高中数学概率中的涂色问题

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二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略 与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的
数学思想。解决涂色 问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生
的创新思维能力、分析问题与观察问题的能 力，有利于开发学生的智力。本文拟总
结涂色问题的常见类型及求解方法
1、 一.区域涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色
问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂
一种颜色，相邻 部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种








①
②
4
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有
A
4
；
4
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有
A
4
；
所以根据加法原理得涂色方法总数为5
A
=120
例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域，
现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，
现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种
分析：依题意至少要用3种颜色
4
4
3
2
1
4
5
1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，
3
2) 区域3与5必须同色，故有
A
4
种；
③
④
3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，
4
4) 则区域3与5不同色，有
A
4
种；若区域3与5同色，则区域2与4
44
不同色，有
A
4
种，故用四种颜色时共有2
A
4
种。由加法原理可知满
34
足题意 的着色方法共有
A
4
+2
A
4
=24+2
?
24=72
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色
方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，
不同的涂色方法有
5?4?3?4?240

2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求
出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
4
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
；
3、 根 据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同
色入手，分别计算出两种情形的 种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个 区域内，每个区域涂一种
颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的 涂
色方法
④
③
分析：可把问题分为三类：
4
（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为
A
5
；
⑤
⑥
①
②
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
；
4
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
A
4
；
4
4
（2） 有且仅两个区域相同的颜色，
2
3
1
4
（3） 即只
1 无论掌握哪一种知识，对智力都是有用的，它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。 -----达 · 芬奇

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有一组对角小方格涂相
同的颜色，涂法种数为
12
2C
5
A
4
；
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图， 把一个圆分成
n(n?2)
个扇形，每个扇形用红、白、蓝、
1
黑四色之一染 色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法
A
A
2
A
3
A
4
⑤
5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为
A
，
因此，所求的涂法种数为
A?2CA?A?260

4、 根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域 着色，要求
同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不
同的颜色 可
A
1
解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，
C
B
D
有4种着色方法，此时，
A
E
B、D、F各有3种着色方法，
F
此时，B、D、F各有3种着色方法
故有
4?3?3?3?108

种方法。


22
（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有
C
3
A
4
种着色方法，
22
此时B、D、F有
3?2?2
种着色 方法，故共有
C
3
A
4
?3?2?2?432
种着色
2
5
解：设分成n个扇形时染色方法为
a
n
种
（1） 当n=2时
A
1
、
A
2
有
A
=1 2种，即
a
2
=12
2
4
A
n
2
5
1
5
2
4
2
5
L

（2）当 分成n个扇形，如图，
A
1
与
A
2
不同色，
A2
与
A
3
不同
色，
L
，
A
n?1


与
A
n
不同色，共有
4?3
n?1
种染色方法， 但由于
A
n
与
A
1

邻，所以应排除
A< br>n
与
A
1
同色的情形；
A
n
与
A< br>1
同色时，可把
A
n
、
A
1
看成一个扇形 ，
与前
n?2
个扇形加在一起为
n?1
个扇形，此时有
a< br>n?1
种染色法，故有如下递推关系：
a
n
?4?3
n?1
?a
n?1
?a
n
??a
n?1
?4?3
n?1
??(?a
n?2
?4?3
n?2
)?4?3
n?1


?a
n?2
?4?3
n?2
?4?3< br>n?1
??a
n?3
?4?3
n?3
?4?3
n?2
?4?3
n?1
?L?4?[3
n?1
?3
n?2
?L?(?1)
n
?3]
?(?1)?3?3
nn

二.点的涂色问题
方法。
3
（3）当相间区域A、C、E着三种不 同的颜色时有
A
4
种着色方法，此时
方法有：（1）可根据共用了多少种颜色 分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色
分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥
S?ABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两
端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少
解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
B、D、F各有2种着色方法。此时共有< br>A
4
?2?2?2?192
种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
3
2 无论掌握哪一种知识，对智力都是有用的，它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。 -----达 · 芬奇

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（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任 选一种染顶点S，再从余下的四
种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别 同色，
12
故有
C
5
A
4
?60
种方法。
颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少
种不同的涂色方法
4
解法一：（1）使用四颜色共有
A
4
种;
（2）若恰用 四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再
2
从余下的四种颜色中任选两种 染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有
A
4
种染法；
112
（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有
C
4
C
2
A
3
种，
2
（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有
A
4
种
41122
因此，所求的染色方法数为
A
4
?C
4
C
2
A
3
?A
4
?84
种
再从 余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其
1211
相对顶 点同色即可，故有
C
5
A
4
C
2
C
2?240
种方法。
5
（3）若恰用五种颜色染色，有
A
5
?120
种染色法
解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有
4?3?12
种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，
故分类讨论： 当 CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则
DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时， CD有两种可供选择的颜色，DA
也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有
1?3? 2?2?7
种涂色方
法。
由乘法原理，总的涂色方法数为
12?7?84
种
例8、用六种颜 色给正四面体
A?BCD
的每条棱染色，要求每条棱只染一
种颜色且共顶点的棱涂不同 的颜色，问有多少种不同的涂色方法
解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂 同一颜色，而这三组间的
3
颜色不同，故有
A
6
种方法。
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二： 设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有
5?4?3?60
种染色方 法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故
分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有
3种选择；C与A不同 色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而
对C、D染色有
1?3?2?2? 7
种染色方法。由乘法原理，总的染色方
D
法是
A
60?7?420

S
C
解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
B
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法
二.线段涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：
6) 根据共用了多少颜色分类讨论
7) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝 、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二 组对棱的组内对棱涂同色，但组与组
34
之间不同色，故有
C
6
A< br>6
种方法。
15
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一 种颜色，故有
C
3
A
6
种
3 无论掌握哪一种知识，对智力都是有用的，它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。 -----达 · 芬奇

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方法。
6
（4）若恰用六种颜色涂色，则有
A
6
种不同的方法。
324156
综上，满足题意的总的染色方法数为
A
6
? C
3
A
6
?C
3
A
6
?A
6?4080
种。


?





