高中数学试讲真题、简案及逐字稿

简案
1.导入
请大家看PPT上的小故事。
读出问题。
要回答问题，就要求麦子的数量，请大家思考，在练习本上
尝试计算。
哪位同学分享过程？
学生：第一个格子放1个，第二个格子放2个，第三个格子
放2 ，以此类推，第64个格子放2个。麦子总数就是1+...
非常好，请坐。
老师把它板书在黑板上，那么1...2这是一个什么数列呢？
对，大家说是等比数列。那么，首项是多少，公比是多少呢？
对，大家说首项是1，公比是2。
63
263

那么，该如何 求等比数列的前n项和呢？这就是本节课内容。
2.新授
我们用S
n
来表示等比数列的前n项和，它等于a
1
...（板书）
那么，结合通项公式，如何用a
1
和q表示S
n
？
学生：...
回答的非常正确，请坐。
根据黑板上的式子计算是非常繁琐的，有没有办法能够得出
一个简单的式子呢？
下面 老师就请同学们针对这个问题，4人为一组进行讨论，
时间为5分钟。在讨论之前，老师想给大家一个提 示。
提示：我们可以引入一个与这个式子有很多项相同的式子，
通过两式子相加减，得出结论。
那么现在请大家开始讨论，老师会进行巡视，一会儿老师请
小组代表来跟大家分享结论。
...
学生：引入...，相减得出...
非常好，逻辑思维能力很强。
q=1时成立吗？
大家说，不成立。
那q=1时，S
n
为多少呢？
...
嗯，正确。这样我们就得出了.....

3.巩固
用公式解决问题，在练习本上进行计算，一会儿老师请一位
同学来分享解题过程和结果。
学生：...
完全正确，看来你已经掌握了求和公式的使用方法。
4.小结
公式+错位相减思想+严谨认真的学习习惯
5.课后作业
问号（PPT）+课后练习题
这节课就上到这，下课，同学们再见。
各位评委老师，我的试讲到此结束，谢谢。

1.导入
（1）同桌之间交流：复习任意三角函数的知识
（2）介绍“探究”内容，引入课题
学习边角关系的量化表示方法。

2.新授
（1）直角
请看PPT展示的一个以∠C=90°的Rt△ABC,其中∠A，∠B，
∠C所对边分 别为 a,b,c。请同学根据学过的正弦函数知识
表示出sinA与sinB，并考虑如何将两个式子合并。 刚才我
巡视的过程中看到大家写出了结果， 现在请思考sinC的值，
并请同学们前后四人为一数学小组讨论如何将 sinC加入上
述等式中。时间2分钟。 嗯， 第6小组你们的结果是？
sinC=1,所以 很有想法，请坐，哦，第2小组表示有不同意
见，你说前两项均为对边 与相应角正弦的比值，因此第三
项也应为同样的比值形式。得到 理由非常充分，请坐，这
样式子就更加对称更加美观了。所以我们可 以得到在直角
三角形中边与角存在这样的等式关系（板书） 而直角三角
形是较为特殊的三角形，那么对于一般的三角形此式仍然
会成立吗？
（2）锐角
1.多媒体展示锐角三角形，小组讨论。 启发学生用“做高
法”证明，例如：如何证明呢？需要借助工具证 明吗？老
师这里有个小提示，刚才我们在直角三角形中利用三角函数
的 知识得到了结果，如果锐角三角形中也能出现直角就好
了。谁有思路来 说说。2.学生回答证明思路，请1名同学
上黑板板演证明步骤，其余同学 在练习本上完成。 3.讲解

板演过程。（注意对板演同学的结果进行评价）
（3）钝角
正弦定理
3.巩固
PPT题
4.小结
正弦定理+推导（做高法）+特殊到一般
5.课后
其他方法+笔记

1.导入
师：请看PPT展示的有关复合函数的概念以及复合函

数的求导法则表格，请大家在导学案填写空格回忆之前所

学的基本初等函数的导数公式以及导数运算法则。好，我

看大家填写的又快又好，老师还想问问大家复合函数的概

念是？

生：对于y=f(u)，u=g(x)，如果通过变量u，y可以

表示成x的函数，y=f(g(x))就是复合函数。

师：后面这位同学那请你说说复合函数的导数应该如

何求呢？

生：导数可以用公式表示

，即y对x的导数

等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。

师：这位同学真是厉害，不仅用了符号语言描述，还

用文字语言进行了叙述。看来大家对之前的知识掌握的不

错，今天我们继续来探究如何利用公式来解决具体的求导

问题
2.新授

环节二：方法总结

师：根据此题目的解题过程，请大家以前后4人为一小组进行
小组讨论复合函数求导数的步骤。

生：1）适当选定中间变量u，正确分解复合关系

2) 分步求导，先求，再求

3) 计算，并把中间变量代回原自变量（一般是）的函数

师：这位同学总结归纳的很到位，看来你们小组的讨论很有效。
我们可以将其简记为分解- 求导-回代，熟练以后，可以省略中
间过程。请大家先独立思考再同桌交流，复合函数在求导时应
注意哪些问题。

