2018年江苏高考数学考试说明(含最新试题)

2018年江苏省高考说明－数学科
一、命题指导思想
2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将
依据《普通高中数学课程标准（实验）》 ，参照《普通高等学校招生全国统一
考试大纲》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于 科学选
拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基
础知识和方法 ，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持
较高的信度、效度以及必要的区分度和适当 的难度.
1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
对数学基础知识和基 本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突
出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有 较大的比例.注重知
识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的
数学思想方法的考查.
2．重视数学基本能力和综合能力的考查
数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数
据处理这几方面的能力.
（1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平
面直观图形，能够根 据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图
形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进 行分解和组合.
（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新
的判断.
（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确
的数学命题，运用归纳、类比 和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.
（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则 、公式进行运算及变形；
能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.
（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据 进行整
理、分析，以解决给定的实际问题.
第1页 共25页

数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要
求能够综合地运用有关的 知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.
3．注重数学的应用意识和创新意识的考查
数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，
构造适合的数学模型， 将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.
创新意识的考查要求是：能够发现问题、提 出问题，综合与灵活地运用
所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.
二、考试内容及要求
数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试< br>题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这
两部分作答.必做题部 分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；
附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列 1）中的内容以及选修
系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系
与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中
两个专题）.
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别
用A、B、C表示）.
了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的
简单问题.
理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合
性的问题.
掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题.
具体考查要求如下：
1．必做题部分
内 容
集合及其表示
1．集合
子集
第2页 共25页
要 求
A B C
√


√

交集、并集、补集
函数的概念
函数的基本性质
指数与对数
2．函数概念
指数函数的图象与性质
与基本初
等函数Ⅰ
对数函数的图象与性质


幂函数
函数与方程
函数模型及其应用
三角函数的概念
3．基本初等
函数Ⅱ
（三
角函
数）、
三角恒
等
变换
同角三角函数的基本关系式

√


√


√


√


√


√

√


√


√


√


√


正弦函数、余弦函数的诱导公式 √

正弦函数、余弦函数、正切函数
√
的图象与性质
√
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象与性质


两角和（差）的正弦、余弦及正 √
切
第3页 共25页

二倍角的正弦、余弦及正切 √

4．解三角形 正弦定理、余弦定理及其应用
平面向量的概念

√


√

平面向量的加法、减法及数乘运
√
算
平面向量的坐标表示
5．平面向量
平面向量的数量积
平面向量的平行与垂直
平面向量的应用
数列的概念
6．数列 等差数列
等比数列
基本不等式
7．不等式 一元二次不等式
线性规划
8．复数 复数的概念
第4页 共25页

√

√


√

√

√

√

√

√

√

√


√

复数的四则运算
复数的几何意义
导数的概念
导数的几何意义
9．导数及其
导数的运算
应用

√

√

√


√


√

利用导数研究函数的单调性与
√
极值
导数在实际问题中的应用
算法的含义
10．算法初
流程图
步
基本算法语句
命题的四种形式

√

√

√

√

√

充分条件、必要条件、充分必要
√

11．常用逻
条件
辑用语
√
简单的逻辑联结词

全称量词与存在量词
12．推理与
合情推理与演绎推理
证明
第5页 共25页
√


√

分析法与综合法
反证法
抽样方法
总体分布的估计
总体特征数的估计
13．概率、随机事件与概率
统计
古典概型
几何概型
√

√

√

√


√

√


√

√

√




互斥事件及其发生的概率
√
柱、锥、台、球及其简单组合体

14．空间几
何体
√
柱、锥、台、球的表面积和体积

15．点、线、
面 直线与平面平行、垂直的判定及
之间的位置性质
关系
两平面平行、垂直的判定及性质
16．平面解直线的斜率和倾斜角
第6页 共25页
平面及其基本性质
√


√


√

√

析
几何初
直线方程
步

√


直线的平行关系与垂直关系 √

两条直线的交点

√


两点间的距离、点到直线的距离 √

圆的标准方程与一般方程
√


直线与圆、圆与圆的位置关系 √

中心在坐标原点的椭圆的标准
√
方程与几何性质
17．圆锥曲
中心在坐标原点的双曲线的标√
线
准方程与几何性质
与方程
顶点在坐标原点的抛物线的标√
准方程与几何性质

