高中数学联赛试题微盘-高中数学高一学几册
八开打印3基础知识与基本方法复习doc高中数学
第三章数列
例1.数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
2
n
?2n?n
,求数列
?
a
n
?
的通项公式.
1.数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与
通项
a
的关系:
n
a?
?
?
S
1
(n?1)
例2.
a
1
?3且a
n
?S
n?1
?2
n
,求
a
n
及
S
n
.
n
?
S
n
?S
n?1
(n≥2)
a
例3.
a
1
?1
,
S
n
?n
2
n
(n≥1)
求
a
n
及
S
n
.
数
列
例4.求和
1?
111
1?2
?
1?2?3?
?
?
1?2?3?
?
?n
.
2.数列求和的常用方法:公
式法、裂项相消法、错位相
减法、倒序相加法等。
关键是找数列的通项结构。
例5.数列1
1
,3
1
,5<
br>1
,7
1
1
248
16
,…,(2n-1)+
2
n
的前n
项之和为S
n
,那么S
n
等于(
)
(A)n
2
+1-
1
2
n
(B)2n
2
-n+1-
1
2
n
(C)n
2
+1-
1
2
n?1
(D)n
2
-n+1-
1
2
n
例6.求和:
S?1?2x?3x
2
?4x
3
??nx
n?1
.
等差数列 等比数列
定义
a
n?1
?a<
br>n
?d
(
d
为常数,
n≥2
)
a
n?1
a
?q(q?0,且为常数,n≥2)
n
递推
a
n
?a
n?1
?d
(
a
n
?a
m
?(n?m)d
)
a
m
公式
n
?a
n?1
q
(
a
n
?a
m
q
n?
)
通项
a
n
?a
1
?(n?1)d
a1
n
?a
1
q
n?
〔
a
1
,
q?0
〕
公式
中项
A?
a
n?k
?a
n?k
G??a
n?
k
a
n?k
(a
n?k
a
n?k
?0)
2
〔
n,k?N
*
,n?k?0
〕
〔
n,k?N
*
,n≥k≥0
〕
前
n
S?
n
(a
1
?a
n
?
na<
br>1
(q?
项和
n
2
)
S?
?<
br>1)
n
?
a
等
?na
n(n?1)
1
?
?
1
?
1?q
n
?
a
差
2
d
?
1?q
?
1
?an
q
1?q
(q?1)
数
?
?
列
?<
br>d
?
?
2
?
?
n
2
?
?<
br>?
?
a
d
?
1
?
2
?
?<
br>n
与
重要
①等和性:a
m
?a
n
?a
p
?a
q
①等积性:a
m
?a
n
?a
p
?a
q
等
性质
(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)
(m,n,p,q?N
*
,m?n?p?q)
比
②
数
a
n
?a
m
?(n?m)d
②
a
n?m
n
?a
m
?q
列
③从等差数列中抽取等距离的项
③从等比数列中抽取等距离的项
组成的数列是一个等差
数列。
组成的数列是一个等比数列。
如:
a
1
,a
4<
br>,a
7
,a
10
,???
〔下标成等差
如:
a
1
,a
4
,a
7
,a
10
,???〔下标成等差
数列〕
数列〕
证明证明一个数列为等差数列的方证明一个数列为等比数列的方法:
方法 法:
1.定义法
aa
1.定义法
a
n?1
?q(常数)
n?1
?
n
?d(常数)
a
n
2.中项法
a2)
2.中项法
a
2
n?1
?a
n?1
?2a
n
(n?
n?1?a
n?1
?(a
n
)(n?2)
设元三数等差:
a?d,a,a?d
技巧
四数等差:
a?3d,a?d,a?d,a?3d
三数等比:
a
q
,a,aq或a,aq,aq
2
四数等比:
a,aq,aq
2
,aq
3
联系
真数等比,对数等差; 指数等差,幂值等比。
重点把握通项公式
和前n项和公式,关于性质要紧是明白得
...
(也确实是讲自己
能推导出来),具体
运用时就能灵活自如.专门是推导过程中运用的方法,是我们研
究其他数列的一种尝试.如推导等差数列
通项公式的〝累差〞法和推导等比数列
通项公式的〝累积〞法,是我们求其他数列通项公式的一种体会.
又比如推导等
差数列求和公式的〝倒序相加法〞和推导等比数列求和公式的〝错位相减法〞
差不多上数列求和的重要技巧.
注:⑴等差、等比数列的证明须用定义证明;⑵数列运确实是本章的中心内
容,利用
等差数列和等比数列的通项公式、前
n
项和公式及其性质熟练地进行
等
运算,
是高考命题重点考查的内容.⑶解答有关数列咨询题时,经常要运用各种
差
数学思想.善于使用
各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标.①函数
数
思想:等差等比数列的通项公式
求和公式都能够看作是
n
的函数,因此等差等
列
比数列的某些咨询题能够化为
函数咨询题求解.