生：要知道是由哪两个函数复合而成的。

师：你分析问题的能力可真强，请坐。
老师在此提示大家，我们的中间变量应 选择简单初等函数，判
断一个函数是否是简单初等函数的标准是：存在求导公式则直
接求导，弄 清各分解函数中应对那个变量求导，对一个函数的
复合关系要用换元的思想及基本初等函数的观点来理解 。求导
过程一般是从最外层开始，由外及里，一层层的求导。所以通
常称它为链条法则，因为它 像链条一样，必须一环一环套下去，
不能丢掉其中的任何一环。
3.巩固

思考-说解题思路-板演-设错
4.小结
复合函数+方法+严谨
5.作业
笔记+课后题
板书：第一题过程+步骤

1.导入
Ppt，我们在学习事件的关系和运算时，是如何与集合的关
系与运算对应起来的呢？ 在之前的学习中，我们知道事件A与B的并对应于集合的并
A∪B，事件A与B之交对应于两个集合 的交A∩B。
2.新授


请大家思考集合AB互斥时，AUB的元素个数是多少？
当事件AB互斥时，AUB发生的频数等于什么呢？可否用掷骰
子的例子来说明呢?
小组

巡视中发现大家讨论的非常积极。
AB互斥时，元素个数之和。
在掷骰子的例子中，得到1点和2点的事件是互斥的，频数
等于之和。
逻辑清晰，表述准确。我们用数学语言表示出来，这个公式
就是概率的加法规律。
如果是对立事件呢？
你来说。
还有其他结论吗？
根据加法公式得出PA=1-PB
3.巩固
看PPT，同桌之间讨论随机抽取不含 大小王的一副扑克牌，
取到红色牌的概率是多少？取到黑色牌的概率又是多少？
大家一起说结 果是二分之一，非常棒，那用的是刚刚学过的
哪条性质呢？对就是加法公式，看来大家对于加法公式掌握
的非常扎实。

1.导入
师：请同学们回忆上节课我们学习的解一元二次不等式的步
骤。前排的这位同学你说。
（1）将二次项系数化为正值；
（2）确定对应方程ax+bx+c=0的解；
（3）画出对应函数y=ax+bx+c的简图；
（4）由图象得出不等式的解集。
师：思路清晰，步骤完整，请坐。
2
2

师：接下来就让我们进入今天的习题课环节。

【不用全算了，可以让学生在练习本上做，俩同学板演，说
巡视中大家做的不错，在大屏幕上展示答案 ，有问题的同学
课下及时订正。】
【解集必须是集合和区间】

设错，不等号忘记变

四、与集合运算相结合

师：练习 4 这道题考查了集合运算的知识，正

确化简集合 A，B 是解答此题的关键。大家抓紧

时间在练习本上完成。老师在巡视的过程中发现

大家做得很棒


巩固
教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节

课的收获，教师给予点评和补充。

师：经过本节课的学习，我们学到了很多新的知识和方法，

谁想和大家分享你的收获？

生 7：通过对本节课的学习，我对一元二次不等式的解法

有了新的认识。

师：总结得不错，请坐。其他同学还有补充吗？

生 8：解题时要灵活运用所学知识，具体问题具体分析。

师：你的概括能力真强啊！老师还需要强调的是在解题过

程中，我们本节课主要用到了化归的数学思想


作业
师：课上时间有限，课下还需要继续巩固。今

天的课下作业为：

分层作业：

1. 必做题：导学案第 2、3 题。

2. 选做题：学有余力的学生完成课本习题 3.2

B 组的第 4 题。

并集
各位评委老师，我抽到的题目是并集，下面我来开始试讲。
上课，同学们好，请坐。
导入
请同学们看黑板上的小测试。
一个小组中 ，甲乙丙丁这4名同学喜欢数学，甲乙戊这3名
同学喜欢语文，请问小组一共几个同学呢？都有谁呢？
好，这位同学你来说。
他说呀，有5人，包括甲乙丙丁戊。
回答得很正确，请坐。
新授
那么，如果我们把喜欢数学的同学看作集合A，喜欢语文的
同学看作集合B，把 小组所有同学看作集合C，那么ABC间
具有怎样的关系呢？
请大家同桌之间进行讨论，时间2分钟，一会儿老师将请同
学来说一说你们的结论。
好，老师在巡视中发现，大家都已经得出了正确的结论，谁
来跟大家分享一下呢？
好，这位同学你来说。
他说呀，C是由所有属于A和B的元素组成的。
非常棒，请坐。
那么如何通过AB得到C呢？

