高中数学数学之特殊解法

tan(x?)?1
??
1tanxtanx（－1tan
2
x）4
4
tanx＝tan(x??)??,＝＝?

?
2tanx
4429
tan(x?)?1
3tan2x
41－tan
2
x
（2）已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角
线长为（ ）
(
A
)
23
(
B
)
14
(
C
)5 (
D
)6
?
分析：设长方体三条棱长分别为
x
、
y
、
z，则依条件得：
2(
xy
+
yz
+
zx
) =11，4(
x
+
y
+
z
)=24。
而欲求的对 角线长为
x
2
?y
2
?z
2
，因此需将对称式x
2
?y
2
?z
2
写成基本对称式
x
+
y
+
z
及
xy
+
yz
+
zx< br>的组合形式，完成这种组合的常用手段是配方法，故
x
2
?y
2
?z
2
?(x?y?z)
2
?2(xy?yz?xz)
=6
2
－11=25。
∴
x
2
?y
2
?z2
?5
，应选
C
。
点评：本题解答关键是在于将两个已知和一 个未知转换为三个数学表示式，观察和分析
三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即 联系了已知和未知，从而求解。
这也是我们使用配方法的一种解题模式。
x
2
?y
2
?1
的两个焦点,点
P
在双曲线上且满足例2．（1）设< br>F
1
和
F
2
为双曲线
4
∠
F
1
PF
2
=90°，则Δ
F
1
PF
2
的 面积是（ ）
(
A
)1 (
B
)
5

2
(
C
)2 (
D
)
5

分析 ：欲求
S
?PF
1
F
2
?
1
|PF
1
|?|PF
2
|

2
22
(1)，而由已知能得到什么呢？
(2)， 由∠
F
1
PF
2
=90°，得
|PF
1
|?|PF
2< br>|?20

又根据双曲线的定义得|
PF
1
|-|
PF
2
|=4 (3)，那么(2)、(3)两式与要求的三角形面
积有何联系呢？ 我们发现将(3)式完全平方，即可找到三个式子之间的关系.即
||PF
1
|?|P F
2
||
2
?|PF
1
|
2
?|PF2
|
2
?2|PF
1
|?|PF
2
|?16< br>，
故
|PF
1
|?|PF
2
|?
∴ < br>S
?PF
1
F
2
?
11
(|PF
1
|
2
?|PF
2
|
2
?16)??4?2

22
1
|PF
1
|?|PF
2
|?1
，∴ 选(
A
)。
2
p
2
q
2
)+()≤7成 立，求实数k的取
qp
点评：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化。
（2）设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(
值范围。
2

解析：方程x
2
＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，p q＝2，
[(p?q)
2
?2pq]
2
?2p
2
q
2
p
2
q
2
p
4
?q
4
(p
2
?q
2
)
2
?2p
2
q
2
()+()＝＝＝＝
2
2
2
(pq)
(pq)
q p
(pq)
(k
2
?4)
2
?8
≤7，解得k≤－
10
或k≥
10
。
4
又 ∵p、q为方程x
2
＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k
2
－8≥0即k≥2
2
或k≤－2
2

综合起来，k的取值范围是：－
10
≤k≤－
22
或者
22
≤k≤
10
。
点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考 虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根
时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后 ，观察已知不等式，从其结构
特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“ △”讨论，结果将
出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的 ，这
一点我们要尤为注意和重视。
2．待定系数法典例解析
例3．（11江苏，1 2）在平面直角坐标系
xOy
中，已知点P是函数
f(x)?e(x?0)
的 图
象上的动点，该图象在P处的切线
l
交y轴于点M，过点P作
l
的 垂线交y轴于点N，设线段
MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________ < br>解析：设
P(x
0
,e
0
),
则
l:y?e
过点P作
l
的垂线：
y?e
x
0
xx
0< br>x
?e
x
0
(x?x
0
),?M(0,(1?x0
)e
x
0
)
，
??e
?x
0(x?x
0
),N(0,e
x
0
?x
0
e?x
0
)
，
11
t?[(1?x
0
)ex
0
?e
x
0
?x
0
e
?x
0
]?e
x
0
?x
0
(e
?x
0
?e
x
0
)

22
1
t
'
?(e
x
0
?e
?x
0
)(1?x
0
)
；
2
11
所以，t在
(0,1)
上单调增，在
(1,?? )
单调减，
t
max
?(e?)
。
2e
例4．（ 11安徽文，17）设直线
l
1
:y?k
1
x?1,l
2< br>:y?k
2
x?1,其中实数k
1
,k
2
满足k1
k
2
?2?0.

