数列中常见的最值问题教学设计

《数列中常见的最值问题》教学设计
一、教材分析

数列 作为一类特殊的函数，虽然在课程中的课时数不多，但由于数列蕴含着丰富的数
学思想方法，有利于培养 学生的运算求解能力、推理论证能力、逻辑思维能力、应用数学知
识分析问题和解决问题的能力，深刻迎 合了新课程改革的教学理念，因而在高中数学中占有
重要的地位，也是每年各地高考的重点、热点。 < br>高考对数列知识的考查主要体现在三个方面：一是考查数列的基本概念，二是考查等
差、等比数列 的概念和性质、通项公式及前n项和公式，三是考查数列与函数、方程、不等
式、解析几何等知识的结合 。
最值问题是数学中的常见题型，而数列是特殊的函数，所以数列中最值问题的解决可
以从以 下三个方面来着手：1、数列的基本量法2、利用数列的性质3、借助函数的思想。
二、学情分析 < br>学生已经对数列知识有了初步的认识，对数列公式的运用已具备一定的技能。但高三文
科班，男生 少，女生多，女生很认真，但太过于定性思维，成绩不是太理想！针对学生这一
思维特点和心理特征，本 节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激
发学生求知欲，使学生主动参与数学实 践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指
导下发现、分析和解决问题。
三、教学设计思想
数列的最值问题是一类常见的数列问题，是数列中的难点之一，也是函数最 值问题的一
个重要类型，数列的最值问题主要有以下2种类型：
类型1、求数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
的最值。
类型2、求数列
{a
n
}
的最值。
这节课为高三第一轮复 习课中数列最值问题的第一课时，学生对数列的最值问题大多没有形
成明晰的知识脉络，因此，这节课在 知识技能上以基本概念和基本解题思路的理解和掌握为
主，同时注意函数思想的渗透和部分函数、不等式 知识技能的应用。
四、目标分析
教学目标：
1.通过教与学，使学生能够利用等差、等比数列的通项、前n项和公式及性质解决相关的最

1

值问题.
2.通过对数列中最值问题的探究，让学生归纳总结求最值的一般方法 .
3.在解决问题的 过程中，使学生学会借助函数的单调性解决有关数列最值问题，体会转化思
想、函数思想.
教学重点：学生对数列最值问题的解题思路的初步应用
教学难点: 函数思想在数列中的应用
五、教学过程
（一）知识回顾
基本知识
1.等差数列的通项公式
a
n
= .
前
n
项和
S
n
= =
2.等比数列的通项公式
a
n
= .
前
n
项和
S
n
= =
特别地，当
m?n?2p
时，则

一位学生展示内
容，其他学生纠正
师生活动


回忆本章主要知
识，为本课顺利进
行做好铺垫。
设计意图
（注意 等比
3.等差数列
{a
n
}
中：当
m?n?p?q
时,则
错误。
数列中公比
q
≠1
等 比数列
{a
n
}
中：当
m?n?p?q
时，则
的情况）


特别地，当
m?n?2p
时，则
（二）合作探究
问题 师生活动 设计意图

1.设等差数列
{ a
n
}
前
n
项和为
S
n
，已知
a
2
?6
，
师:公式和性质是为
a
8
??6
，求当
n
为何值时，
S
n
最大。
解一：设等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，则
了更快更好的解题，
下面大家观察同学
展示的第一题，说明
每种解法的解题 思
路。再总结一下等差
数列中求前n项和
主要是通过不
同的展示，让学
生总结一下等
差数列中求前n
项和
S
n
最值的
方法。
{
a
2
?a
1
?d?6
∴
a
1
?8
，
d??2

a
8
?a
1
?7d??6

∴
S
n
?na
1
?
∴当
n
n(n?1)
d??n
2
?9n

2
?4
或5时，
S
n
有最大值。
S
n
最值的方法。
解二：设等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，则
2
?a
1
?d?6
{
a
∴
a
a
8
?a
1
?7d??6

生：解一 主要通过二
1.
a
与0的分
n
次函数研究
S
n的最
界。
1
?8
，
d??2

值。解二通过通项公
2.
S
n
（借助二次

2

a
n
?10?2n?0
∴
a
n< br>?10?2n
∴
a
n?1
?8?2n?0
∴
4?n?5

{
式的正负。解三通过函数）。
性质研究
a
n
的正负
且对比哪种方
师：解二与解三的区别？
生：一个利用数列的基
本量法，一个利用数列
的性质。
师：哪一种更简单？
生：利用性质
法更好，为下面
问题做好铺垫。