解：这种面的涂色问题可转化为区域 涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四
个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
3
（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有
A
4
种；
三.面涂色问题
例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色 ，每两
个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种
分析：显然，至少需 要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理
分类、乘法原理分步进行讨论
解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论
（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面 ，则上底颜色可有5种选择，
在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则 其
余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理
n
1
?5?3!?30

5
（2）共用五种颜色，选定五种颜色有
C
6
?6
种方法， 必有两面同色（必为相
（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时14
有
C
2
A
4
；故满足题意总的涂色方法总方法交总 数为
314
A
4
?C
2
A
4
?72

用三种不同的颜色填涂如右图3
?3
方格中的9个区域，要求
每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数共有（ D ）

A、48、 B、24 C、12 D、6

“立几”中的计数问题求解策略
在近几年的高考试题和各地模拟试题中频繁出现以“立 几”
中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题，这类问题题型新
颖、解法灵活、多个知识点 交织在一起，综合性强，能力要求高，
有一定的难度，它不仅考查相关的基础知识，而且注重对数学思想 方法和数学能力
的考查。现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。
直接求解例1：从平面< br>?
上取6个点，从平面
?
上取4个点，这10个点最多可以确
定多少个 三棱锥








< br>对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，
此时的方法数取决 于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）
n
2
?C?5?3?90
；(3)共用四种颜色,仿上分析可得
2 3
n
3
?C
6
4
C
4
?90
；( 4)共用三种颜色,
n
4
?C
6
?20

5
6
例10、四棱锥
P?ABCD
，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求< br>相邻不同色，有多少种涂法





P
1
解析: 利用三棱锥的形成将问题分成
?
平面上有1个点、2个点、3个 点三类直接求
132231
解共有
C
6
C
4
?C< br>6
C
4
?C
6
C
4
?194
个三棱 锥
2
4 无论掌握哪一种知识，对智力都是有用的，它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。 -----达 · 芬奇
5
D
3
C
4

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例2: 在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其它的顶点和各棱的中点中取3个，使 它
们和点P在同一平面上，不同的取法有 B. 48 C. 56 D. 62
种
解析: 满足题设的取法可以分成三类
3
（1） 在四棱锥的每一个侧面上除P点外取三点有
4C
5
?40
种不同取法；
3
（2） 在两个对角面上除点P外任取3点，共有
2C
4
?8
种不同取法；
1
（3） 过点P的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有
4C< br>2
?8
3. 构造几何模型求解
在正方体的8个顶点的所有连线中，有多少对异面直线
与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个
（05年湖北）以平面六面体
ABCD ?A
1
B
1
C
1
D
1
的任意三个顶点为顶 点作三角形，
从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为
A.
36737619218
B. C. D. A
385385385385
在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革 强调的重要观念之一，
在复习备考中，要把握好知识间的纵横联系和综合，使所学知识真正融会贯通，运
种不同取法,故共有40+8+8=56种
评注：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类不重
复、不遗漏。
1. 结合“立几”概念求解
例3: 空间10个点无三点共线，其中有6个点共面，此外没 有任何四个点共面，则
这些点可以组成多少个四棱锥
解析:
CC?60

2. 结合“立几”图形求解
如果把两条异面直线看作“一对”，那么六棱锥的棱和底面所有 的12条直线中，异
面直线有：A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 B
用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥
41
分类：以棱柱的底面为棱锥的底面
2C
5
C
5
;
11
以棱柱的侧面为棱锥的底面
C
5
C
6

11
以棱柱的对角面为棱锥的底面
C
5
C
6

11
以图中
ADC
1
B
1
(梯形)为棱锥的底面
2C
5
C
6

4
6
1
4
用自如，形成有序的网络化知识体系。
1. 对于已知直线a,如果直线b同时满足下列三个条件: ① 与直线a异面;② 与直
线a所成的角为定值
?
;③ 与直线a的距离为定值d.那么这样的直线b有
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
2. 如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在
一个正 方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”
的个数是
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
3. 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面
?
去截这个四棱锥,使得截面四
边形是平行四边形,则这样的平面
?

A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无穷多个
4. 如图,点
P
1
,P< br>2
,L,P
10
分别是四面体的顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组
P
1
,P
i
,P
j
,P
k
共有 个
5. 在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的
条数是
6. 正方体的8个顶点中任取4个不在同一平面上的顶点
P,Q,M,N
组成的二面 角为
??
5 无论掌握哪一种知识，对智力都是有用的，它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。 -----达 · 芬奇

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P?MN?Q
的大小可能值有 个.
答案
1. D 2. B 3. D 4. 33 5. 4或6或7或8 6. 8个



6 无论掌握哪一种知识，对智力都是有用的，它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。达 · 芬奇 -----