初中数学中的“转化思想”

初中数学中的“转化思想”


[摘要]：随着课程改革的深入展开，培养学生的能力越来越重要，数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。本文从几方面论述了转化思想在数学学习中的重要作用：转化
思想可以 使学生经历探索的学习过程，改变学生的学习方式，转化思想能培养学生创新思维
能力及逻辑思维能力， 是一种很重要的思维方法；转化思想可以增强学生的数学应用意识，
提高解决问题的能力，从而，大大加 强学生学习数学的兴趣。
[关键词]：转化思想 数学学习 逻辑思维 应用意识 学习兴趣
[引言]：人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了
许多光 辉的数学思想，每种数学思想都有它一定的应用范围，但笔者在数学实践
中体会到，在学生的数学学习过 程中，决不能忽视转化数学思想所起的重要作用，
在教学中必须重视转化思想的渗透和培养。
转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的
一个重要的基本思想，不少数 学思想都是转化思想的体现。就解题的本质而言，
解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟习问题，把 抽象问题转化为具体问题，
把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为 低
次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把
顺向思维转化 为逆向思维等，因此学生学会数学转化，有利于实现学习迁移，特
别是原理和态度的迁移，从而可以较快 地提高学习质量和数学能力。
数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径，它包 含
了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。转化的目的是
不断发现问题 ，分析问题和最终解决问题。在数学中，很多问题能化复杂为简单，
化未知为已知，化部分为整体，化一 般为特殊，……等等，下面就“转化思想”
在初中数学的应用通过举例作个简单归纳。

一 生疏问题向熟悉问题转化
生疏问题向熟悉问题转化是解题中 常用的思考方法。解题能力实际上是一种创造
性的思维能力，而这种能力的关键是能否细心观察，运用过 去所学的知识，将生
疏问题转化为熟悉问题。因此作为教师，应深刻挖掘量变因素，将教材抽象程度利用学过知识，加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时
的陌生度，避免因研 究对象的变化而产生的心理障碍，这样做常可得到事半功倍
的效果。
例1：解方程x+2=3
分析：在学一元一次方程解法前，我们会解的只有加减法，于是，通过逆向思
维把加法化为 逆运算减法x=3-2，很容易把生疏的方程转化为熟悉的减法，从而
解决问题。
例2∶已知两圆内切于T，过T点的直线交小圆于A，交大圆于B
求证∶TA:TB为定值

分析∶过T点的直线绕T旋转形成无数个不同的位置，其中过T的 直径每个
圆只有一条，要证TA:TB为定值，先将直线TAB过圆心，这时TA’:TB’=r:R在
过T点任作一条直线交小圆于A，交大圆于B，连接AA 、BB’ ，即可把要求解
的TA:TB为定值转化为证明三角形相似或证明平行线对应线段成比例。
二 化部分为整体
已知x
2
-x-1=0，则代数式-x
2
+x+20 09的值为多少？

把X
2
-x-1=0看成整体 ，-x
2
+x+2009中可变出这个整体，即可变为
-（X
2
-x-1）-1+2009 把（X
2
-x-1）看作整 体为0，代入-（X
2
-x-1）-1+2009中
得出结果为2008。
三、
复杂问题转化为简单问题

教师通过合理设置问题，将一个复杂的问题分 成几个难度与学生的思维水平
同步的小问题，再分析说明这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌 握为
整体服务。例如，针对某一概念，可围绕下面几个角度设置问题：概念的构成；
概念所涉及 的子概念；概念的外延；概念的内涵；概念的确定与否定；概念之间
的关系；概念的应用以及由概念而设 计的一些构造性问题等等。问题与问题之间
要有一定的梯度，以利于教学时启发学生思维。
复杂问题简化是数学解题中运用最普通的思考方法。一个难以直接解决的问
题，通过深入观察和研究，转 化为简单问题迅速求解。
例2：解方程(xx-1)
2
-5（xx-1）+ 6=0
分析：此方程形式较复杂，可通过换元化为简单方程。
令xx-1=y，则y
2
-5y+6=0, 通过换元转化为会解的一元二次方程
可进一步求解。
四．高次转化为低次
例：解方程 x
4
-5x
2
+6=0
分析：这是一道一元高次方程，可通过换元进行降次，转化为会解的一元二
次方程
设X
2
=Y 则上式变为会解的一元二次方程Y
2
-5Y=0，在进一步来解。

五、实际问题转化为数学问题
重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是近年来数学教改的一个

热点，已成为我 国教育改革的一个指导思想，也是新大纲强调的重点之一。新编
教材在加强用数学的意识方面也作了改进 ，理论联系实际是编写教材的重要原则
之一，教材注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去 ，引导学生在
解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力。进入九十年代中后期来，
应 用问题在中考的地位已经确立，并且也越来越重要。在解决实际问题时，要重
在分析的关系， 培养学生应用数学能力。
例 : 甲乙两个仓库要向两地A.B两地运送水泥，已知甲库 可调出100
吨水泥，乙库可调出80吨水泥；A地需70吨水泥，B地需110吨水泥；两库到
A、B两地的路程和运费如下表∶
路程（千米）

甲库
A地
B地
20
25
乙库
15
20
甲库
12
10
乙库
12
8
运费（元吨千米）
(1) 设甲库运往A地水泥X吨，求总运费（Y元）关于X的函数关系式；
(2) 当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的运费是
多少？
解∶（1） 设甲库运往A地水泥X吨，则∶运往B地就是（100-X）吨，乙地运往
A地为（70-X），乙地运 往B地（10+X）吨。
所以总费用为：Y=20×12X+15×12（70-X）+25×10（ 100-X）+20×8（10+X）
即 Y=-30X+39200

（2）上述一次函数中，
Y的值随X的增大而减小，
X=70 时，总运费（Y元）最小，为37100元。
六 一般与特殊的转化
例5：如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的长。
A
B C

分析：直角三角形是三角形中最特殊，最简单的情景，因此，构造Rt△解 题是
转化的重要策略，如图过A作AD⊥BC于D，此题便迎刃而解。

七 数与形的转化
例6：①一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是几边形？
②一次函数Y=KX一定过那一点，当K＞０时此函数在那个象限？
分析： ①题属于用代数方法来解决几何问题（可列方程）；
②题属于用几何方法来解决代数问题（可 用坐标系画出此一次函数的大
致图象再回答，这样把数与形结合起来较直观。）
再如下例：

综上所述，数学转化思想是中学数学教育中最活跃，最实用的。其 它的如不
规则转化为规则，动与静的转化都是数学中的转化思想，此外，转化思想在立体
几何中 也应用普遍如图形与符号的转化，维度的转化，变量与不变量的相互转化
等等就不一一举例。我们在教学 中还应合理组织教学活动，加强新旧知识的联系；
摒弃“题海战”的教学模式；重视解题思路的概括解题 。这对学生各种思维能力
（包括数学转化能力）的提高也同样是有益的。其实多数学问题的解决都要运用
转化思想，教师在平时的教学中要善于引导和鼓励学生在学习上和生活中经常运
用转化思想，学 习上，善于运用转化思想的同学，将能解决更多的数学问题，将
有更浓厚的学习兴趣。生活中，善于运用 转化思想的同学，将变得越来越聪明，
越来越富有创造性，这正是我们每位教育工作者所期待的东西，正 是教育的归宿，
教育的目的。所以要重方法，而不要重题海。

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