与
等
②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为
Sa
1
(1?q
n
)
n
?
比
1?q(q?1)
及
数
S
n
?na
1
(q?1);
S
n
求
a
n
时,也要进行分类;③整体思想:在解数
列咨询题时,
列
应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整体思想求解.⑷在解答有关
的
数列应用题时,要认真地进行分析,将实际咨询题抽象化,转化为数学咨询题,
再利用有关数
列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决
不是简单地仿照和套用所能完成的.专
门注意与年份有关的等比数列的第几项不
要弄错.
例7.等差数列{a
n
}中,
a
111
1
?
,
a
6<
br>,a
n
=33,那么n为〔 〕
3
?
3
(A)48 (B)49
(C)50 (D)51
例8.在等比数列
?
an
?
中,
a
7
?12,q?
3
2
,那
么
a
19
?_____.
例9.
2?3
和
2?3
的等比中项为( )
(A)1
(B)?1
(C)?1
(D)2
例10. 在等比数列
?
a
n
?
中,
a
2
??2
,
a
5
?54
,求
a
8
,
等
差
数
例11.在等比数列
?
a
?
中,
a
1
和
a
10
是方程
2x
2
?5x?1?0
的两个根
列n
,
与
那么
a
4
?a
7
?
( )
等
比
(A)?
5
(B)
2
(C)?
1
2
(D)
1
2
2
2
数
例12.
等差数列
?
a
?
满足
a
1
?a
2
?a
3
??a
101
?0
,那么有( )
列
n
(A)a
1
?a
101
?0
(B)a
2
?a
100
?0
(C)a
3
?a
99
?0
(D)a
51
?51
例13. 数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?3n
2
?2n
,
求证:数列
?
a
n
?
成等差
数列,并求其首项、公差、通项公式。
例14.
一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为
32:27,求公差.
例15. 在等比数列
?
a
n
?
,
a
1<
br>?5
,
a
9
a
10
?100
,求
a
18
.
等
例16.设数列{a
n
}为等差数列,S
n
为
数列{a
n
}的前n项和,S
7
=7,S
15
=75, <
br>差
数
T
n
为数列{
S
n
n
}的前n
项和,求T
n
.
列
与
等
比
数
列
例17.三数成等比数列,假设将第三个数减
去32,那么成等差数列,假设再将这
等差数列的第二个数减去4,那么又成等比数列,求原先三个数.
例18.
在5和81之间插入两个正数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比
数列,求这两个数的和.
例19. 设{a
n
}是等差
数列,
b
1
21
1
n
?(
2
)
a
n
,b
1
+b
2
+b
3
=
8,b
1
b
2
b
3
=
8
,求等差数列的
通项a
n
.
例20. 等差数列{a
n
}中,|a
3
|=|a
9
|,公差d<0,那么使前n项和S
n
取最大值的正
整数n是( )
(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7
(D)8或9
数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案
例1. 当
n?1
时,
a
1
?S
1
?1
,当
n≥2<
br>时,
a
n
?2n
2
?n?2(n?1)
2
?
(n?1)?4n?3
,经检
验
n?1
时
a
1
?1
也适合
a
n
?4n?3
,∴<
br>a
n
?4n?3(n?N
?
)
例2. 解:∵a
?2
n
,∴
S
n
S
n?1
n
?S
n
?S
n?1
,∴
S
n
?2S
n
?1
2
n
?
2
n?1
?1
设
b
S
n
n
?
2
n
那么
?
b
n
?
是公差为1的等差数列,∴
b
n
?b<
br>1
?n?1
又∵
b
S
1
a
1
1?
2
?
2
?
3
2
,
∴
S
n
2
n
?n?
1
2
,∴
S
n?(2n?1)2
n?1
,∴当
n≥2
时
a
n
?S
n
?S
n?1
?(2n?3)2
n?2
∴
a
?
3
(n?1)
n
?
?
S?(2n?
1)2
n?1
?
(2n?3)?2
n?2
(n≥2)
,
n
例3 解:
a?S
n?1
nn
?S
n?1
?n
2
a
n
?(n?1)
2
a
n?1
从而有
a
n
?
n?1
a
n?1
∵
a
1213214321
1
?1
,∴
a
2
?3
,
a
3
?
4
?
3
,
a4
?
5
?
4
?
3
,
a
5<
br>?
6
?
5
?
4
?
3
,
∴
a
(n?1)(n?2)?
?
?3?2?1
n
?
(
n?1)n(n?1)?
?
?4?3
?
2
n(n?1)
,∴
S?n
2
a
2n
nn
?
n?1
.