2．附加题部分
内 容
要 求
A B C
√

的不
内
含
1．圆锥曲
容
选
选
线
修
修
与方程
系
系
列
列
2．空间向
1
中
：
量


曲线与方程
顶点在坐标原点的抛物线的
√

标准

方程与几何性质
空间向量的概念
第7页 共25页
√

与立体空间向量共线、共面的充分必 √
几何 要条件
空间向量的加法、减法 √
及数乘运算
空间向量的坐标表示
空间向量的数量积
空间向量的共线与垂直
√

√

√

直线的方向向量与平面的法 √
向量
空间向量的应用
3．导数及
简单的复合函数的导数
其应用
数学归纳法的原理
4．推理与
证明
数学归纳法的简单应用
加法原理与乘法原理
5．计数原排列与组合
理
二项式定理
√

√
√

√

√

√

√

离散型随机变量及其分布列 √

6．概率、
统计
超几何分布 √

第8页 共25页

条件概率及相互独立事件
n
次独立重复试验的模型及二
√

√

√
项分布
离散型随机变量的均值与方

差















4
相似三角形的判定与性质定 √
理
射影定理 √


圆的切线的判定与性质定理 √
7．几何证

明
圆周角定理，弦切角定理 √
选讲
选

修
相交弦定理、割线定理、切割 √
系
线定理
列
4
圆内接四边形的判定与性质 √
中
定理
个
专
题























矩阵的概念
二阶矩阵与平面向量
常见的平面变换
√


√


√


8．矩阵与
变换
矩阵的复合与矩阵的乘法 √

二阶逆矩阵 √

二阶矩阵的特征值与特征向 √
量
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二阶矩阵的简单应用
坐标系的有关概念
简单图形的极坐标方程
√

√


√


极坐标方程与直角坐标方程 √
的互化
9.坐标系与 参数方程
参数方程
√

直线、圆及椭圆的参数方程 √

参数方程与普通方程的互化 √

参数方程的简单应用
不等式的基本性质
√

√

含有绝对值的不等式的求解 √


10．不等式
不等式的证明（比较法、综合
选讲
法、分析法）
√
算术-几何平均不等式与柯西√
不等式
利用不等式求最大（小）值
运用数学归纳法证明不等式
三、考试形式及试卷结构


√
√
（一）考试形式
闭卷、笔试，试题 分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，
考试时间120分钟；附加题部分满分为40分 ，考试时间30分钟.
第10页 共25页

（二）考试题型
1．必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题
14小题，约占70分 ；解答题6小题，约占90分.
2．附加题 附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题 2小题，
考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容；选做题共4小题，依次考查
选修系列4 中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2
个小题作答.
填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，
不必写出计算和推理过程；解答 题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（三）试题难易比例
必做题部分由容易 题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试
卷中的比例大致为4：4：2.
附加 题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试
卷中的比例大致为5：4：1.
四、典型题示例
A.必做题部分
1. 设复数
i
满足
( 3?4i)z?|4?3i|
（i是虚数单位），则
z
的虚部为_____
【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题.
【答案】
4

5
2. 设集合
A?
{1,2},< br>B?
{
a
,
a
2
?
3},
若A?B ?
{1}
，则实数
a
的值为_
【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题.
开始
【答案】1.
3. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．
k←1
【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识，
N
2
－5k+4>0
k←k +1
k
本题属容易题.
Y
【答案】5
输出k

4. 函数
f(x)?
ln(x?1)
的定义域为
结束


x?1
【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题.
【答案】
(?1,1)?(1,??)

