高中数学解题思想之分类讨论思想

分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以 分类，并逐类求解，
然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思 想，同
时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关
分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概
括性，所以 在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及 到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种
情况。这种分类讨论题 型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者 是分
类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可
以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax >2时
分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、 不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过
分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、
不重复 ，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我 们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象
的全体的范围；其次确定分类标准，正确进 行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥
（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获 取阶段性结果；最后进行归纳小结，
综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：
1．集合A ＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A
?
B，那么a的 范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 02.若a>0且a≠1，p＝log
a
(a＋a＋1)，q＝l og
a
(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是
_____。
A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0 3.函数y＝
32
cosx
sinx
|ctgx|
tgx
＋ ＋＋的值域是_________。
|sinx|
|cosx|
|tgx|
ctgx
π
cos
n
θ?sin
n
θ
4.若θ∈( 0, )，则
lim
的值为_____。
n→∞
cos
n
θ＋sin
n
θ
2
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
1
5.函数y＝x＋的值域是_____。
x
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A.
8
9
3
B.
4
9
3
C.
2
9
3
D.
4
9
3
或
8
9
3

7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定

【简解】1小题：对参数a分a>0、a＝0、a<0三种情况讨论，选B；
2小题：对底数a分a>1、03小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；
?
???
4小题：分θ＝、0<θ<、<θ<三种情况，选D；
4442
5小题：分x>0、x<0两种情况，选B；
6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D；
7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设 00且a≠1，比较|log
a
(1－x)|与|log
a
( 1＋x)|的大小。
【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底
数a分两类情况进行讨论。
【解】 ∵ 01
① 当0a
(1－x)>0，log
a
(1＋x)<0，所以
|log
a
(1－x)|－|log
a
(1＋x)|＝log
a
(1－x)－[－log
a
(1＋x)]＝log
a
(1－x) >0;
② 当a>1时，log
a
(1－x)<0，log
a
(1＋x)>0，所以 < br>|log
a
(1－x)|－|log
a
(1＋x)|＝－log
a
(1－x) －log
a
(1＋x)＝－log
a
(1－
x)>0；
由 ①、②可知，|log
a
(1－x)|>|log
a
(1＋x)|。
【注】本题要求对对数函数y＝log
a
x的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是
增函数，当0 的符号判断，也用到函数的单调性。
例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个 元素，试求同时满足下面
两个条件的集合C的个数： ①. C
?
A∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A
而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C
12
·C
8
＋C
12
·C
8
＋C
12
·C
8
＝1084
【注】本题是排列组合中“包 含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的
分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一 个关键是要确定C中元素如何取法。另一种
解题思路是直接使用“排除法”，即C
20
－C
8
＝1084。
33
122130
2
2

例3. 设{a
n
}是由正数组成的等比数列，S
n
是前n项和。 ①. 证明：
lgS
n
?lgS
n?2
lg(S
n
?c)?lg (S
n?2
?c)
n?1
； ②.是否存在常数 c>0，使得＝lg
2
2
（S
n?1
－c）成立？并证明结论。(9 5年全国理)
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中< br>在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况。
【解】 设{a
n
}的公比q，则a
1
>0，q>0
①．当q＝1时，S
n
＝na
1
，从而S
n
S
n?2
－Sn?1
＝na
1
(n＋2)a
1
－(n＋1)a
1＝－
a
1
<0；
2
222
a
1
(1?q
n
)
当q≠1时，S
n
＝，从而
1?q
S
n
S
n?2
－S
n?1
2
a
1
2
(1?q
n
)(1?q
n?2
)
a
1
2
(1?q
n?1
)
2
2n
＝－＝－a
1
q<0；
2
2
(1?q)
(1?q)
22
由上可得S
n
S
n?2
n?1
，所以lg(S
n
S
n?2
)n?1
②. 要使
2
lgS
n
?lgS
n?2
) ，即n?1
。
2
lg(S
n
?c)?lg(S< br>n?2
?c)
＝lg（S
n?1
－c）成立，则必有(S
n< br>－c)(S
n?2
－c)＝
2
(S
n?1
－c),
分两种情况讨论如下：
当q＝1时，S
n
＝na
1
，则
(S
n
－c)(S
n?2
－c)－(S
n?1
－c )＝(na
1
－c)[(n＋2)a
1
－c]－[(n＋1)a
1< br>－c]＝－
a
1
<0
n
a
1
(1?qn
)
a(1?q)
1
2
当q≠1时，S
n
＝， 则(S
n
－c)(S
n?2
－c)－(S
n?1
－c)＝[ －
1?q
1?q
2
22
a
1
(1?q
n? 2
)a
1
(1?q
n?1
)
2n
c][ －c]－[－c]＝－a
1
q[a
1
－c(1－q)]
1?q
1?q
∵ a
1
q≠0 ∴ a
1
－c(1－q)＝0即c＝
n
a
1

