2020届高三数学复习 数列解题方法集锦

2020届高三数学复习 数列解题方法集锦
数列是高中数学的重要内容之一，也是 高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出
现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试 题不仅考查数列的概念、等差数列
和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了 学生的各种能力。
一、数列的基础知识




1．数 列{a
n
}的通项a
n
与前n项的和S
n
的关系
它包括两个方面的问题：一是已知S
n
求a
n
，二是已知a
n
求S
n
；
1.1 已知S
n
求a
n

对于这类问题，可以用公式a
n
=
?
1.2 已知a
n
求S
n

这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和 一般有三种方法：颠倒相加法、错位相
(n?1)
?
S
1
.
?
S
n
?S
n?1
(n?2)

减法和通项分解法。
2．递推数列：
?
?
a
1
?a
，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设
?
a
n?1
?f(a
n
)
法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。
例1 已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
2
-2n+3 ,求数列{a
n
}的通项a
n
，并判断数列{a
n
}是否为
等差数列。
解：由已知：S
n
=n
2
-2n+3，所以 ，S
n-1
=(n-1)
2
-2(n-1)+3=n
2
-4 n+6,
两式相减，得：a
n
=2n-3(n
?
2),而当n=1 时,a
1
=S
1
=2,所以a
n
=
?
又a
2
-a
1
?
a
3
-a
2
，故数列 {a
n
}不是等差数列。
注意：一般地，数列{a
n
}是等差数列
?
S
n
=an+bn
?
S
n
2
( n?1)
?
2
.
?
2n?3(n?2)
n(a
1
?a
n
)
.
2
数列{a
n
}是等比数列
?
S
n
=aq-a.
n
例2 已知数列{a
n
}的前n项的和S
n
=
n(a
1
?a
n
)
,求证：数列{a
n
}是等差数列。
2
证明：因为S
n
=
n(a
1
?a
n
)(n?1)(a
1
? a
n?1
)
，所以，
S
n?1
?

22< /p>

两式相减，得：
a
n?1
?
(n?1)(a
1
?a
n?1
)?n(a
1
?a
n
)
，所以
2
2a
n?1
?a
1
?(n?1)a
n?1
?na
n
，即：
(n?1)a
n?1
?na
n
? a
1
，同理：
(n?2)a
n
?(n?1)a
n?1?a
1
，即：
(n?1)a
n?1
?(n?2)a
n< br>?a
1
，
两式相加，得：
(n?1)a
n?1
?( n?1)a
n?1
?(2n?2)a
n
，即：
a
n?1< br>?a
n?1
?2a
n
，所以数列{a
n
}是等差数列 。
例3 已知数列{a
n
}的前n项的和S
n
+ a
n
=2n+1,求数列{a
n
}的通项a
n
.
解：因为S
n
+ a
n
=2n+1，所以， S
n+1
+a
n+1
=2(n+1)+1,两式相减，得：
2a< br>n+1
-a
n
=2,即：2a
n+1
-a
n
+2=4，2a
n+1
-4= a
n
-2，所以
a
n?1< br>?2
1
3
1
?
，而S
1
+a
1=3，a
1
=，故a
1
-2=
?
，
a
n
?22
2
2
1
1
为首项，为公比的等比数列，所以 < br>2
2
11
1
1
a
n
-2=
?
()
n-1
= - ()
n
,从而a
n
=2 - ()
n
。
22
2
2
即：数列{a
n
}是以
?
例4 （2000年全国）设{a
n
}是首项为1的正项数列，且(n+1)a
n+1
2
-na
n
2
+a
n+1
a
n
=0，< br>(n=1,2,3,…),则它的通项公式是a
n
= .
分析：（1）作为填空题，不需要解题步骤，所以可以采用不完全归纳法。
令n=1，得：2 a
2
2
+a
2
-1=0,解得，a
2
=
a
4
=
1111
.令n=2, 得：3a
3
2
+a
3
-=0, 解得，a
3
=.同 理，
2223
11
由此猜想：a
n
=.
4n
(2 )由(n+1)a
n+1
2
-na
n
2
+a
n+1
a
n
=0，得：[(n+1)a
n+1
-na
n
] (a
n+1
+a
n
)=0, 所以(n+1)a
n+1
=n a
n
，
这说明
数列是常数数列，故na
n
=1，a
n
=
1
.
n
a
n?1
n
?
，所以
a
n
n ?1
也可以由(n+1)a
n+1
=na
n
，得：
a
n
?
a
n
a
n?1
a
n?1n?211
????
2
?a
1
??????1?
。
a
n?1
a
n?2
a
1
nn?12n
例5 求下列各项的和