一般地，由所有属于 AB的元素组成的集合，称为集合AB的
并集，记作AUB即...（板书）
也就是说，AUB=C（板书）
之前呀，我们学习了韦恩图的画法，请同学们在练习本上尝< br>试画出AUB的韦恩图。哪位同学愿意来黑板板演呢？
好，这位同学你来。
嗯，老师看大家都已经画好了，谁能来点评一下这位同学在
黑板上画的韦恩图呢？
好，这位同学你来点评一下。
他说呀，这位同学画的是正确的。两个圈分别代表A和B，两个圈相交的部分代表重复的部分，两个圈合在一起就是
AUB。
嗯，两位同学都很棒。
那么，老师请大家思考一下，韦恩图中两个圈重叠的部分是
一层还是两层呢？也就是说，AB两 个集合的相同元素在AUB
也就是集合C中是出现一次还是两次呢？
请同桌之间讨论一下，时间2分钟，一会儿老师找同学回答
上面的问题，并说明一下理由。
嗯，时间差不多了，哪位同学想说一下呢？
好，这位同学，你来说。
集合中的元素要满足互异性，所以相同的元素在C中出现一
次，韦恩图是一层。

嗯，这位同学对集合的三要素掌握的非常扎实，请坐。
巩固
下面，让我们趁热打铁来做PPT上的两道例题。
第一题，用列举法表示集合，A中的元素包 括...，B中的元
素包括...，根据并集的定义，AUB包括了AB中的所有元素，
所以A UB里面的元素都包括什么呢？
好这位同学你来说。
包括...。
回答正确，请坐。
我们再来看第二个小题，第二个题是用描述法来表示AB两
个集合 。大家在练习本上尝试做一下这道题，哪位同学想到
黑板上进行板演？
好这位同学你来。
好，老师看大家都抬起头了，大家说黑板上的答案对不对？
这位同学你来说。
AUB的结果应该用集合表示，不可以用不等式表示。
嗯，很好。板演的同学也给大家提了个醒，并集的结果一定
是集合。
小结
好，今天我们学习了一些新的知识，哪位同学能说说你的收
获？
好，这位同学你来说。

我学会了并集的定义，以及用韦恩图表示并集的方法。
嗯，看来这位同学收获很多。还有同学想补充吗？
好，你来说。
我学会了求并集的 方法，并且知道并集的结果一定是集合，
并集内没有相同的元素，要用表示集合的方法来表示。
非常棒，你的总结能力很强。
作业
课堂的时间是有限的，大家还要在课下进行进一 步的巩固练
习。下面布置一下作业，包括两项作业，一是完成PPT上的
变式题，二是将本节课 所学整理到笔记本上。
这节课就上到这里，下课，同学们再见。
我的试讲结束，谢谢评委老师。

直线的两点式方程
各位评委老师好，我抽到的题目是...，下面我开始试讲。
上课，同学们好，请坐。
导入
之前我们学习了点斜式直线方程，下面请大家同桌之间交流
一下，共同回顾点斜 式方程相关的知识点，时间2分钟。
嗯，老师在巡视中发现，大家对之前所学掌握得都非常好。
那么，除了点斜式方程之外，还有什么方程能够表示直线
呢？今天我们就来学习另一种直线方程，两点 式方程。
新授
请大家看PPT上的问题。我们都知道，已知两点可以确定一
条直线 ，那么我们知道点P
1
P
2
的坐标，如何确定直线方程呢？
请大家 4人一组进行讨论来解决这个问题。在讨论之前呢，
老师想给大家一个提示，大家可以用之前学习的点斜 式方程
来尝试解决这个问题。那么，请大家开始讨论，时间5分钟，
老师会进行巡视，一会儿老 师想请小组代表跟大家分享一下
你们的讨论成果。
好，时间差不多到了，老师在巡视中发现好 多小组都已经讨
论出了结果，哪个小组想跟大家分享一下呢？
好，这个小组代表你来说。 < br>我们先用P1P2的坐标求出了直线的斜率，是...，然后将P1P2
代入点斜式方程，得到. ..。

