解题思路，所以应寻求高
等数学与中学数学的结合点，这样可以更好的帮助学生解 决中学数
学中的一些问题，增加了学生学习高等数学的兴趣。
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