《独立性检验》教案)

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《独立性检验》教案
一、教学目标
1、知识与技能：
通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想 ，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性
检验的基本步骤，并能利用独立性检验的基本思想来解 决实际问题.
2、过程与方法：
通过探究“吸烟是否与患肺 癌有关系”引出独立性检验的问题。通过列联表、等高条形图,使学生直
观感觉到吸烟和患肺癌可能有关 系.这一直觉来自于观测数据，即样本.问题是这种来自于样本的印象能够
在多大程度上代表总体？这节 课就是为了解决这个问题，让学生亲身体验直观感受的基础上，提高学生的
数据分析能力.
3、情感态度价值观：
通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系。以科学的态度评价两 个分类变量有关系的可能性。
培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。对问题的自主探究，提高学 生独立思考问题的能力；让学
生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科 学的严谨性。教学中适当地利
用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性。
二、教学重点
理解独立性检验的基本思想及实施步骤.
三、教学难点
1.了解独立性检验的基本思想；
2.了解随机变量K2的含义，K2的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的。
四、教学方法
以“问题串”的形式，层层设疑，诱思探究。用“讲授法”，循序渐进，引导学 生，步步为营，螺蜁
上升探究本节课的知识内容.
五、教学过程设计

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教
学
环
节
创
设
情
景
、
引
入
新
课
教 学 内 容
师生
互动
设计
意图
好的课
堂情景
引入，
能激发
学生求
知欲，
是新问
题能够
顺利解
决的前
提条件
之一.


从实际
问题出
发引入
概念，
提出问
题 有利
明白我
们要学
习这节
课的必
要性。。



课下预习，搜集有关分类变量有无关系的一些实例。

情境引入、提出问题：1、吸烟与患肺癌有关系吗？
2、你有多大程度把握吸烟与患肺癌有关？

组织引
导学生
课下预
习问题
背景，
初步明
确定要
解决
“吸烟
与患肺癌”之
间的关
系问题.

初
步
探
索
、
展
示
内
涵

变量有定量变量、分类变量，定量变量—回归分析;分类变量
—独立性检验，引出课题。

问题1、我们在研究“吸烟与患肺癌的关系”时，需要关注哪一些
量呢？

列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般我们只研
究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2*2列联表 . 如
吸烟与患肺癌的列联表：


1，教师
通过举
例，引< br>入分类
变量这
个新概
念.引出
组织学
生填表
讨论问< br>题，初
步得到
问题的
结论.
课题2，于学生

不吸烟
吸 烟
总 计
不患肺癌
7775
2099
9874
患肺癌
42
49
91
总计
7817
2148
9965

问题2：由以 上列联表，我们估计吸烟是否对患肺癌有影响？①在
不吸烟者中患肺癌的比例为________；②在 吸烟者中患肺癌的比
例为________.

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教
学
环
节
教 学 内 容
师生
互动
设计
意图
通过层
层设
疑，把
学生推
向问题的中
心，让
学生不
问题3：我们还能够从图形中得到吸烟与患肺癌之间的关系吗？







100%
90 %
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
不吸烟
患肺癌
患肺癌
不患肺癌
等高条形图

吸烟
不患肺癌
教 师
引导
学生
观察
等高
条形
图，寻
找解
小结 ：
根据列联表和等高条形图判断的标准是什么?
思考：
1：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患肺癌有关”的判断?
2：能否用数量刻画出“有关”的程度?
初
步
探
索
、
展
示
内
涵

必修（3）中的“阅读” ：小概率原理
决问
仅仅能
题的
够直观
思路.
感受，
更能培
养学生
具有科
学严谨
的思维
能力.
前置铺垫：
在教师
的引导
下，师
生共同
探讨处
理
题.
问
铺垫理
解
破
原
难
理，突
点，要
对吸烟
与患肺
癌之间
有关系
进行量
化，而
从正面
处理此< br>假设检验的原理与方法
一批产品厂方声称合格率为
99.9%，接受方的检验人员从这< br>批产品中抽出10件，某中有1件
次品，你认为厂方的说法可信
吗？


问题4：我们能够从多大程度上认为吸烟与患肺癌之间有关系呢?
为了解决上述问题，我们先假设
H
0
：吸烟与患肺癌没有关系。
用 A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关
系”等价于“吸烟与患肺癌有独立”，即假设
H
0
等价于
问题，
困难很
大，故
可类比
反证法
来解决
P(AB)?P(A)P(B)

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教
学
环
节

教 学 内 容
师生
互动
设计
意图

提出假
设，然
后再利
用我们
所学的
概率公
式对吸
烟与患
肺癌之
间关系
强弱做
出初步
判断。
符合学
生的认
知规
律,提
高了他
们的思
维能
力,体
现了特
殊到一
般的 思
维方
法.解
读临界
值表，
为独立
初
步
探
索
、
展
示
内
涵


引导学
不患肺癌 患肺癌 总计
生依托
a

不吸烟
b

a?b

假设，
c

吸烟
d

c?d

利用独
a?c

总计
b?d

a?b?c?d

立性事
由表可知 ，
a
恰好为事件
AB
发生的频数；
a?b
和
a?c
恰
件的概
好分别为事件
A
和事件
B
发生的频数，由 于频率近似于概率，所
率公
式，从
以在
H
0
成立的条件下应 该有
列联表
中，推
aa?ba?c
导出判
??(其中n?a?b? c?d为样本容量）
断吸烟
nnn
与患肺
(a?b?c?d)a?(a?b) (a?c),