∴ 当
n?4
或5时，
S
n
有最大值。
解三：由等差数列的性质可得：
a
2
?a
8
?2a
5
?0
∴
a
5
?0

由题可得：
a
4
?0,a
6
?0

∴ 当
n?4
或5时，
S
n
有最大值。

2. 设等 差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
师：有了上题的结论
做铺垫后，大家一起
研究一下第2题。
生甲：（1）主要是根
据已知条件列出不
等式即可。（2）要求



1.学生在投影
仪上展示结果
并简单的讲解
a
3
?12
，
S
12
?0,S
13
?0
，
(1)求公差
d
的取值范围；
(2)求当
n
为何值时，
S
n
最大？
学生展示：
（1）设等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，则

a
3
?a
1
?2d?12
∴
a
1
?12?2d

S
n
最值，只需表示出
过程。
S
n
，注意离对称轴最
近的正整数即可。
生乙：根据（1）中d
的
2.这道题主要
也是应用上一
题的思路来解
题，相对来说有
S
12
?12a
1
?66d?144?42d?0

S
13
?13a
1
?78d?156?52d?0

24
∴
??d??3

7
（2）解一：由（1）可得：
范围求出
a
6
，
a
7
的正
点难度而已。
负，得到
S
n
的最值。
3.强调在解决
师生共同总结：甲 主要
数列问题时除
S
n
?na
1
?
n(n?1)d 5d
??
d?n
2
?
?
12?
?
n

222
??
它的对称轴
n?
512
24
?，又∵
??d??3

了借助函数外，
2d
7
是通过研 究
S
n
借助二
也经常利用性
∴ 对称轴
6?n?6.5
，即对称轴永远靠近正整
次函数解题。乙主要是
质来解题。
利用条件判断
a
n
的正
4.这节课的重
负来求
S< br>n
的最值。
点是等差数列
数6. 所以，当
n?6
时，
S
n
最大。
解二：设等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，
由（1）可得：
?
7296
?3d??9
，
??4d??12

77

师：下面大家再看一种
中求
S
n
的最值。

3

而
a
6
?a
3
?3d?12?3d?0

方法解三，主要是利用
等差数列的性质得到
a
7
?a
3
?4 d?12?4d?0

∴ 当
n?6
时，
S
n
最大。
解三：由题可得：
a
n
的正负，从而得到
S
n
的最值。
S
12
?
12(a
1
?a
12
)
?6
?a
6
?a
7
?
?0?a
6
?a
7?0

2
13(a
1
?a
13
)
S< br>13
??13a
7
?0?a
7
?0

2
a
6
?0
∴
a
7
?0
∴ 当
n?6
时，
S
n
最大。
{
思考1：第( 2)问的逆命题：设等差数列
{a
n
}
的前
项和为
S
n
，
a
3
?12
，当且仅当
S
6
最大< br>时，
S
12
?0,S
13
?0
是否成立？
解一：不一定成立。
师：那么这道题如果
反过来是否还成立
（即思考1）， 条件中
“当且仅当
S
6
最
大”可以得到什么？
生：有a
6
?0
，也
有
a
6
?0
情况。
师：“当且仅当”
生：
a
6
?0

（学生说出想法并
展示解题过程）
师生共同总结结论



1.对上题结论
的逆用，看学生
是否真正掌握
求最值得思路。
2.条件中“当且
仅当”的理解，
也是解题的关
键。




a
6
?0
{
∵当且仅当
S
最大，∴
a
7
?0

6
a
6
?a
3
?3d?12?3d?0

a
7
?a
3
?4d?12?4d?0

∴
?4?d??3

∴
S
12
?12a
1
?66d?144?42d?
?
?24,18
?

∴ < br>S
13
?13a
1
?78d?156?52d?
?
? 52,0
?

∴
S
12
不一定大于0，但是
S13
?0
成立。
解二: 不一定成立。
a
6
?0
∵当且仅当
S
6
最大，∴
a
7
?0

{
不一定成立。
S
13
?
而
S
12
?

13(a
1
?a
13
)
?13a
7
?0

2
12(a
1
?a
12
)
?6
?
a
6
?a
7
?
不一定大于0.
2
（三）类比探究

4

问题
17?2n
(n?N
?
)
，1.若数列
{a
n
}
满足
a
n< br>?2
用
T
n
表
师生活动
师：知道了等差数列
设计意图
示它的前
n
项之积，求当
n
为何值时，
T
n
取得最
大值.
解一：根据题意可得：
中求前
n
项和
S
n
最值

的方法。那在等 比数列
中呢？（部分学生说求
和，部分学生说求积）。
等比数列中求和时，转
1.从等差数列
类比到等比数
列。
2.完全类比等
差中求前
n项
和
S
n
最值的方
法，得到等比数
列中求
n< br>项积
T
n
?a
1
?a
2
?a
3...a
n

=
a?a?a...a
15131117?2n

化为关于
q
的指数型，
不好计算它的最值。
?a
15?13?...
?
17?2n
?

