高中数学数形结合思想

数形结合思想


由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基 础知识的范畴，通过对数学知识
的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。数形结合的思想 重点考
查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大．数形结合
常用于解 方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形
象性、直观性、数的深刻性、精确 性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到
优化解题途径的作用。
例题1．关于x的方程2x
2
－3x－2k＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k的取值
范围是什么？
分析：原方程变形为2x
2< br>－3x=2k后可转化为函数
y=2x
2
－3x。和函数y=2k的交点个数问 题．
解：作出函数y=2x
2
－3x的图像后，用y=2k去截抛
9
物线，随着k的变化，易知2k＝－或－1≤2k＜5时只
8
95
1
有一个公共点．∴ k=－或－≤k<.
1622
点拨解疑：方程（组）解的个数 问题一般都是通过相
应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决
数（实根）的问题 ．
例题2．求函数u＝
2t?4?6?t
的最值．
分析 ：观察得2t+4+2(6－t)＝16，若设x=
2t?4
，y=
6?t
， 则有x
2
+2y
2
=16，
再令u=x+y则转化为直线与椭圆的关 系问题来解决．
解：令
2t?4
＝x,
6?t
=y, 则x
2
+2y
2
=16, x≥0, y
≥0, 再设u=x+y, 由于直线与椭圆的交点随着u的变化
而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u取得最大值，
过 点(0，2
2
)时，u取得最小值2
2
， 解方程组
?
y? ?x?u
，得3x
2
－4ux+2u
2
－16=0,
?
22
?
x?2y?16
令△=0, 解得u=±2
6
.
∴ u的最大值为2
6
，最小值为2
2
．
点拨解疑：数学观察能力要求透过现象，发现本质，挖掘题中的隐含条件．
2t?3
例题3．已知s=，则s的最小值为 。
2
t?1
分析：等式右边形似点到直线距离公式．
|2t?3|
解：|s|＝, 则|s|可看成点（0, 0）到直线tx+y+2t
2
t?1
－3=0的距离，又直 线tx+y+2t－3=0变形为：(x+2)t+y
－3=0后易知过定点P(－2，3)，从而原点 到直线 tx+y+2t
－3＝0的最短距离为|OP|=
13
, ∴ －
13
≤s≤
13
.
1 9

点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问
ay?mcx?d
题． 类似地如联想到斜率，联想到定比分点公式，(x－a)
2
+(y－b)
2
b x?n1?b
联想到距离，|z
1
－z
2
|联想到两点间距离等．
例题4．解不等式
3?x
>x－1.
分析：令
3?x
＝y，则y
2
＝－(x－3) (y≥0), 它表示抛物线的上半支．令y＝x
－1表示一条直线．作出图象求解．
解：作出抛物线y
2
＝－(x－3) (y≥0),以及直线y＝x－1．
?
y?x?1
解方程组
?
2
得x=2或x=－1（舍去）,
y??(x?3)
?
由右图可知：当x＜2时不等式
3?x
>x－1成立，所
以原不等式的解集为{x| x<2}.
点拨解疑：一般地，形如
ax
2
?bx?c?mx?n
(亦可＜)等不等式皆可用数
1
形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试 用此法．如－3＜＜2
x
等．
36?4x
2
例题5．求 m=2x+的值域．
9
36?4x
2
分析：设=y，即4x
2+9y
2
＝36（y≥0）,
9
则求值域问题转化为求直线2x+y＝m 的纵截距的范
围问题．
36?4x
2
解：设=y，即4x
2
+9y
2
＝36（y≥0）又
9
令2x+y=m,
?
y??2x?m
22
则由
?
2
得40x－36mx+9m－36=0 ,
2
?
4x?9y?36
令△=(36m)
2
－160 (9m
2
－36)=0, 得m=±2
10
,
① 直线y=－2x+m过A点时，x=－3, y=0, m=－6取得最小值；
② 当直线与椭圆上半部分相切时，m取得最大值2
10

由①②，m的取值范围为[－6, 2
10
], 值域为[－6，2
10
］．
例题6．A．B为平面上的两定点，C为平面
上位于直线AB同侧的一个动点，分别以 AC、BC
为边，在△ABC外侧作正方形CADF、CBEG，求
证：无论C点取在直线AB 同侧的任何位置，DE
的中点M的位置不变．
分析：由于D、E随着C的变化而变化 ，但M
为定点，故用几何方法不易说清变换思维角度，如
以C点坐标为参量，证得M点坐标不随 其变化而
变化即可获证．
证明：以AB中点为坐标原点,直线AB为实轴，
建立复平面. 设A、B、C对应的复数分别为－a，a，x+yi其中a、x、y∈R．
2 9