012n?1n
(1)
C
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?(n?1)C
n
.
(2)1+2
?
2
1
+3
?
2
2
+4
?
2
3
+…+n
?
2
n-1.

(3)1
?
2+2
?
3+3
?
4+…+n(n+1).
(4)
111
????
.
1?32?4n(n?2)
012n?1n
解：（1）设 S
n
=< br>C
n
?2C
n
?3C
n
???nC
n
?(n?1)C
n
,则
nn?110
S
n
=(n?1)C
n
?nC
n
???2C
n
?C
n
,
01n
两式相加，得：2S
n
= (n+2)
C< br>n
?(n?2)C
n
???(n?2)C
n

01n
=(n+2)(
C
n
?C
n
???C
n
) =(n+2)2
n
, 所以S
n
=(n+2)2
n-1
.
012nn?1n?1n
思考：
C
n
?2C
n
?4 C
n
???2C
n
?2C
n
又如何求呢？
（2） 设S
n
=1+2
?
2
1
+3
?
2
2
+4
?
2
3
+…+n
?
2
n-1
，则
2 S
n
= 1
?
2+2
?
2< br>2
+3
?
2
3
+…+（n-1）2
n-1
+ n2
n
.
两式相减。得：- S
n
=1+2
1
+2
2
+…+2
n-1
-n2
n
=
S
n
=2
n
(n-1)+1.
1?2
n
?n?2
n
=2
n
(1-n)-1. < br>1?2
(3)1
?
2+2
?
3+3
?
4+… +n(n+1)=(1
2
+1)+(2
2
+2)+(3
2
+ 3)+ … +(n
2
+n)
=(1
2
+2
2
+3
2
+ … +n
2
)+(1+2+3+ … +n)
=
111
n(n?1)( 2n?1)?n(n?1)
=
n(n?1)(n?2)
.
623
1111
?(?)

n(n?2)2nn?2
(4) ∵
∴
111
????

1?32?4n(n?2)
=
1111111111
(1???????????)

232435n?1n?1 nn?2
32n?3
1111
(1???)
=
?
.
4(n?1)(n?2)
22n?1n?2
二、等差数列与等比数列
1．定 义：数列{a
n
}为等差数列
?
a
n+1
-a
n< br>=d
?
a
n+1
-a
n
=a
n
-a
n-1
；
数列{b
n
}为等比数列
?
=
b
n?1
bb
?q
?
n?1
?
n
。 a
n
b
n
b
n?1

2．通项公式与前n 项和公式：
数列{a
n
}为等差数列，则通项公式
S
n
=
a
n
=a
1
+(n-1)d, 前n项和
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d
=
na
1
?.
2
2
(q?1)
?
na
1
?
数列 {a
n
}为等比数列，则通项公式a
n
=a
1
q
n -1
, 前n项和S
n
=
?
a
1
(1?q
n
)
.
(q?1)
?
?
1?q
3．性质：
每连续m项的和仍
若m+n=p+q，
等差数列
则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
S
m
,S
2m
-S
m,
S
3m
-S
2m
组
成等差数列