癌关系
ad?bc
强弱的
表达
问题①；|ad?bc|
的大小说明什么问题？
式.
通过师
因此
|a d?bc|
越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；
生共同
探讨与
|ad?b c|
越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
交流.
为了使不同样 本容量的数据有统一的评判标准，基于上
问题
①，让
述分析，我们构造一个随机变量
学生知
2
n(ad?bc)
，其中
n?a?b?c?d
为样 本容
道有统
K
2
?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)一评判
量。
标准的
2
问题②：若
H
0
：吸烟 与患肺癌没有关系成立，则
K
应该很小。
必要
性。问
题②说
2
由公式计算得到
K
的观测值为
明观测
值
k
的< br>9965(7775?49?42?2099)
2
意义.
?56.632

k?
7817?2148?9874?91
这个值到底能告诉我们什么呢
p(k≥k
0
)
k
0

p(k≥k
0
)
k
0

0.50 0.40 0.25 0.15
2.072
0.005
7.879
0.10
2.706
0.001
10.828
性检验
规则的
建立做
好铺
垫，突
破难点
0.455 0.708 1.323
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.636
解读临界值表

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教
学
环
节

教 学 内 容
师生
互动
设计
意图
数学来
源于生
活，又< br>服务于
生活。
站在前
人的经
验积累
的大山
上我们会看得
更远.
初
步
探
索
、
展
示
内
涵

教师通
过指导
统计学家经过研究发 现，在
H
0
成立的情况下，
学生自
2
P(K?6.635)?0.010.

主阅读
2
即在
H
0
成立的情况下，
K
的观测值大于6.635的概率 非常
教材，
小，近似于0.010，是一个小概率事件，假设下小概率事件不该发
让学 生
知道判
生。若发生了，就有理由判断
H
0
不成立。
断 是
2
实际上借助于随机变量
K
的观测值
k
，建立了一个判断
H
0
是
否成立
的规
否成立的 规则：
则，以如果
k?6.635
，就判断
H
0
不成立，即吸烟与患肺癌有关 系；
及独立
否则就判断
H
0
成立，即吸烟与患肺癌没有关系.在该规 则下，把
性检验
结论“
H
0
成立”错判成“
H
0< br>不成立”的概率不会超过
的定
义.
P(K
2
?6.635) ?0.010.
，即有
99%
的把握认为
H
0
不成立. < br>独立性检验定义：这种利用随机变量
K
来判断“两个分类变
量有关系”的方法， 称为两个分类变量的独立性检验.

练习：请思考独立性检验基本思想的形成过程，以小
组交流讨论方式，完成如下表。
教师引
导学生
比较反
证法与
独立性
检验基
本思想
的共同
点与差
异.
2
让学 生
对独立
性检验
基本思
想有一
个更加
深入的
理解.

循
序
渐
进
、
延
伸
拓
展









独立检验
备择假设H
1

在H
1
不成立的条件下，即H
0
成立的条件下进行推理
[ 推出有利于H
1
成立的小概率事件（概率不超过
?
的事件）发
生，意 味着H
1
成立的可能性（可能性为（1－
?
））很大]学生填
空.
(推出有利于H
1
成立的小概率事件不发生，接受原假设)学生填
空





教
教 学 内 容
师生 设计

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学
环
节

你能根据上例“吸烟与患肺癌的案例探究”总结

“独立性检验”的具体做法步骤

第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值;

2
第二步：利用公式计算随机变量K的观测值k;

第三步：查对临界值表得出结论.

互动 意图
归
纳
总
结


学生在
教师的
引导
下,进
行小
结.
这样可
帮助学
生自行
构建知
识体
系，理
清知识
脉络，
养 成良
好的学
习习
惯.


数学课
程要讲
逻辑推
理，但
对有些
公式定
理不能
用也不
要求用
高 中知
识作严
论证老
师该怎

反思与补遗

问题1： 2 * 2列联表中的2、3行或第2、3列能交换吗？

问题2：
你能联想随机事件概率的定义来感受卡方统计量

公式的来之不易吗？


问题 3：

你能类比方差公式理解卡方统计量公式结构的合

理之处吗？
反

思

补

遗











方式1 回忆随机事件A：:掷一枚硬币，正面向上，联想其

概率的确定过程。

大量的重复试验，频率在常数0.5附近摆动并趋
于稳定，确定概率。


类比卡方统计量公式
应该是通过大量的观察试验并结合我们现在未

知的理论研究得来的



方式2 类比方差公式的结构特征理解卡方统计量公式
方差公式
1，方差公式中取每个样本数据与样本平均数差取平方，这是
为防止正负抵消，掩盖真相。
2，公式中的1／n主要是协调作用：因样本容量的不同而使
方差的值差异太大，意在取平均。
卡方统计量公式


探究完
学生还
质疑凭
空出一
个K是
怎样构
造出来
的为什
么如此
构造？
卡方统< br>计量公
式真合
2
理吗？ 处理？








适度推
理

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1，ad － bc≈0 而此处取平方是为了公式的结果是正值，与
查对临界值表有关
n
2，公式中的 是因为考虑到抽取
(a?c)(b?d)(a?b)(c?d)

2
样本的不同而K 的值差异太大，这与协调样本容量的大小有关。

a
方式3 通过直接计算或等高条形图发现 和
a?b
c
相差很大，就判断两个分类变量之间有关系。
c?d
数学的
学术形
态


↓


易于接
受的教
育形
态。






acad?bc
??
a?bc?d(a?b)(c?d)




2

2



沟通它们之间的联系，理解卡方公式的合理性

(a?b?c?d)(a?b)(c ?d)
(a?c)(b?d)
n(ad?bc)
K?
(a?b)(c?d)( a?c)(b?d)
作
业
布
置





1. 仔细阅读课本，并体会独立性检验的基本思想

2. 课本97页 习题3.2 1、2题
作业是学生信息
的反馈，能在作
业中发现和弥补
教 学中的不足，
同时注重个体差
异，因材施教.