题型一数形结合解决方程的根的个数问题

高中数学解题思想与方法一（数形结合）
题型一 数形结合解决方程的根的个数问题
?
a
2
－ab，a≤b，
?
1.对于实数a和b，定义运算 “*”：a*b＝
?
2
设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关
?
b－ab，a>b.
?

于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有 三个互不相等的实数根x
1
，x
2
，x
3
，则x
1
x
2
x
3
的取值范围是
________．
2 .已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x
2
， 则方程
f(x)＝lg x解的个数是
A．5


( )
D．10 B．7 C．9
题型二 数形结合解不等式问题
2
?
?
－x＋2x， x≤0，
3. 已知函数f(x)＝
?
若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ( )
?
ln?x＋1?， x>0.
?

A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
2
|x－1|
4.已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象 恰有两个交点，则实数k的取值范围
x－1
是________．
4
5. 设有函数f(x)＝a＋－x
2
－4x和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f( x)≤g(x)，则实数a
3
的取值范围为________________
6. 已知不等式x
2
＋ax－2a
2
<0的解集为P，不等式|x＋1|<3的解 集为Q，若P?Q，则实数a
的取值范围为__________________
题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题
7..已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量 ，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最
大值是



( )
D.
2

2
所表示的区域上一动点，则
A．1 B．2 C.2
2x－y－2≥0，
?
?
8..在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组
?
x＋2y－1≥0，
?
?
3x＋y－8≤0
直线OM斜率的最小值 为
A．2


( )
1
C．－
3

B．1
1
D．－
2
9..已知 函数f(x)＝ax
2
＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一个零点在区间( 1,2)内，则
b
的取值范围为 ( )
a＋1
B．(－∞，1] C．(－2,1] D．(－2,即
?
?
x－2y＋1≥0，
10.已知点P(x，y)的坐标x，y满足
?则x
2
＋y
2
－6x＋9的取值范围是( )
?
|x|－y－1≤0，
?
A．(－∞，1)

A．[2,4] B．[2,16] C．[4,10] D．[4,16]
题型四 数形结合解几何问题
11．已知圆C
1
：(x－2)
2< br>＋(y－3)
2
＝1，圆C
2
：(x－3)
2
＋(y －4)
2
＝9，M，N分别是圆C
1
，C
2

高中数学解题思想与方法一（数形结合）
上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为
A．52－4


( )
D.17 B.17－1 C．6－22
12.已知点P在抛物线y
2
＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到 抛物线焦点距离
之和取得最小值时，点P的坐标为
11
A．(，－1) B．(，1) C．(1,2)
44
( )
D．(1，－2)
13.已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0的两条切
线，A、B是切点，C是圆 心，求四边形PACB面积的最小值．








14.已知函数f(x)＝x
3
－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得
极值，直线y＝m与y＝f(x) 的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．









15.设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.
(1)求实数a的取值范围； (2)求α＋β的值．

高中数学解题思想与方法一（数形结合）
参考答案
题型一 数形结合解决方程的根的个数问题
?
?
?2x－1?x，x≤0，
1. 解析 由定义可知，f(x)＝
?
作出函数f(x)的图象，
?
－?x－1 ?x，x>0.
?
1
如图所示．由图可知，当04
11
的实数根x
1
，x
2
，x< br>3
.不妨设x
1
2
3
，易知x2
>0，且x
2
＋x
3
＝2×＝1， ∴x
2
x
3
<.
24
1
?
?
? 2x－1?x＝
4
，
1－31－31－3
令
?
解得x＝. ∴1
<0， ∴1
x
2
x
3
<0.
4416
?
?
x<0，


2.答案 C解析 由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lg x，则
x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．

题型二 数形结合解不等式问题
3. 答案 D解析 函数y＝|f(x)|的图象如图．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．
②当a>0时，只 需在x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速
度．显然不存在 a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．
③当a<0时，只需在x<0时，x
2< br>－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.
综上所述：－2≤a≤0.故选D.
4. 答案 (0,1)∪(1,4)解析 根据绝对值的意义，
?
x＋1?x>1 或x<－1?，
|x
2
－1|
?
y＝＝
?
在直角坐 标系中作出该函数的图象，如
x－1
?
－x－1?－1≤x<1?.
?

图中实线所示．根据图象可知，当04
5..解 f(x)≤g(x)，即a＋－x
2
－4x≤x＋1，
3
4
变形得－x
2
－4x≤x＋1－a， 令y＝－x
2
－4x， ①
3
4
y＝x＋1－a. ①变形得(x＋2)
2
＋y
2
＝4(y≥0)，
3
4即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为，纵截距为1－a的平行直
3
4
线系． 设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：y＝x＋b(b＞0)，
3
|－8＋3b||－8＋3b|
2
则圆心(－2,0)到AT的距离为d＝， 由＝2得，b＝6或－(舍去)．
553
∴当1－a≥6即a≤－5时，f(x)≤g(x)．
6.解 x
2
＋ax－2a
2
＝(x＋2a)(x－a)<0. |x＋1|<3?Q＝{x|－4当－2a0时，P＝{x|－2a

高中数学解题思想与方法一（数形结合）
－2a≥－4，
?
?
∵P?Q，∴
?
a≤2，
解得0?
?
a>0.