?a
?n
2
?16n
2

所以等比数列中我们研究它的前
n
项积
T
n
最值的方法。
?a
?(n?8)?64
∴
n?8
时，
T
n
取得最大值.
解二：有题可知，数列
{a
n
}
是等比数列，
T
n
最值的方法。
学生展示过程，师生共3.为思考2做铺
同总结：等比数列中求垫。
a
n
?2
17?2n
?1
∴
a
n?1
?2
15?2n
?1
即
7.5?n?8.5

{
n
项积
T
n
最值 的方法
1.研究
T
n

2.
a
n
与1的比较。
∴
n?8
时，
T
n
取得最大值.


思考2：在各项均为正数的等 比数列
{a
n
}
中，用
T
n

师：有了等 比数列中求1.灵活应用等
表示它的前
n
项之积，且
a
3
? 12
，
T
12
?1
，
前
n
项积
T
n
最值的方
比数列的性质
T
13
?1
，求当
n
为何值时
T
n
最大.
2.反问“若当
解： 由题可得：
法后大家讨论一下思
T
12?a
1
?a
2
?a
3
...a
12
?
?
a
6
?a
7
?
?1

T
13
?a
1
?a
2
?a
3
...a
13
?
?
a
7
?
?1

13
6
考2.
学生展示过程，总结
此题主要利用等比数
且 仅当
T
6
最大
时，是否有
a
6
?a
7?1a
6
?1
∴
a
7
?1
∴
a
7
?1

{{
T
12
?1
，
T
13
?1

列的性质，判断
a
n
与
呢”？（学生
1的大小来解题。 思考后会口答
不一定的）
∴
n?6
时，
T
n
取得最大值.
（四）拓展提升

5

问题 师生活动 设计意图
师：知道了等差、等1.一般数列求某
n
*
(n?N)
,则数列
{a
n
}
的最1. 已知
a
n
?
2
n?156
比数列求最值得情项的最值时，主要
大项是（ c ）
A．第12项 B．第13项
况，那么一般的数列
呢？如1、2题。

是借助函数。

2.对勾函数不像
二次函数具有对
称性，要分别计算
C．第12项或第13项 D．不存在
2.已知数列
{a
n
}
的通项公式

师生总结：一般数列
求最值主要是借助函
数的单调性来解题。
9
a
n
?(n?1)()
n
(n?N
?
)
，求
a
n
的最大值。
10
解一：
a
n?1
?a
n
?(n?2)(
9
n?1
?
9
?
)?
?
n?1
?
??

10
?
10
?
n
a
12
和
a
13
的值比
较大小。
3. 注意
n?8
时，
9
n
?
8?n
?
=
()
??

10
?
10
?
a
8
?a
9
的情况。
最大项是两项。

1?n?8
时，
a
1
∴ 当
当
n?8
时，
a
8
?a
2
?...a
7
?a
8
?a
9

当
n?8
时，
a
9
?a
10
?...?a
n

综上可知；当
n?8
时，
a
n
的最大值为
a
8
或
a
9

解二：利用作商即可。（略）
（五）课堂小结及板书
1．若{
a
n
}是等差数列，求前n项和
S
n
的最值时：


a
n
?0
{
（1）若
a
>0,d< 0, 当满足
a
n?1
?0
时，前n项和
S
1n
最大；
课堂小结是使
知识系统化，
学生明了化。
a
n
?0
若
a
1
<0,d>0,当满足
a
n?1
?0
时， 前n项和
S
n
最小；
{
直接研究
a
n
的正负（基本量法或性质）。
（2）直接研究
S
n
，借助二次函数求最值。
2．若{
a
n
}是等比数列（各项均为正），求前n项积
T
n
的最值时：
（1）直接研究
a
n
与1的大小关系（基本量法或性质）

6

（2）直接研究
T
n
，转化为求二次函数的最值。
3.一般数列中求最大项： 借助函数的单调性。
4.解决数列问题的方法：
（1）基本量法 （2）性质 （3）借助函数
（六）知识反馈
1 .设等差数列
{a
n
}
的前项和为
S
n
，已知S
9
?0
，
a
3
?a
8
?0
，求当
n
为何
值时，
S
n
最小。

2. 设等差数列
{a
n
}
前项和为
S
n
，已知
a
1
?0
，
3a
4
?7a
7
，求当
n
为何
值时，
S
n
最大。
1.学生对上课
知识的巩固。
2.求数列中的
最值主要以等
差数列为主。







7