例4.解:
a
1
1?2?3?
?
?n
?
2
n(n?1)
?2(
1
n
?
1
n
?
n?
1
)
∴
S
?
?
(1?
1
2
)?(
1
2
?
111
?
12n
n
?2
?
3
)?
?
?(
n
?
n?1
)
?<
br>?
?2(1?
n?1
)?
n?1
例5.A
例6. 解:
S
n
?1?2x?3x
2
?4x
3<
br>????nx
n?1
①
xS
2
n
?x?2x?3x<
br>3
????
?
n?1
?
x
n?1
?nxn
②
①?②
?
1?x
?
S
n
?
1?x?x
2
????x
n?1
?nx
n
,
?1
时,
?
1?x
?
S
1?x
n
1?x
n
?nx
n
?nx
n?1
1?
?
1?n
?
x
n
?nx
n?1
1?
?
1?n
?x
n
?nx
n?1
当
x
n
?
1?x
?nx
n
?
1?x
?
1?x
∴
S
n
?
?
1?x
?
2
;
当
x?1
时,
S?3?4???n?
n
?
1?n
?
n
?1?
2
2
例7.C 例8.192
例9.C
例10. 解:
a
3
a
a
54
8?a
5
q?
5
?
5
a
?54???1458<
br>
2
?2
另解:∵
a
5
是
a
2
2
与
a
8
的等比中项,∴
54?a
8
?
?2
∴
a
8
??1458
例11.D
例12.C
例13.解:
a
1
?S
1
?3?2?1
,
当
n≥2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1<
br>?3n
2
?2n?[3(n?1)
2
?2(n?1)]?6n?5,
n?1
时亦满足
∴
a
n
?6n?5
,
∴首项
a
1
?1
且
a
n
?a
n?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常数)
∴
?
a
n<
br>?
成等差数列且公差为6、首项
a
1
?1
、通项公式为
a
n
?6n?5
?
?
12a
12?11
1
?
例14.
解一:设首项为
a
2
d?354
1
,公差为
d
那么
?
?
?
6(a
6?5
1
?d)??2d
?d?5
?
2
32
?
6?
?
?
?
6a
1
?
5
2
?2d
17
?
解二:
?
S
奇
?S
偶
?354
?S
偶
32
?
?
?
?
?
S
偶
?192
由 <
br>S
偶
?S
奇
?6
?
S
S
d
?d?5
奇
27
?
奇
?162
例15. 解:∵
a
a
9
a
10
1
a
18
?a9
a
10
,∴
a
18
?
a
?
100
?20
1
5
例16. 解题思路分析:
法一:利用差不多元素分析法
?
S?7a?
7?6
d?
设
{aa
?
1
7
n
}首项为
1
,公差为d,那么?
7
?
2
?
a??2
?
15?14
∴
?
1
d?1
?
?
S
15
?15
a
1
?
2
d?75
?
∴
S
n(n?1)
S
n?1n5
n
??2?
2
∴
n
n??2?
2
?
2
?
2
此式为n的一次函数
∴
{
S
n
n
}为等差数列∴
T
19
n
?<
br>4
n
2
?
4
n
法二:{a
?n
}为等差数列,设S
n
=An
2
+Bn∴
?
?
S
2
7
?A?7?7B?7
?
?
SA?15<
br>2
?15B?75
15
?
?
1
解之得:<
br>?
?
A?
?
2
∴
S
1
?
5
n
?n
2
n
,下略 <
br>?
?
B??
5
22
?
2
注:法二利用了等差
数列前n项和的性质
例17.
解:
设原先三个数为
a,aq,aq
2
那么必有
2aq?a?(aq
2
?32)
①,
(aq?4)
2
?a(aq
2
?32)
②
由①:
q?
4a?2a
代入②得:
a?2
或
a?
5
9
从而
q?5
或13
∴原先三个数为2,10,50或
226338
9
,
9
,
9
例18.70
例19.
解题思路分析:
∵ {a
n
}为等差数列∴ {b
n
}为等比数列
?
b?b?
17
?
b
1
?2
?
1
∴
b
?
1
b
3
=b
2
2
,
∴ b<
br>2
3
=
1
1
?
13
8
?
?
b
1
?
8
,∴ b
2
=
2
,∴
?
,∴
?
?
1
或
?
8
?
?
b
1
b
2
?
1
4
??
b
3
?
8
?
?
b
2
?2<
/p>
11
∴
b
n
?2()
n?1
?2
3?2n
或
b
n
??4
n?1
?2
2n?5
48
1
∵
b
n
?()
a
n
,∴
a
n
?log
1
b
n
,∴
a
n
=2n-3 或 a
n
=-2n+5
2
2
3n
2
?9n
例20.
2
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