每连续m项的和仍
若m+n=p+q，
等比数列
则a
m
a
n
=a
p
a
q
Sm
,S
2m
-S
m,
S
3m
-S
2m
组
成等比数列
组成等比数列，即
组成等差数列,即
（4）函数 的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个
指数函数型的函数。可以 利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。
例6 设S
n
是等差数列{ a
n
}的前n项的和，已知
1111
S
3
与S
4< br>的等比中项为S
5
，S
3
与
3453
1
S< br>4
的等差中项为1，求等差数列{a
n
}的通项。(1997年高考题)
4
解：设等差数列的公差为d,则
1111
?
1
?
1
22
S?S?(S)(3a?2d)?(4a?6d)?(5a?10d)
345 111
??
?
3
?
345425
，即，
??1111
?
S?S?2
?
(3a?2d)?(4a?6d)?2
3411
??
44
?
3
?
3
12
?
d??
?
d?0
3212
?
解得：
?
?n
。
或
?
5
，所以
a
n
?1或a
n?
55
?
a
1
?1
?
a?4
?
1
评说：当未知数与方程的个数相等时，可用解方程的方法求出这两类特殊数列的首项与公差
或公比，然后再解决其他问题。

例7 设等比数列{a
n
}的前n项 的和为S
n
，若S
3
+S
6
=2S
9
，求 数列{a
n
}的公比q (1996年高
考题)。
解：若q=1，则S3
=3a
1
,S
6
=6a
1
,S
9< br>=9a
1
, 由已知S
3
+S
6
=2S
9
, 得：3a
1
+6a
1
=18a
1
,解得：a
1
=0，
这与数 列{a
n
}为等比数列矛盾，所以，q
?
1。
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)2a
1
(1?q
9
)
由已知S
3
+S
6
=2S
9
, 得：，整理得：
??
1?q1?q1?q
q(2q?q?1)?0，解得：
q??
363
3
4
。
2
例8 在等差数列{a
n
}中，已知a
7
=8，求S
13
. 分析：在这个问题中，未知数有两个：首项a
1
与公差d，但方程只有一个，因此不能象< br>例6那样通过解方程解决问题，必须利用这两类数列的性质或者利用整体性思想来解决问
题。 < br>解：因为a
7
=8，所以a
1
+a
13
=2a
7
=16，故S
13
=
13(a
1
?a
13)
?104.

2
例9 在等差数列{a
n
}中，已知 a
1
>0,S
n
是它的前n项的和.已知S
3
=S
11
，求S
n
的最大值。
分析：和例8一样，也是未知数的个数多于方程的个数，所以须考虑等差数列的性质。
解：由 已知：S
3
=S
11
，故
3a
1
?3d?11a< br>1
?55d,得：d??
2
a
1
?0.
而因为S3
=S
11
，
13
得a
4
+a
5+a
6
+…+a
10
+a
11
=0.由于a
4
+a
11
=a
5
+a
10
=a
6
+a
9
=a
7
+a
8
,所以a
7
+a8
=0。
故a
7
>0,a
8
<0,所以 S
7
最大。
评说：(1)本题也可以利用函数的思想来解，即把S
n
表示成某一变量的函数（比如n），然后
再求这个函数的最大值。
(2)本题还可以利用 方程与不等式的思想来解，即S
n
最大当且仅当a
n
>0同时a
n+ 1
<0，解
这个不等式组即可。


三、数列综合问题
对于综合问题，要注意与其他数学知识相联系，如函数、方程、不等式，还要注意数学
思想方法的应用， 如归纳法、类比、叠加等。
例10 已知等差数列{a
n
}的前n项的和为Sn
，令b
n
=
1
1
，且b
4
=，S< br>6
-S
3
=15,求数列
S
n
10

< br>{b
n
}的通项公式和
lim

n??
?
b
的值。
i
i?1
n
分析：欲 求b
n
，需先求S
n
，而S
n
是数列{a
n
}的前n项的和，所以应首先求出a
n
。因为
数列{a
n
}是等差 数列，故只要能找到关于a
1
与d的两个方程即可。
解：设数列的首项为a
1
，公差为d.由已知得：
?
S
4
?10
?
4a
1
?6d?10
?
a
1?1
，解得：。
?
??
?
?
d?1
?
3a
1
?12d?15
?
S
6
?S
3
? 15
所以a
n
=n,从而S
n
=
2
n(n?1)
,故b
n
=。
n(n?1)
2

lim
?
b
i
?2lim[
n??
i?1
n??
n
111
????]