第11页 共25页

5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中
随机抽取了
100
根棉花纤维的长度（棉花纤
维的长度是棉花质量的重要指标），所得数
据均在区间
[5,40]
中，其频率分布直方图
如图所示，则在抽测的
100
根中，有_ _根
棉花纤维的长度小于
20mm
.
【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题.
【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于
20mm
的频率为
0. 04?5?0.01?5?0.01?5?0.3
,故频数为
0.3?100?30
.
6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个
点的正方体玩 具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是
______.
【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本
题属容易题.
【答案】
5

6
7. 已知函数
y?cosx与y?sin (2x?
?
)(0?x?
?
)
，它们的图像有一
个横坐标为
?
的交点，则
?
的值是________.
3
【解析】本 题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、
余弦函数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想， 考察分析问题、
解决问题的能力.本题属容易题.
【答案】
?
.
6
8.在各项均为正数的等比数列
?
a
n
?
中，若
a
2
?1,a
8
?a
6
?a
4
,则a6
的值是______.
【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.
本题属容易题.
【答案】4.
x
2
9.在平面直角坐标系
xOy
中，双曲 线
?y
2
?
1
的右准线与它的两条渐近线分别
3
交 于
P,Q
，其焦点是
F
1
，
F
2
，则四边 形
F
1
PF
2
Q
的面积是______.
【解析 】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线
方程、焦点、焦距和直线与直线的交 点等基础知识.本题属中等难度题.
第12页 共25页

【答案】
23

10.如图，在长方体
ABCD?ABCD
中，
AB?AD?3cm
，
3
AA?2cm
，则四棱锥
A?BBDD
的体积为 cm
．
【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象
能力
和运算能力.本题属容易题.
【答案】6.
1111
111
D
1

A
1

D
A B
C
1

B
1

C
11 .设直线
y?
1
x?b
2
是曲线
y?lnx(x?0)的一条切线，则实数
b
的值
是 .
【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题.
【答案】
ln2?1
.
12.设
f(x)
是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
[?1,1)
上，
x?a
,?1? x?0,
?
59
?
2
其中
f(x)?
?
a ?R
.若
f(?)?f()
，则
f(5a)
的值是 .
|?x|
,0?x?1,
22
?
?
5
【解析】 本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解
能力.本题属中等难度题.
【答案】
?
2

5

13.如图，在
?A BC
中，D是BC的中点，E，F是AD上的
两个三等分点，
BA?CA?4
，
BF?CF??1
，则
BE?CE
的值
是 .
【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算
以及平面向量的数量积等基础知识，考 查数形结合和等价
转化的思想，考查运算求解能力.本题属难题.
【答案】
7
.
8
b
14. 已知正数
a，b，c
满足：
5c?3a
≤b≤4c?a
，

clnb
≥a?clnc
，
则的取值范围是 ．
a
【解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的基
础知识解决问题的能力.本 题属难题.
【答案】
[e,7]

第13页 共25页

二、解答题
15．在
?ABC
中，角
A ,B,C的对边分别为a,b,c
.已知
a?3，b?26，B?2A.

（1）求
cosA
值；
（2）求
c
的值.
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解
能力.
本题属容易题.
【参考答案】
（1）在
?ABC
中，因为
a?3，b?26，B?2A
，
故由正弦定理得
所以
cosA?
326
?，于是
2sinAcosA
?
26
sinAsin2AsinA3
.
6
.
3
(2)由(1)得
cosA?
3
6
.所以
sinA?1?cos
2
A?
3
.
3又因为
B?2A
，所以
cosB?cos2A?2cos
2
?1 ?
1
.
3
从而
sinB?1?cos
2
B?
22
.
3
在
?ABC中，因为A?B?C?
?
，
所以
s inC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?
5
因此由正弦定理得c?
asinC
?
5
.
sinA
3
9
.
16．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD ，BC⊥BD，
平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）
分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的
位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．
本题属容易题
第14页 共25页

【参考答案】
证明：（1）在平面
ABD
内，因 为AB⊥AD，
EF?AD
，所以
EF∥AB
.
又因为
E F?
平面ABC，
AB?
平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面
ABDI
平面BCD=BD，
BC?
平面BCD，
BC?BD
，
所以
BC?
平面
ABD
.
因为
AD?
平 面
ABD
，所以
BC?
AD
.
又AB⊥AD，
B CIAB?B
，
AB?
平面ABC，
BC?
平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC
?
平面ABC，
所以AD⊥AC.
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
x
2y
2
E:
2
+
2
=1(a＞b＞0)
的左、右 焦点分别为
ab
F
1
，F
2
，离心率
为
1
，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于
2
第一象限，过点F
1< br>作直线PF
1
的垂线l
1
,过点F
2
作直线PF2
的垂线l
2
.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l
1
，l
2
的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标. < br>【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭
圆的几何性质等基础知 识， 考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中
等难度题.
第15页 共25页