则
AC
=Z
C
－Z
A
=(x+a)+yi,
AD
=
AC
×i=－y+(x+a)i=
OD?OA
,
∴
OD?AD?OA
=－(a+y)+(a+x)i, ∴ D点的坐标是(－(y+a), a+x),
同理E点的坐标为(y+a, a－x), 据中点公式, DE中点M的坐标为（0，a），
它是与AB长度有关，而与C点位置无关的点，即为定点．
点拨解疑：这是用数解形的一例，可见它形象而直观，但不够深刻、精确，
而数却精确细致，但它不够直 观，故常以数量形，以形辅数，数形结合．
ACAD
例题7．设A、B、C、D是一 条有向线段上的四点，且=0，求证：
?
CBDB
112
=.
?
ACADAB
分析：由于A、B、C．D顺序不定，若用几何方法分类不便 ，故用解析法，
又A、B、C、D共线，所以只需数轴即可．
证明：以四点所在直线为数轴，设A、B、C、D四点的坐标依次为0, b、c、
ACADcdc?d2
d, ∵ =0, ∴ =0, ∴ b(c+d)=2cd, ∴ =,
??
CBDBb?cb?dcdb
11
11c?d2
2
又=
??
==，等式成立.
?
cdb
ABACAD
cd
例题8．函数y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆
弧，试解不等式f(x)＞f(－x)十x．
分析一：由图像可得出函数关系式，由形看数．
解法一：由题意及图像，有
?
?
1?x
2
0?x?1
f(x)?
?
，
2
?
?1?x?0
?
?1?x
（1） 当0f(－x)+x得
1?x
2
>－
1?(?x)
2
+x, 解得
025
;
5
（2） 当－1≤x<0时, 得－
1?x
2
>
1?(?x)
2
+x, 解得－1≤x<－
∴ 原不等式的解集为[－1, －
25
,
5
2525
)∪(0, ).
55
分析二：由图象知f(x)为奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，然后再以形解数．
x
x
解法二：由图象知f(x)为奇函数，∴ 原不等式为f(x)>，而方程f(x)= 的
2
2
252525
解为x=±，据图像可知原不等式解集为[－1, －)∪(0, ).
555
点拨解疑：本题以形看数（解析式，奇偶性），以数解形 （曲线交点A、B）
最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．
3 9

基础知识练习
一．选择题：
1．向高为H的水瓶中注水，注满 为止，如果注水量v与水深h的函数关系如图
所示，那么水瓶的形状是
1
2．已知定 义在R上的偶函数f(x)在（0，+∞）上是增函数且f()＝0则满足
3
f(log
1
x)
＞0的x的取值范围是
8
111
}∪(2, +∞) （B）(0, ) （C）(0, )∪(2, +∞) （D）(2, +∞)
222
3?
3．已知arg(z+3)＝，则|z+6|+|z－3i|的最小值为
4
（A）3
5
（B）3 （C）5
3
（D）5
4．方程lgx=sinx的根的个数是
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无数个
5．函数 y＝a|x|和 y= x+a的图像恰好有两个公共点，则实数a的取值范围为
（A）(1, +∞) （B）(－1, 1) （C）(－∞, －1) （D）(－∞, －1)∪(1, +∞)
二．填空题：
6．已知有向线段PQ的起点P和终点 Q分别为（－1，1）和（2, 2），若直线
l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是 .
（A）{
7．若直线l：y＝kx+1与曲线c：x＝
y
2
?1
只有一个公共点，则实数k的取值
范围是 .
?2?3x
8．函数y=的值域是 .
1?x
三．解答题：
9．已知4a+9b＝10（a，b∈6 R
+
）, 求2
a
十3
b
的最大值.
10．如果关于 x的方程 sinx+acosx=
2
恒有解，求实数 a的取值范围．


4 9

高考常考题强化训练
一．选择题：
1．已知0a
|x|
?|loga
x|
的实数根的个数是
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）以上都有可能
1
2．若不等式x
2
－log
a
x＜0在(0, )内恒成立, 则a的取值范围是
2
1
11
（A）[, 1) （B）(0, ) （C）(, 1) （D）(0, 1)
16
1616
3． 代数式
x
2
?y
2
?x
2
?(y?1)
2
?(x?1)
2
?y
2
?(x?1)
2
?(y?1 )
2
的最小值
为
（A）2 （B）2
2
（C）4 （D）4
2

?
4．函数 y＝sin2x+acos2x图像的一条对称轴为x＝－，那么a等于
8
（A）
2
（B）－
2
（C）1 （D）－1
5．直线y=a（a∈R）与曲线y＝cot(ωt)，（ω＞0）的相邻两交点之间的距离是
k
?
2
?
?
（A） （B） （C） （D）以上都不对
??
?
6．若非零复数z
1
，z
2分别对应于复平面内的点A、B且z
1
2
－
3
z
1z
2
+z
2
2
=0, 则△
AOB是
（A）等腰三角形 （B）等腰直角三角形
（C）等边三角形 （D）直角三角形
二．填空题：
z
7．若z
1
，z
2< br>为复数，且|z
1
|=3, |z
2
|=5, |z
1
－z
2
|=7，则
1
=
z
2
1
8．若 a∈(0, )，则 T
1
＝sin(1+a)，T
2
=sin(1－a), T
3
=cos(1+a)的大小关系
2
为 ．
9．方程 |x－|2x+1||=1的不同实根的个数为 .
10．函数 u＝
2x?1?5?2x
的最大值是 .
三．解答题：
11．已知函数f(x)=ax
2
－c满足一4≤f(1 )≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的范围．
11
12．已知 a ≥0, b≥0, a+b=1，求证：
a??b?
≤2.
22
13．若 A={x| －2≤x≤a}， B={y| y＝2x+3，x∈A}, C＝{z| z=x
2
, x∈A}，若C
?
B，
求a的值．
14．已知抛物线C：y＝－x
2
+mx－1，点A（3，0），B(0, 3), 求抛物线C与线段
AB有两个不同交点时m的范围．
5 9

基础知识练习参考答案
6 9

7 9

高考常考题强化训练参考答案
8 9

9 9