嗯，回答的很棒，请坐。老师把这个式子板书在黑板上。哪
位同学有补充吗？
好，这位同学你来说。
当X1=X2的时候，这个式子是不成立的。
嗯，这位同学非常严谨，请坐。也就是说X1≠X2（板书）。
为了式子更加美观协调，老师 把这个式子整理为这样的形
式。大家说，在什么条件下，上面的式子才能够写成下面这
个式子呢 ？
嗯，大家说，Y1≠Y2的时候，好老师把它板书在黑板上。
那我们现在得出的这个方程呢，就是经过...。
接下来呢，老师想请同学们思考一个问题， 我们的两点式方
程要满足...，那当等于的时候，直线是什么样子的呢？大
家能画出它们的图 像吗？请同学们在练习本上尝试画一下，
老师想找两位同学分别在黑板上画一下......的直线图像 。
谁自告奋勇来画一下呢？
好这位同学你画一下...，这位同学你画一下...。
好，老师看大家都抬起头来了，黑板上板演的同学也画好了，
哪位同学可以点评一下黑板上的图像呢？
好这位同学你来说，...直线过P与y轴平行，与x，所以两
位同学画的是正确的。
嗯嗯，板演的同学和点评的同学都非常棒。
巩固

那么现在我们趁热打铁，用我们所学的知识来做一下PPT上，
的题。
请大家在练习本上尝试计算，一会儿老师找同学说一下你的
解题过程和结果。
嗯，老师在巡视中发现大家都做得不错，哪位同学想跟大家
分享一下。
嗯，好的你来说。
他说呀，将AB两点的坐标直接代入两点式方程，就可以得
出...。
回答非常准确，大家可以参照他的结果订正一下自己的答
案。
小结
好，通过本节课的学习，老师相信大家都有所收获，谁来分
享一下你的收获呢？
他说呀，学会了直线的两点式方程，学会了用两点坐标得出
直线方程的方法。
看来你收获了不少，还有哪位同学想补充吗？
好，你来说。
他说呀，学会了两点式的推导方式，体会了转化的数学思想。
总结能力很强，请坐。
作业
课堂的时间有限，还需要大家在课后进一步巩固我们所学的

知识 ，老师给大家布置两项作业：一是完成PPT上的变式题，
二是把本节课所学的知识整理到数学笔记本上 。
这节课就上到这里，下课，同学们再见。
各位评委老师，我的试讲到此结束，感谢聆听。

函数的概念
初中我们学习过函数的概念，请大家回顾一下。
在一个 变化的过程中，两变量xy，如果x的每一个值，y都
有唯一确定的值与它对应，则称x是自变量，y是 x的函数。
看来大家对初中学习的这个概念掌握的还是很牢固的，初中
是从运动变化的角度出 发，学习两个变量之间的变化关系，
那么今天我们为什么还要学习函数的概念呢？
高中所定义的函数概念与初中有什么不同呢？
这就是我们今天所要学习的内容。
P PT实例，炮弹发射后距离地面的高度随时间变化的规律，
请大家在导学案上画出h=...的图像。
老师用几何画板画出它的图像。
大家观察图像，并思考以下问题：
时间t变化范围是多少？h变化范围是多少？
t为27，对应的h为多少？
如何才能真实反应炮弹发射的过程呢？
两人讨论。
时间变化范围0-26，高度...。
对应的h为0，此时炮弹已经落地了。
对t范围进行限制。
能否用集合的方式表示t的范围？
导学案上填空

以后在描述变化范围时，要把它表示成集合的形式。
对于任意t，都有唯一确定的h与它对应。
再看PPT上的实例二三，分析相同与不同。
4人讨论。
1是解析式，2是图像，3是表格。
非空数集，唯一确定关系f。
能否把函数看成两个集合之间的对应关系呢？
如何重新定义函数呢？
填写导学案上的空。
PPT呈现完整定义。
...
定义域对应关系值域
画出初中学过的一次函数二次函数反比例函数图像，思考
定义域对应关系值域分别是什么
根据PPT订正
练习：四个图像，看看是否为函数
一个x对应俩y
如何判断呢？看是否有没有确定唯一的y
小结：函数定义+判断函数；数形结合

注意：
1.练习：三个面两两相交，一共有几条交线？
2.之前学过，用平行四边形表示平面，希腊字母写在一个角
上。
3.直线关系：平行相交异面
4.符号语言和图形语言
5.相交：αnβ=l