【参考答案】（1）设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E
1
的离心率为
2
，两准线之间的距离为
c1
2a
2
?8
，
8，所以
a
?
2
，
c
解得a?2,c?1
，于是
b?
因此椭圆E
a
2
?c
2
?3
，
x
2
y
2
的标准方程是
??1
.
43< br>（2）由（1）知，
F
1
(?1,0)
，
F
2
(1,0)
.
设
P(x
0
,y
0
)
， 因为点
P
为第一象限的点，故
x
0
?0,y
0
?0
.
当
x
0
?1
时，
l
2
与l
1
相交于
F
1
，与题设不符.
当
x
0
?1
时，直线
PF
1
的斜率为
y
0
y
0
PF
x
0
?1
，直线
2
的斜率为
x
0
?1
.
?x
0
?1x
0
?1?
l
y
0
，直线
2
的斜率为
y
0， 因为
l
1
⊥PF
1
，
l
2
⊥PF
2
，所以直线
l
1
的斜率为
从而直线
l
1
的方程：
y??
直线
l
2
的方程：
y??
x
0
?1
(x?1)
， ①
y
0
x
0
?1
(x?1)
. ②
y0
2
1?x
0
，所以
Q(?x
0
,
y
)
.
0
2
1?x
0
由①②，解得
x?? x
0
,y?
y
0
2
1?x
0
因为点
Q
在椭圆上，由对称性，得
y
??y
0
，即
x
0
2
?y
0
2
?1
或
x
0
2
?y
0
2
?1
.
0
22
x
0
y
0
上，故
??1
.
43
又
P
在椭圆E
2222
?
x
0
?
x
0
?y
0
?1?y
0
?1
??4737
,y
0
?
由
?
x
0
2
y
0
2
，解得
x
0
?
；
?
x< br>0
2
y
0
2
，无解.
77
?1?1
?
?
?
?
33
?
4
?
4
因此点 P的坐标为
(
4737
,)
.
77
18. 如图：为保护河上古桥
OA
，规划建一座新桥
BC
，
第16页 共25页

同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥
BC
与河岸
AB
垂直；保护区的边
界为圆心
M
在线段
OA
上并与
BC
相切的圆，且古桥两端
O
和
A
到该圆上任一点
的距离均不少于80
m
，经测量，点
A
位于点
O
正 北方向60
m
处，点
C
位于点
O
正东方向170
m
处，（
OC
为河岸），
tan?BCO?
4
.
3
（1）求新桥
BC
的长；
（2）当
OM
多长时，圆形保护区的面积最大？
【解析】本小题主要考查直 线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础
知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的 能力..
【参考答案】
解法一：
(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系
xOy.
由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，
直线BC的斜率k
BC
=－tan∠BCO=－
4
.
3
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k
AB
=
3
.
4
设点B的坐标为(a,b)，则k
BC
=
b?04b?603
??,
k
AB
=
?,

a?1703a?04
解得a=80，b=120. 所以BC=
(170?80)< br>2
?(0?120)
2
?150
.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).
由条件知，直线BC的方程为
y??
4
(x?17 0)
，即
4x?3y?680?0

3
由于圆M与直线BC相切，故 点M(0，d)到直线BC的距离是r，即
r?
|3d?680|680?3d
?55
.
80 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于
m,
?< br>680?3d
?d≥80
?
?
r?d≥80
?
5所以
?
即
?
解得
680?3d
r?(60?d)≥80
?
?
?(60?d)≥80
?
5
?
10≤d≤35

