高中数学解题思想之等价变换思想.

等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一 种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简 单的问
题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。等价 转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，
才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程 是充分或必要的，要对
结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪
光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性
的不同要求， 实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅 曾在一次向数学奥林匹克参赛者发
表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过 的题”。数
学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想 方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解
决数学问题时，没有一个统一的模式 去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之
间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解 决实际问题的过程中，
普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变< br>形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思
想，我们更是经常 在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是
将恒等变形在代数式方面的形变上升到保 持命题的真假不变。由于其多样性和灵活
性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型 。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原
则，即把 我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为
繁琐、复杂的问题，变成比较简 单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有
理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽 象的问题，转化为比较直观
的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向 标准
型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经
常渗透等 价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
Ⅰ、再现性题组：
1. f(x是R上的奇函数 ，f(x＋2＝f(x，当0≤x≤1时，f(x＝x，则f(7.5等
于_____。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5

2.设f(x＝3x－2，则f[f(x]等于______。
A. B. 9x－8 C. x D.
3. 若m、n、p、q∈R且m＋n＝a，p＋q＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值
是______。
A. B. C. D.
4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为
______。
A. 1 B. C. 2 D.
5. 设椭圆＋＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a和(b,0，已知
c，则椭圆的离心率为_____。 原点到l的距离等于
A. B. C. D.
6. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两 垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的
中点，E为AC的中点，则四棱锥S- BCED的体积为_____。
A. B. 10 C. D.
【简解】1小题：由已知 转化为周期为2,所以f(7.5＝f(-0.5＝－f(0.5，选
B；
2小题：设f(x＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；
3小题：由mp＋nq≤＋容易求解，选A；
4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；

5小题：ab＝
B；
×，变形为12e－31e＋7＝0，再解出e ，选
6小题：由S＝S和三棱椎的等体积转化容易求，选A。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1( －1( －1的最小值。
【分析 】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋
z，或者运用均值不等式后含 xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的
变形，即等价转化。
【解】(－1( －1( －1＝（1－x）(1－y(1－z
＝(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz＝(xy＋yz＋zx－xyz
＝＋＋－1≥3－1＝－1≥－1＝9
【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子， 最后拆分。将问题转化
为求＋＋的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒
等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。
例2. 设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。
【分析】 设k＝x＋y，再代入消去y，转化 为关于x的方程有实数解时求参
数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
【解】由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。
设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0 ，

即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3。
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：
由3x＋2y＝6x得(x－1＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐
标原点。x＋y 的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小
值是0,距离最大的点是以原点为圆心的 圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y
＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝3 6－8k＝0得k＝4,所以
x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问
题）：
由3x＋2y＝6x得(x－1＋＝1，设，则
x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识
点，有助于提高发散思维 能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的
运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于 问题转换题型。
例3. 求值：ctg10°－4cos10°
【分析】分析所求值的式 子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将
非特殊角化为特殊角。

【解一】ctg10°－4cos10°＝

－4cos10°＝
＝＝
＝＝＝＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→差化积→化同名→差化积）
【解二】ctg10°－4cos10°＝

－4cos10°＝
＝＝
＝＝
＝＝＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）
【解三】ctg10°－4cos10°＝

－4cos10°＝
＝＝

＝＝
＝＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式）
【注】无条件三角求值问题 ，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想
的体现。此种题型属于三角变换型。一般对，对于三角 恒等变换，需要灵活运用的
是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公 式以
及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互化、异名化同
名、异角 化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻
克三角恒等变形的每一道难关。
例4. 已知f(x＝tgx，x∈(0, ，若x、x∈(0, 且x≠x，
求证：[f(x＋f(x]>f( （94年全国高考）
【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条
件。
【证明】[f(x＋f(x]>f( [tgx＋tgx]>tg
(＋>
1＋cosxcosx＋
>
1＋cos(x＋x>2cosxcosx
sinxsinx>2cosxcosx
cosxcosx＋sinxsinx<1 cos(x－x<1
由已知显然cos(x－x<1成立，所以
S

[f(x＋f(x]>f(

A M


D

B
N C
【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的都是等价转化。
此种题型属于分析证明型。
例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M
是侧棱S C上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面
MAB。（83年全国高 考）
【分析】 由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识
证明SC⊥DM。
【证明】由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射
影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC＝∠NSC
又∵ ∠DCM＝∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。

< br>【注】立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑
在一个平面上的证明 时运用平面几何知识。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为
_____。
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
2. 函数f(x＝|lgx|，若0 时有 f(a>f(b ，则下列各式中成立的是 _____ 。
A. ab≤1 B. ab<1 C. ab>1 D. a>1且b>1
3. [－
C. 0 D. 1
] (n∈N的值为______。
A. B.
4. (a＋b＋c展开式的项数是_____。
A. 11 B. 66 C. 132 D. 3
5. 已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝，则顶点A到 截
面A’BD的距离是_______。
6. 已知点M(3cosx，3sinx、N(4 cosy，4siny，则|MN|的最大值为_________。
7. 函数y＝＋的值域是____________。
8. 不等式log（x＋x＋3）>log(x＋2的解是____________。
9．设x>0，y>0，求证：(x＋y>(x＋y (86年上海高考
10. 当x∈[0, ]时，求使cosx－mcosx＋2m－2>0恒成立的实数m的取值范
围。
11. 设△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若三边a、b、c顺次成
等 差数列，求复数z＝[cos(π＋＋ｉsin(π＋]·[sin(
－]的辐角主值argz的最大值 。
－＋ｉcos(

12. 已知抛物线C：y＝(t＋t－1x－2(a＋t x＋(t＋3at＋b对任何实数t
都与x轴交于P(1,0点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q( m,0，求m的取值范
围。