高中数学_快速解题六种数学方法(高中非常适用)

高中数学_快速解题六种数学方法
对一个高中生，特别是高三年级准备参加高考的童鞋 来说，保证做题量是学好数学的必要条
件，在做题的同时要保证做题的质量。
总结题型归纳方 法是数学学习的更高境界，下面介绍的是高中数学6种数学思维方式和总结
题型归纳的方法,包括：
第一种快速解题数学思维方法：配方法
第二种快速解题数学思维方法：换元法
第三种快速解题数学思维方法：待定系数法
第四种快速解题数学思维方法：数学归纳法
第五种快速解题数学思维方法：参数法
第六种快速解题数学思维方法：反正法
只有用这种数学思维的思想武装自己，童鞋们才能更有效的学习数学。

第一种快速解题数学思维方法：配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平 方”）的技巧，通过配方找到已知和未
知的联系，从而化繁为简．何时配方，需要我们适当预测，并且合 理运用“裂项”与“添项”、“配”
与“凑”的技巧，从而完成配方．有时也将其称为“凑配法”． < br>最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方．它主要适用于：已知或者未知中
含有二 次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺项的二次曲线的
平移变换等问题．
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式：

将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

例题：

第二种快速解题数学思维方法：换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去 代替它，从而使问题得到简化，这种
方法叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据 是等量代换，目的是变
换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化 、复杂问
题简单化，变得容易处理．
换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量 ，可以把分散的条件联系起来，隐
含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来．或者变为熟悉的形式 ，把复杂的计算和推
证简化．
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超 越式为代数式，在研究方程、
不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用．
换元的方法 有：局部换元、三角换元、均值换元等．局部换元又称整体换元，是在已知或者
未知中，某个代数式几次 出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变
形才能发现．

第三种快速解题数学思维方法：待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方
法叫 待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项
或者两个多项式各同类项的系数对应相等．
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．使用待定系数法，就是把具有某
种确 定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判阿断一个问
题是否用待定系数 法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如
果具有，就可以用待定系数法求 解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复
数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具 有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系
数法求解．

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
①利用对应系数相等列方程；
②由恒等的概念用数值代入法列方程；
③利用定义本身的属性列方程；
④利用几何条件列方程．
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设 所求方程的形式，其中
含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后 解所得的
方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程．

第四种快速解题数学思维方法：数学归纳法
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时 命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达
到的解题目标进行分析比较，以此确定和调 控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自 然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何
问题、整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组：
4. 数列{a}中，已知a
1
＝1，当n≥2时an
＝a
n?1
＋2n－1，依次计算a
2
、a
3
、a
4
后，猜想a
n
的表达式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 3
Ⅱ、示范性题组：
2n?1
n
D. 4n－3

例1. 已知 数列
8·n
8·1
，得，?，
22
，?。S
n
为其 前n项和，求S
1
、S
2
、S
3
、S
4
， 推测
1
2
·3
2
(2n?1)·(2n?1)
S
n
公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）

n(a
1
?a
n
)
例3. 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若对于所有的自然数n，都有S
n
＝，证明{a
n
}是等差数列。
2
（94年全国文）

Ⅲ、巩固性题组：
1. 用数学归纳法证明：6
2n?1
＋1 (n∈N)能被7整除。
2
2. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋?＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。
3. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考）


第五种快速解题数学思维方法：参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一 些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参
数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题 ．直线与二次曲线的参数方程都是
用参数法解题的例证．换元法也是引入参数的典型例子．
辨 证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要
揭示事物之间的 内在联系，从而发现事物的变化规律．参数的作用就是刻画事物的变化状态，
揭示变化因素之间的内在联 系．参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透
到中学数学的各个分支．运用参数法解题 已经比较普遍．
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数 提供
的信息，顺利地解答问题．

Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。

222
第六种快速解题数学思维方法：反正法

实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。

Ⅰ、再现性题组：
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根

Ⅱ、示范性题组：
S
例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是

SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。
C
222
例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x

A O
2
B
＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。