第17页 共25页

故当d=10时,
r?
680?3d
最大，即圆面积最大.
5
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.
因为tan∠BCO=
4
.所以sin∠FCO=
4
，cos∠FCO=
3
.
35
5
因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=
680
.
3
CF=
OC
?
85 0
,从而
AF?OF?OA?
500
.
cos?FCO33
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==
4
，
5
又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==
400
，从而
3
BC=CF－
BF=150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且
MD是圆M的半
径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO =
MD
?
MF
680?3d
MDr3
??,
所以< br>r?
5
OF?OM
680
?d
5
3
.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
?
680?3d
? d≥80
?
?
r?d≥80
?
所以
?
即
?
5
解得
10≤d≤35

680?3d
?
r?(6 0?d)≥80
?
?(60?d)≥80
?
5
?
故当d=1 0时,
r?
680?3d
最大，即圆面积最大.
5
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
19. 设函数
f
(
x
)? ln
x
?
ax
,
g
(
x
)?
e< br>x
?
ax
，其中
a
为实数.
（1）若
f( x)
在
(1,??)
上是单调减函数，且
g(x)
在
(1, ??)
上有最小值，求
a
的取值
范围；
（2）若
g(x)
在
(?1,??)
上是单调增函数，试求
f(x)
的零点个数，并证 明你的结
论.
【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运
第18页 共25页

用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本
题属难题． 【参考答案】解：(1)令f′(x)＝
1
?a?
1?ax
＜0，考虑到 f(x)的定义域为(0，
xx
＋∞)，故a＞0，进而解得x＞a
－1
，即 f(x)在(a
－1
，＋∞)上是单调减函数．同
理，f(x)在(0，a
－ 1
)上是单调增函数．由于f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，
故(1，＋∞)
?
(a
－1
，＋∞)，从而a
－1
≤1，即a≥1.令g′(x)＝ e
x
－a＝0，
得x＝ln a．当x＜ln a时，g′(x)＜0；当x＞ln a时，g′(x)＞0.又g(x)
在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.
综上，有a∈(e，＋∞)．
(2)当a≤0时，g(x)必为单调增函数；当a＞0时，令 g′(x)＝e
x
－a＞0，
解得a＜e
x
，即x＞ln a.
因为g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e
－1
.
结合上述两种情况，有a≤e
－1
.
①当a＝0时，由f(1)＝0以及f ′(x)＝
1
＞0，得f(x)存在唯一的零点；
x
②当a＜0时，由于f (e
a
)＝a－ae
a
＝a(1－e
a
)＜0，f(1)＝ －a＞0，且函
数f(x)在[e
a,
1]上的图象不间断，所以f(x)在(ea,
1)上存在零点．
另外，当x＞0时，f′(x)＝
1
－a＞0， 故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函
x
数，所以f(x)只有一个零点．
③当0 ＜a≤e
－1
时，令f′(x)＝
1
－a＝0，解得x＝a
－1.当0＜x＜a
－1
x
时，f′(x)＞0，当x＞a
－1
时， f′(x)＜0，所以，x＝a
－1
是f(x)的最大值
点，且最大值为f(a
－1
)＝－ln a－1.
当－ln a－1＝0，即a＝e
－1
时，f(x)有一个零点x＝e.
当－ln a－1＞0，即0＜a＜e
－1
时，f(x)有两个零点．
实际上，对于0＜a＜e
－1
，由于f(e
－1
)＝－1－ae
－1
＜0，f(a< br>－1
)＞0，且
函数f(x)在[e
－1
，a
－1
] 上的图象不间断，所以f(x)在(e
－1
，a
－1
)上存在零点．
另外，当x∈(0，a
－1
)时，f′(x)＝
1
－a＞0，故f(x)在 (0，a
－1
)上是单调
x
增函数，所以f(x)在(0，a
－1< br>)上只有一个零点．
下面考虑f(x)在(a
－1
，＋∞)上的情况．先证f (e
a－1
)＝a(a
－2
－e
a－1
)＜0.
第19页 共25页