（I）证明
l
1
与
l
2
相交；
（II） 证明
l
1
与
l
2
的交点在椭圆
2x+y=1上.< br>
分析：本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与
证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.
证明：（I）反证法，假设是l
1
与
l
2
不相交，则
l
1
与
l
2
平行，有k
1
=k
2
，代入k
1
k
2
+2=0，得

22
k
1
2
?2?0.

此与k
1
为实数的事实相矛盾. 从而
k
1
?k
2
,即l
1
与l
2
相交.
（II）（方法一）由方程组
?
?
y?k
1
x?1

?
y?k
2
x?1

2
?
x?,
?
k?k
?
21
解得交点
P
的坐标
(x,y)为
?

k?k
1
?
y?
2
.
?
k?k
21
?
22
k
2
?k
1
2
8?k
2
?k
1
2
?2k
1
k
2
k
1
2
?k
2
?4
2
2
而2x?y?2()?()???1.

2222
k
2
?k
1
k
2
?k
1
k
2
?k
1
?2 k
1
k
2
k
1
?k
2
?4
22< br>


此即表明交点
P(x,y)在椭圆2x?y?1上.

（方法二）交点
P
的坐标
(x,y)
满足
22
?
y?1?k
1
x
?
?
y?1?k
2
xy?1
?
k?,
?
?
1
x

故知x? 0.从而
?
y?1
?
k?.
2
?
x
?y?1y?1
代入k
1
k
2
?2?0,得??2?0.
xx


整理后，得
2x?y?1,

所以交点
P
在椭圆
2x?y?1上.

3．换元法典例解析
例5．（1）（06江苏卷）设
a
为实数，设函数
f(x)?a1?x
2
?1?x?1?x
的最大值为
22
22
g
(
a
)。
（Ⅰ）设t＝
1?x?1?x
，求
t
的取值范围，并 把
f
(
x
)表示为
t
的函数
m
(
t
)；
（Ⅱ）求
g
(
a
)。
解析：（Ⅰ）令
t?1?x?1?x

要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴
t
2
?2?21?x
2
?[2,4],
t≥0 ①
2
t的取值范围是
[2,2].
由①得
1?x?
12
t?1

2

1
2
1
t?1< br>)+t=
at
2
?t?a,t?[2,2]

22
1
2
（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数
m(t)?at?t?a,t?[2,2]
的最大值。
2
11
2
注意到直线
t??
是抛物线
m(t)?at?t?a
的对称轴，分以下几种情况讨论。
a2
∴m(t)=a(
（1）当a>0时，函数y=m(t),
t?[2,2]
的图象是开口向上的抛物线的一段，
由
t??
1< br><0知m(t)在
[2,2].
上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2
a
(2)当a=0时，m(t)=t,
t?[2,2]
,∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t),
t?[2,2]
的图象是开口向下的抛物线的一段，
若
t??
2
1
则
g(a)?m(2)?2

?[0,2]
，即
a??
2
a
21
111
?a? ?
则
g(a)?m(?)??a?

?(2,2]
，即
?< br>22
aa2a
若
t??
若
t??
11
?(2 ,??)
，即
??a?0
则
g(a)?m(2)?a?2

a2
a??
1
2
?
a?2,
?
21
1?
?a??,
综上有
g(a)?
?
?a?,

?
22
2a
?
?
2
?
2,
a??
2
点评：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运
用数 学知识分析问题、解决问题的能力。
（2）设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－s inx·cosx－2a
2
的最大值和最小值。
2
解析：设sinx＋co sx＝t，则t∈[-
2
,
2
]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sin x·cosx得：
t
2
?1
sinx·cosx＝，
2
1 1
2
(t－2a)＋（a>0），t∈[-
2
,
2
]， < br>22
1
2
t＝-
2
时，取最小值：－2a－2
2a－，
2
1
2
当2a≥
2
时，t＝
2
，取最大值：－2a＋2
2
a－；
2
∴f(x)＝g(t)＝－