陕西省高中数学 第一章 推理与证明 解题思想方法 反证法素材 北师大版选修2-2

反证法
与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思 考问题
的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。
法国数学家阿达玛( Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结
论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知
条件，进 行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为
正确的命题等相矛，矛 盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了
证明。
反证法所依据的是 逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个
互相矛盾的判断不能同时都为真， 至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个
互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律 ”，这些矛盾的判断不能同时为真，
必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确 的命题都是真的，所以
“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互 相否定的判
断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本< br>规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→ 否定”。即从否定结论开始，经过
正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本 思想就是“否定之否
定”。
应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。
实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“ 反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题
时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只 要将这种情况驳倒了就可以，这种反证
法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有 的反面情况一一驳倒，才能
推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

在数 学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常 用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯
一”、“无限”形式出现的 命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难
以下手的命题，改变其思维方向，从结 论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组：
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
2. 已知a<0,－12
之间的大小关系是_____。
A. a>ab> ab
2
B. ab
2
>ab>a C. ab>a> ab
2
D. ab> ab
2
>a
3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。
A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交
C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交
4. 四面体顶点和各棱的中 点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。
(97年全国理)
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选
A；
2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；
3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；
4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是 ：C
10
－C
6
×4－3－6,选D。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C
是SB上一点。求证： AC与平面SOB不垂直。
【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假
设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。
【证明】 假设AC⊥平面SOB，
∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO，
∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB，
∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O，
44

这显然出现矛盾，所以假设不成立。
即AC与平面SOB不垂直。
【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设 共面，再把假设作为已知
条件推导出矛盾。
例2. 若下列方程：x
2
＋4ax－4a＋3＝0， x
2
＋(a－1)x＋a
2
＝0, x
2
＋2ax－2a＝0至少
有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。
先求出 反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。
【解】 设三个方程均无实根，则有：
1
?
3
??a?
?
22
?
△
1< br>?16a
2
?4(?4a?3)?0
?
?
3
1
?
22
,解得,即－△?(a?1)?4a?0
a??1或 a?
?
2
?
2
3
?
?
2
?
△
2
?4a?4(?2a)?0
?
?2?a?0
?
?所以当a≥－1或a≤－
3
时，三个方程至少有一个方程有实根。
2
【 注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判
别式法”、“ 补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥
0）a的取值范围， 再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的
交、并、补概念和运算理解透彻 。
例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝
1
x?1
(其中x ∈R且x≠)，证明：①.
ax?1
a
经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平 行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y
＝x成轴对称图像。(88年全国理)。
【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。
【证明】 ① 设M
1
(x
1
,y
1
)、M
2
(x< br>2
,y
2
)是函数图像上任意两个不同的点，则x
1
≠x2
,假
设直线M
1
M
2
平行于x轴，则必有y
1
＝y
2
，即
x
1
?1
x
2
?1
＝，整理得a(x
1
－x
2
)＝x
1
－
a x
1
?1
ax
2
?1
x
2
∵x
1
≠x
2
∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾，
因此假设不对，即直线M
1
M
2
不平行于x轴。

② 由y＝
y?1
x?1
得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，
ay?1
ax?1
即原函数y＝
x?1x?1
的反函数为y＝，图像 一致。
ax?1ax?1
x?1
的图像关于直线y
ax?1
由互为 反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝
＝x成轴对称图像。
【注】对于“ 不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一
些性质，经过正确无误的推理 ，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数
对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对 反函数求法和性质运用熟练。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x)＝
x
，求证：当x
1
≠x
2
时，f(x
1
)≠f(x
2
)。
1?|x|
2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：
1
、
1
、
1
不可能成等差数列。
abc
3. 已知f(x)＝x
2
＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有 一个不小于
1
。
2
4. 求证：抛物线y＝
x
－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。
2
2
5. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x
2
＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。


6. 两个互相垂直的正方形如 图所示，M、N在相应对角线上，且有EM＝CN，求证：MN不可
能垂直CF。








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