为此，我们要证明：当x＞e时，e
x
＞x
2
.设h(x)＝e
x
－x
2
，则h′(x )＝e
x
－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e
x
－2x，则l′(x)＝ e
x
－2.
当x＞1时，l′(x)＝e
x
－2＞e－2＞0，所 以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上
是单调增函数．故当x＞2时，
h′(x)＝e
x
－2x＞h′(2)＝e
2
－4＞0，
从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，
h(x)＝e
x< br>－x
2
＞h(e)＝e
e
－e
2
＞0.即当x＞e时 ，e
x
＞x
2
.
当0＜a＜e
－1
，即a
－1
＞e时，f(e
a－1
)＝a
－1
－ae
a－1＝a(a
－2
－e
a－1
)＜0，
又f(a
－1
)＞0，且函数f(x)在
[a
－1
，e
a－1
]上的图象不间 断，所以f(x)在(a
－1
，e
a－1
)上存在零点．又当x
＞a
－1
时，f′(x)＝
1
－a＜0，故f(x)在(a
－1
，＋∞)上是单调减函数，所
x
以f(x)在(a
－1
，＋∞)上只有一个零 点．
综合①，②，③，当a≤0或a＝e
－1
时，f(x)的零点个数为1，
当 0＜a＜e
－1
时，f(x)的零点个数为2.
20. 设数列
{
a
}
的前n项和为
S
．若对任意的正整数n，总存在正整数m，
nn
使得
S
n
?a
m
，则称
{a}
是“H
n
n
数列”．
n
（1）若数列
{
a}
的前n项和
S
n
?2
n
(n?N
?
)
，证明：
{a}
是“H
n
数列”；
数列”，求
（2）设
{
a
}
是等差数列，其首项
a
d的值；
1
?1
，公差
d?0
．若
{a
n
}
是“H
（3）证明：对任意的等差数列
{
a
}
，总存在两个“H数列”{b}
和
{c}
，使
n
n
n
得
an
?b
n
?c
n
(
n?N
?
)
成立．

【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力与
推理论证能力．本题属难题．
【参考答案】
（1）当
n≥2
时，
a?S?S?2?2?2

nn?1n?1
nnn?1
第20页 共25页

当
n?1
时，
a
∴
n?1
时，
S
n
1
?S
1
?2

?a
1
，当
n≥2时，
S
n
?a
n?1

1
∴
{
a
}
是“H数列”
（2）
Sn
?na
1
?
n(n?1)n(n?1)
d?n?d

22
?
对
?
n
?N
，
?m?N
使
S
?
n
?a
m
，即
n?
n(n?1)d?1?(m?1)d

2
1
取
n?2
得
1? d?(m?1)d
，
m?2?
d

∵
d?0
，∴< br>m?2
，又
m
?N
，∴
m?1
，∴
d??1

?
（3）设
{
a
}
的公差为d
n令
b
n
?a
1
?(n?1)a
1
?(2?n) a
1
，对
?n?N
?
，
b
n?1
?bn
??a
1

c
n
?(n?1)(a
1
?d)
，对
?n?N
?
，
c
n?1
?c
n
?a
1
?d

则
b
n
?c
n< br>?a
1
?(n?1)d?a
n
，且
{b
n
} ，{c
n
}
为等差数列
{b
n
}
的前n项和T
n
?na
1
?
n(n?1)n(n?3)
(?a1
)
，令
T
n
?(2?m)a
1
，则
m??2

22
当
n?1
时
m?1
；
当
n?2
时
m?1
；
当
n≥3
时，由于 n与
n?3
奇偶性不同，即
n(n?3)
非负偶数，
m
?N

?
因此对
?n
，都可找到
m
?N
，使< br>T
?
n
?b
m
成立，即
{b
n
}< br>为“H数列”．
{c
n
}
的前ｎ项和
R
n
?
n(n?1)n(n?1)
(a
1
?d)
，令
c
n
?(m?1)(a
1
?d)?R
m
，则
m??1

22
?
∵对
?
n
?N
，
n(n?1)是非负偶数，∴
m?N

?
即对
?
n
?N，都可找到
m?N
，使得
R
??
n
?c
m成立，即
{c
n
}
为“H数列”
因此命题得证.
第21页 共25页

B．附加题部分
1．选修
4?1
几何证明选讲
如图，
AB
是圆
O
的直径，
D
为圆
O
上一点，过点
D
作圆
O
的切线交
AB
的延长线于点
C
,若
DA?DC
,求证:
AB?2BC.

