高中数学解题方法

数学解题方法与技巧

一、换元法
“换元”的思想和方法， 在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，
变繁为简，化难为易，给出简 便、巧妙的解答。
在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一 变量如x，用新变量t的式子
如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量代换，得 到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元
法或变量代换法。
用换元法解题， 关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。
就换元 的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三
角式代 换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。
例如， 用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定
义域、值 域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角
公式 ，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。
换元法是一种 重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等
式的证明，方程、 方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，
以及解析几何中 的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。
例1 分解因式：(x
2
-x-3)(x
2
-x-5)-3
例2 在实数集上解方程：
3
14?x?
3
14?x?4

例3 设sinx+siny=1，求cosx+cosy的取值范围.
x
2
?y
2
?1
，求函数f(x,y)=x
2
+2xy+y
2
+x+ 2y的最小值和最大值。 例4 设x,y∈R，且
4
二、消元法
对于含有 多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通
过适当的变 形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。
消元 法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的
应用。
用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。
例1 解方程组：
45
??1

x?1y?1
x+1=y
x-y-z=6
例2 解方程组： y-z-x=0
z-x-y= -12
例3、设a,b,c均为不等于1的正数，若 a
x
=b
y
=c
z
①

111
???0
②
xyz
求证： abc=1

三、待定系数法
按照一定规律，先写出问题的解的形式 （一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定
的未知系数的值，从而得到问题的解。这 种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，
称为待定系数。
确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。
一、 比较系数法
比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常
是多 元方程组），由此求得待定系数的值。
比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多 项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，
即a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+ ?+a
n
≡b
0
x
n< br>+b
1
x
n-1
+? +b
n
的充分必要条件是 a
0
=b
0
, a
1
=b
1
,?? a
n
=b
n
。
二、 特殊值法
特殊 值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的
若干关系 式，由此求得待定系数的值。
特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等， 是指用字母容许值集内的任意值代替
表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。
待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等
式、 解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。
例1
例2
例3
设二次函数的图象通过点A（-1，0），B（7，0），C（3，-8），求此二次函数的解析式。
以x-1的幂表示多项式 x
3
-x
2
+2x+2。
分解因式：6x
2
+xy-2y
2
+x+10y-12.
四、判别式法
实系数一元二次方程
ax
2
+bx+c=0 (a≠0) ①
的判别式△=b
2
-4ac具有以下性质：

＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根
△ ＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根；
＜0，当且仅当方程②没有实数根。
对于二次函数
y=ax
2
+bx+c (a≠0)②
它的判别式△=b
2
-4ac具有以下性质：
＞0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；
△ ＝0，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；
＜0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。
利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求 某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，
证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方 面，都有着广泛的应用。
在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。
例1 已知关于x的二次方程x
2
+px+q=0有两正根
求证：对于一切 实数r≥0，方程qx
2
+(p-2rq)x+1-p=0也必有两正根。
例2、 x,y,z∈R, a∈R
+
，且
x+y+z=a,

x
2
+y
2
+z
2
=
1
2
a
2
试确定x,y,z的取值范围。
例3、 已知a,x为实数，|a|<2,求函数 y=f(x)=
x?a
的最大值与最小值。
2
x?ax?1
从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行
微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，
获取良好的效果。
五、 分析法与综合法
分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作
用。
在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原
因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法，后者称为综合法。
具体的说 ，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已
知条件；综合法 则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。
例1：设a,b ∈R
+
，且a≠b，求证：a
3
+b
3
＞a
2b+ab
2
例2：已知A
1
,A
2
,…,A
n
为凸多边形A
1
A
2
…A
n
的内角，且
lgsinA
1
+lgsinA
2
+…+lgsinA
n
=0 ， 试确定凸多边形的形状。
例3：设α，β∈(0,
值范围。
?2
)，x的一元二次方程f(x)=x
2
+4ax+3a+1=0的两个根为tg
?
?
,tg
22
，求a的取
六、 数学模型法
例 （哥尼斯堡七桥问题）18世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格河，这条河有两个支流，在城中心汇
合后流 入波罗的海。市内办有七座各具特色的大桥，连接岛区和两岸。每到傍晚或节假日，许多居
民来这里散步 ，观赏美丽的风光。年长日久，有人提出这样的问题：能否从某地出发，经过每一座
桥一次且仅一次，然 后返回出发地？
数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对 数学模型的研究，
使实际问题得以解决的一种数学方法。
利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：
（1） 建模。根据实 际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象
方法。建模的具体过程 ，大体包括以下几个步骤：
1
o
考察实际问题的基本情形。分析问题所及的 量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知
量，哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质 属性，确定问题所及的具体系统。
2
o
分析系统的矛盾关系。从实际问题的 特定关系和具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，
考察主要因素和量的关系。
3
o
进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达 式去刻
画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学 方法去
表现数学模型。
（2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。
（3） 评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原
来的实际问题中去，形成最终的解答。
例1：把一根直径为的圆木，加工成横截面为矩形的柱子，问何锯法可使废弃的木料最少？