正余弦函数的周期性


诱导公式很多，最好不要写出来。
不是所有周期函数都有最小正周期（常数函数）

思路：学生带学生看定理+画图+文字变符号（写出已知和求
证）+解决
在立体几何 中，我们已经学习了直线与平面的垂直关系，今
天我们学习新课前，先来简单地回顾一下。
大家还记得直线与平面垂直的定义和判定定理分别是什么
吗？
好如果一条直线和一个平面内的任一条直线都垂直，这条直
线就与平面垂直。
如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，这条...
那么这节课我们就用之前学习的知识证明一个新的定理，三
垂线定理。
首先，看定理的内容。
那么平面内的射影和斜线分别是什么呢？请看PPT展示的图
片。
已知平面α，任意做一条不垂直与α的直线l,交α于点O。
那么l就是α的一条斜线。

O为斜足。
在l上任取一点P，过P，作PA垂直于α，垂足为A，连接OA，所形成的直线就是斜线l在α内的射影。
已知条件和被证明的结论是什么呢？
...
老师用符号语言表示出来。
已知l，和OA，还有α内垂直于oa的直线a。
证明a垂直于l。
小组讨论
讨论后让板演
PA和OA都垂直于a,a垂直于平面POA，PO在平面内，所以...
也就是说（三垂线）
推导过程：线线-线面-线线，常用的推导过程。
注意！！！！一般情况下，三垂线定理不可以直接使用，要
进行证明得出再使用。
巩固【不用说题】
PPT例题
同学板演。
结论正确，书写也很规范，也用到了三垂线定理。
小结
三垂线定理，立体问题平面化（转化思想）
作业

空间直角坐标系


直线上一点位置，用通过建立数轴，用数x代表点的位置
平面上一点位置，平面直角坐标系：坐标可用有序实数对x,y表示
那么空间上一点位置呢？用几个数表示呢？

让几个学生自己画空间直角坐标系，不一样。
统一建系规则-- 右手直角坐标系
建系

1.曲线的方程，方程的曲线： 如果某曲线C上的点与一个二
元方程的实数解满足：1.C上点的坐标都是二元方程的解，
2. 以二元方程的解为做坐标的点都在C上。则~
2.求：曲线方程
3.已知？
4.很几何化的题，要求方程怎么做？建系
5.如何建系？可以选择现成的线或点？请小组讨论，建立坐
标系，并解决本题。
l为x,垂直于l的直线为y,设曲线上任意一点M，由于...
老师把它板书在黑板上。
6. 有没有什么需要补充的呢？嗯，好像大家没有发现。请大

家思考（0，0）
7. 在我们求出曲线方程后，一定要看一下，曲线上的点是否
均满足题意。
8. 另一种建系方法，F为原点。
9. 不同建系方式会得到不同的方程，所以要适当建系，使得
结果尽可能简化。
10. 总结求曲 线方程的步骤：建系设曲线上任意一点坐
标；写出满足条件的集合；根据条件求出二元方程；化为最简形式；检验方程的解是否均在曲线上。

导入：复习
新授：求的？-已知- 建系-怎么建？怎么解？-答案板书-补
充（检验）-不同建系方法结果不同，都对，建系要使结果简单（另一种建系方法-互评，都对）-总结
巩固：变式题（板演）
小结
作业

习题课一定要总结方法

复习导入：可以同桌之间交流，共同回顾，填写导学案上关于抛物线的知识。
变式题：不过焦点，过（2，0）点，看看选用哪种方法呢？

导入：实数在数轴上市如何表示的呢？用点
PPT：物理学中如何表示力？用带箭 头的线段表示力，箭头表示方向，线段长度按比例表示
力的大小。
在数学中，我们把带箭头的线段称为有向线段。
那么它该如何表示呢？能不能用一个点表示呢？不能，线段有2个端点，需要用两个点表述。
好，老师在有向线段上标出两个点A和B。那有向线段该如何表述呢？

有的同学说AB，有的同学说BA。
哪一个是正确的呢？应该是BA，有方向的，是从B指向A，所以是BA。
大家一下子就注意到了问题的关键点。
以B为起点，A为终点的有向线段，我们记为BA。
在BA上面画一个向右的箭头，箭头就表明了它的方向。
在表述有向线段时，我们必须要表明它的三要素，起点方向长度。
当三个要素确定时，终点也就随之确定了。
我们就可以用这样的有向线段来表示向量。
有向线段就是向量吗？
不是，向量只有大小和方向两个要素，与起点无关。
教材给 出了另一种表示向量的方法，就是用小写字母来表示。注意，书上是用黑体的小写字
母来表示，而我们在 写的时候要在小写字母上面加上箭头，老师把它写在黑板上。
特殊的向量：长度为1的，长度为0的
巩固：图中几个向量表示出来，并写出模的大小。
（设错，写反）
小结：有向线段+用有向线段表示向量
区别是向量没起点，是自由的