当－2a＝a，即a＝0时，P＝?，P?Q. 当－2a>a，即a<0时，P＝{x|aa≥－4，
?
?
∵P?Q，∴
?
－2a≤2，
?
?
a<0，

解得－1≤a<0 综上可得－1≤a≤2.
题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题
7. 答案 C解析 如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则CA＝a－c，
CB＝b－c.由题意知CA⊥CB，∴O、A、C、B四点共圆．∴当OC为圆的
直径时，|c|最大，此时，|OC|＝2.
?
?
x＋2y－1＝0，
8..答案 C解析 如图，由
?
得A(3，－1)．
?
3x＋y－8＝0
?
1
此时直线OM的斜 率最小，且为－.
3
→→→→
→→→
→

9..答案 D
解析 因为a>0，所以二次函数f(x)的图象开口向上．
又f(0)＝－1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内，
a>0，
?
?
则有
?
f?1?<0，
?
?
f?2?>0，

a>0，
?
?
即
?
a＋b－1<0，
?
?
4a＋2b－1>0.

如图所示的阴影部分是上述不等
式组所确 定的平面区域，式子
b
表示平面区域内的点P(a，b)与点Q(－1,0)连线的斜率． < br>a＋1
1－0
而直线QA的斜率k＝＝1，直线4a＋2b－1＝0的斜率为－2，显然 不等式组所表示
0－?－1?
的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为(－ 2,1)．故选D.
10.答案 B解析 画出可行域如图，所求的x
2
＋y
2
－6x＋9＝(x－3)
2
＋y
2
是点Q(3,0)到可行域上 的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线
x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，最大值为| QA|
2
＝16.
?
|3－0－1|
?
222
∵ d＝
?
22
?
＝(2)＝2. ∴取值范围是[2,16]．
?
1＋?－1?
?
题型四 数形结合解几何问题
11．答案 A解析 设P(x,0)，设C
1
(2,3)关于 x轴的对称点为C
1
′(2，－3)，那么|PC
1
|＋|PC
2< br>|
＝|PC
1
′|＋|PC
2
|≥|C
1
′ C
2
|＝?2－3?
2
＋?－3－4?
2
＝52.而|PM |＝|PC
1
|－1，|PN|＝|PC
2
|－3，
∴|PM|＋|PN|＝|PC
1
|＋|PC
2
|－4≥52－4.
12.答案 A解析 定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，
动点P到抛物线 焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到
点Q的距离和点P到抛物线的准线距离之和最小时 ，求点P的坐标，显
然点P是直线y＝－1和抛物线y
2
＝4x的交点时，两距离之和 取最小值，

高中数学解题思想与方法一（数形结合）
1
解得这个点的坐标是(，－1)．
4
13. 解 从运动的观点看问题， 当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处
11
运动时，直角三角形PAC 的面积S
Rt
△
PAC
＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S< br>四边形
PACB
也越来
22
越大；当点P从左上、右下两个方向向中间 运动时，S
四边形
PACB
变小，显然，当点P到达一
个最特殊的位置，即C P垂直直线l时，S
四边形
PACB
应有唯一的最小值，此时|PC|＝
|3 ×1＋4×1＋8|
1
22
＝3，从而|PA|＝|PC|－|AC|＝22. ∴(S) ＝2×
四边形
PACBmin
2
3
2
＋4
2
×|PA|×|AC|＝22.
14.已知函数f(x)＝x
3
－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得
极值，直线y＝m与y＝f(x) 的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x
2
－3a＝3(x
2
－a)， 当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞) ；当a>0时，由f′(x)>0，解
得x<－a或x>a，由f′(x)<0，解得－a0时，f(x)的单
调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间为(－a，a)．
∴f(x)＝x
3
－(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3× (－1)
2
－3a＝0，∴a＝1.
3x－1， f′(x)＝3x2
－3，由f′(x)＝0，解得x
1
＝－1，x
2
＝1. < br>由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极 小值f(1)
＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
结合如图所示f(x)的图象可知：m的取值范围是(－3,1)．
15.解 方法一(1)设x＝cos θ，y＝sin θ，则由题设知，直线l：3x＋y＋a＝0与圆x
2< br>＋y
2
＝1
有两个不同的交点A(cos α，sin α)和B(cos β，sin β)． 所以原点O到直线l的距离小于半径
|
0＋0＋a
|
| a|
1，即d＝＝＜1，∴－2＜a＜2. 又∵α、β∈(0,2π)，且α≠β.
?3?
2
＋1
2
2
∴直线l不过点(1,0)，即3＋a≠0. ∴a≠－3，即a∈(－2，－3)∪(－3，2)．
α－β
(2)如图，不妨设∠xOA＝α，∠xOB＝－β，作OH⊥AB，垂足为H，则∠BOH＝.
2< br>α＋βα＋β
3
∵OH⊥AB，∴k
AB
·k
OH
＝ －1.∴tan ＝.又∵∈(0,2π)，
232
π7π
∴α＋β＝或α＋β＝.
33
π
a
π
方法二 (1)原方程可化为sin (θ＋)＝－，作出函数y＝sin (x＋)(x∈(0,2π))的
323
图象． 由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件
a
－1＜－＜1
2
是
，
a3
－≠
22
?
?
?


即－2＜a＜－3或－3＜a＜2.
aa
π
3
(2)由图知：当－ 3＜a＜2，即－∈
?
－1，
?
时，直线y＝－与三角函数y＝sin(x＋ )的
2
?
23
2
?

高中数学解题思想与方法 一（数形结合）
α＋β
7π7π7π
图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为，∴＝，∴α＋β＝.
6263
aa
π
3
当－2＜a＜－3，即－∈
?
， 1
?
时，直线y＝－与三角函数y＝sin(x＋)的图象有两交点
2
?2
23
?
α＋β
ππ
A、B， 由对称性知，＝，∴α＋β＝，
263
π7π
综上所述，α＋β＝或α＋β＝.
33