1?22?3n(n?1)
=2
lim[1?
n??
111111
??????]?2lim(1?)?2.

n??
223nn?1n?1
例11 已知f(x)=a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+…+a
n< br>x
n
，且a
1
,a
2
,a
3
,…, a
n
组成等差数列（n为正偶数），
又f(1)=n
2
,f(-1) =n；




（1）求数列{a
n
}的通项a
n
；
（2）试比较f(0.5)与3的大小，并说明理由。
分析：显然，只要能把f(1)=n< br>2
,f(-1)=n转化为关于首项和公差的两个方程即可。
解：（1）设数列的公差为d，因为f(1)= a
1
+a
2
+a< br>3
+…+a
n
=n
2
，则na
1
+
n(n?1)
d=n
2
,即
2
2a
1
+(n-1) d=2n.又f(-1)= -a
1
+a
2
-a
3
+…-a
n-1
+a
n
=n,即


∴a
n
=1+2(n-1)=2n-1.
(2)f(0.5)=
n
?d
=n,d=2.解得a
1
=1.
2
11111
?3()
2
?5()
3
???(2n?1)()
n
,把它 两边都乘以，得：
22222
111111

f()?()
2?3()
3
???(2n?3)()
n?1
?(2n?1)()
n

222222
1111
2
1
3
1
n? 1
1
n
两式相减，得：
f()??2()?2()???2()?(2n?1 )()

2222222
11
2
1
n?1
1
n
1
=
2??2()???2()?(2n?1)()?

222 22
11
[1?()
n?1
]
11111
2
=2
2
?(2n?1)()
n
??2?2()
n?1
?( 2n?1)()
n
?

1
22222
1?
2

313
?(2n?3)()
n
?
。
222
1
∴
f()?3.

2
=
例12 （2001年春季）在1与2之间插入个正数a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
，使这n+2个正数成等
比数列；又在1与2之间插入个正数 b
1
,b
2
,b
3
,…,b
n
，使这n+ 2个正数成等差数列。记
A
n
=a
1
a
2
a
3
…a
n
,B
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
.



（1）求数列{A
n
}和{B
n
}的通项；
（2）当n≥7时，比较A
n
与B
n
的大小，并证明你的结论。 < br>分析：本题的关键是求A
n
与B
n
，如果能注意到1，a
1< br>,a
2
,a
3
,…,a
n
，2成等比数列，1，b
1
,b
2
,b
3
,…,b
n
，2成 等差数列，则就容易想到利用这两类数列的性质。
解：(1)因为1，a
1
,a2
,a
3
,…,a
n
，2成等比数列，所以a
1
a
n
=a
2
a
n-1
=a
3
a
n-2
=…=1
?
2,从而A
n
2
=
(a
1
a
2
a
3
…a
n
)(a
1
a
2
a
3
…a
n
)=(a
1< br>a
n
)(a
2
a
n-1
)(a
3
a
n-2
)…(a
n
a
1
)=2,故A
n
=
2
.
n
n
2
因为1，b
1
,b
2
,b
3
,…,b
n
，2成等差数列，所以b
1
+ b
n
=1+2=3, 从而B
n
=
n
2
n(B1
?B
n
)
3
?
n
.
2
2
(2)∵A
n
=
2
, B
n
=
39
n
.∴A
n
2
=2
n
,B
n
2
=n
2
.
24
0123n?3n?2n?1n
2nn
当n≥7时，A
n
=2=(1+1)=
C
n
?C< br>n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
?C
n

n(n?1)n(n?1)(n?2)
+]
26
1
32
2 1
3
51
32
119
2
=2+2n+n-n+n-n+n= n+n+2>n=n(n), 当n≥7时，n >.
33333334
0123
≥ 2(
C
n
?C
n
?C
n
?C
n
) =2[1+n+
所以当n≥7时，A
n
> B
n
，故A
n
> B
n

评说：对于A
n
与B
n
的大小，也可以用数学归纳法证明。

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