高中数学知识点精讲精析 同角三角函数的基本关系

1.8 同角三角函数的基本关系
根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义，可得出八个式子．
即
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
tan
?
?cot
?
?1
?
tan
?
?
sin
?
?
?
??
cos
?
22
?
1?tan
?
?sec
?

?
sin
?
?csc
?
?1
?
??
cos
?
?sec
?
?1
?
cot
?
?
cos
?
22
?
?
1?cot
?
?csc
?
?
sin
?
?

同角关系中的“同角 ”二字突出了等式中的同一角，如cos
角，同时该角满足的条件是使等式的两边有意义。
2
aa
2
a
+sin=1中视为同一
444
sinα是 (s inα)
2
的简写，读作“sinα的平方”，不能将sinα写成sinα
2
，前者是α的正
22
弦的平方，后者是α的平方的正弦。
在求值、化简、证明中要注意cosα+sinα =1作为隐蔽条件的使用及“1”的代换。
对公式的使用除正用外，还要会逆用、变形用和活用。例如：cosα=1-sinα，cosα=±
22
22
(sina?cosa)
2
?1
等变形。
1?sina
，sinα·cosα=
2
2
典型例题
例1已知α是第三象限角且tanα＝2，求cosα的值．
分析：本题是1992年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法．
解法 一：（公式法）由tanα＝2知
＝1，∴4cos
2
α＋cos
2
α＝1，cos
2
α＝
sina
=2，sinα＝2cosα，sin
2
α＝4cos
2
α，而sin
2
α＋cos
2
α
cosa
1
．
5
由α在第三象限知cosα＝－
解法二：（锐角示意图法）
5

5

先视α为锐角，作锐角示意图，如图，则cosABC＝
5

5

∵α是第三象限角，∴cosα＝－
5
．
5
当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？
例2已知sinα＝m（|m|<1），求tanα，cosα．
分析：由sinα求cos α，需用公式sin
2
α＋cos
2
α＝1，但cosα取正或取负应根据α 所在象
限来确定，所以需对α分类讨论．
解：（1）当－122
若α在第一、四象限，则cosα＝
1?sin
?
?1?m
，
m1?m
2
sina
m
tanα＝＝=；
2
2< br>cosa
1?m
1?m
若α在第二、三象限，则cosα＝－
1?m< br>，
2
m1?m
2
sina
tanα＝= -．
2
cosa
1?m
（2）若m＝0，则α＝kπ（k∈Z），
∴tanα＝0，cosα＝±1．
点评：当已知角α的一个三角函数值为字母时，应对α分类讨论．
4
例3已知tanα＝－
3
，求下列各式的值：
（1）
2 cosa?3sina
；（2）2sin
2
α＋sinαcosα－3cos
2
α．
3cosa?sina
分析：根据题目的条件，可将欲求值的式用tanα来表达．
4
2?3?(?)
2?3tana
3
=-
6
． 解 ：（1）原式＝=
4
3?tana5
3?(?)
3
2sin
2
a?sinacosa?3cos
2
a2tan
2
a?tana? 3
（1） 原式＝＝
sin
2
a?cos
2
atan2
a?1
44
2?(?)
2
?(?)?3
7
3 3
＝=
?
．
4
2
25
(?)?1
3点评：本例的解法，体现了一种转化与化归的数学思想方法，把含有正弦、余弦的分式
和齐次式转化 为只含有正切的式子是常用的三角变换技巧．