1?q< /p>

a
1
a
1
q
n
而S
n
－c＝S
n
－＝－<0 ∴对数式无意义
1?q
1?qlg(S
n
?c)?lg(S
n?2
?c)
由上综述，不存在常 数c>0, 使得＝lg（S
n?1
－c）成立。
2
【注】 本例由所用公 式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明
log
0.5
S
n
?log
0.5
S
n?2
>log
0.5
Sn?1
，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，
2
对数函数为单调递减。
例 1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的
问题或者分类给出的 ，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。
例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2， 对于满足10，求实数a
的取值范围。
【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大

值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛

物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合

得解。
1 4 x
1
2
1

【解】当a>0时，f(x)＝a（x－）＋2－
aa

?
1

?
1
1??4
?
?
a
?
≤1

∴
?
a
或
?

1
1 4 x
?
1
?
2
?
f(1)＝a?2?2≥0< br>f()＝2??0
?
a
?
a
?
1
?
≥4
或
?
a

?
?
f(4)＝16a?8?2≥0
11
∴ a≥1或；
22
?
f(1)＝a?2?2≥0
当a<0时，
?，解得φ；
f(4)＝16a?8?2≥0
?
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a>
1
。
2
【注】本题分两级讨 论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a＝0三种情
况，再每种情况结合二次函数的 图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区
间左边、右边、中间。本题的解答，关键是 分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是
“数形结合法”的运用。
例5. 解不等式
(x?4a)(x?6a)1
>0 (a为常数，a≠－)
2a?12

【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－ 4a、6a的大小，故对
参数a分四种情况a>0、a＝0、－
11
22
1
【解】 2a＋1>0时，a>－； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论：
2
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
2
1
0，解得: x<6a或x>－4a；
2
1
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a2
当－
综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－< br>－4a；当a>－
1

2
1
时，6 a2
【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不 漏。一般地，遇
到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题 型
为含参型。
例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2|z|＝a 。 (90年全国高考)
【分析】由已知z＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z∈R，即对z分实数、 纯虚数两种情
况进行讨论求解。
【解】 ∵ |z|∈R，由z＋2|z|＝a得：z∈R； ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时，|z|＋2|z|＝a,解得：|z|＝－1＋
1?a
∴ z＝±(－1＋
1?a
)；
当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1±
1?a
（0
≤a≤1）
由上可得，z＝±(－1＋
1?a
)或±(1±
1?a
)ｉ
【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程
十分繁难，而 挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。
22
22
【另解】 设z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2
x?y
＋2xyｉ＝a；
2
22< br>22
2
2
?
?
x
2
?y
2
?2x
2
?y
2
?a
∴
?

?
?
2xy?0
当y＝0时，x＋2|x|＝a，解得x＝±(－1＋
1?a
) ，所以z＝±(－1＋
1?a
)；
当x＝0时，－y＋2|y|＝a，解得y＝±( 1±
1?a
)，所以±(1±
1?a
)ｉ。
2
2