【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、圆的切线性质等,考查推理论证能
力．本题属容易题．
【参考答案】连 结
OD,BD
,因为
AB
是圆
O
的直径，所以
?A DB?90?,AB?2OB
因为
DC
是圆
O
的切线，所以
?CDO?90?
,又因为
DA?DC.
所以
?A??C.
于是?ADB
≌
?CDO.
从而
AB?CO.
即
2OB?O B?BC.
得
OB?BC.
故
AB?2BC.

2．选修
4?2
矩阵与变换
已知矩阵
A?
?
?< br>?10
??
12
?
，，求
A
?1
B
．
B?
???
?
02
??
06
?
【解析 】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容
易题．
【参考答案】 < br>设
A
的逆矩阵为
?
?
ab
??
?10
??
ab
??
10
??
?a?b
??
1
，则，即
??
??????????
?
cd
??
02
??
cd
??
01
??
2c2d
??
0
?
?10
??
?1
1
?
，
A
?1
B?
?
c?0
，
d?
，从而
A
的逆矩阵为
A
?1
?
?
所以，
1
?
0
??
0
2
?2??
?
4
0
?
b?0
，，故
a??1
，
?
1
?
0
?
?
12
??
?1?2
?
?
?
?
．
1
?
???
?
06
??
03
?
2?
3．选修
4 ?4
坐标系与参数方程
在极坐标中，已知圆
C
经过点
P
?
2，
?
，圆心为直线
?
sin
?
?
??
?
?
?
3
??
3
?
2
?< br>与极轴的交
点，求圆
C
的极坐标方程．
【解析】本题主要考查直线和 圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的
能力。本题属容易题．
【参考答案】
∵圆
C
圆心为直线
?
sin
?
?
?
??
?
?
3
??
3
?
2
?
与极 轴的交点，
∴在
?
sin
?
?
?
?
?< br>?
?
3
??
?
3
?
2
中令
?
=0
，得
?
?1
。
∴圆
C
的圆心坐标为（1，0）。
第22页 共25页

∵圆
C
经过点
P
?
2，
?
4
?
，∴圆
C
的半径为
PC?
??
2< br>2
?1
2
?2?1?2cos
?
4
=1
。
∴圆
C
经过极点。∴圆
C
的极坐标方程为
?
=2c os
?
。
4．选修
4?5
不等式选讲
已知
a, b
是非负实数，求证：
a
3
?
b
3
?
ab
(
a
2
?
b
2
)?

【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力，本题属
容易题．
【参考答案】
由
a,b
是非负实数，作差得
a
3
?b
3
?ab(a
2
?b
2
)?a
2
a (a?b)?b
2
b(b?a
?(a?b)((a)?(b))
55

当
a?b
时，
a?b,
从而
(
a
)
5
?
(
b
)
5
,
得
(a?b)((a)
5
?(b)
5
)?0

当
a?b
时，a?b
,从而
(
a
)
5
?
(
b
)
5
,
得
(a?b)((a)
s
?(b)
5)?0.

所以
a
3
?b
3
?ab
(
a
2
?b
2
).

5. 如图，在正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
?2,AB?1
，点
N
是
BC
的中点， 点
M
在
CC
1
上，设二面角
A
1
?DN? M
的大小为
?
.
（1）当
?
?90
0
时，求
AM
的长；
（2）当
cos
?
?
6
6
时，求
CM
的长 。
【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间
向量解决问题的能力．本题属中等题．
【参考答案】
建立如图所示的空间直角坐标系
D?xyz
。
1
?t(0?t?2 )
，则各点的坐标为
A(1,0,0),A
1
(1,0,2),N(
,1,0),
M
(0,1,
t
)

2
所以
DN
?(
1
,1,0)
，
DM?(0,1,t),
DA1
?(1,0,2)
.设平面
DMN
的法向量为
2
设
CM
n
1
?(x
1
,y
1
,z
1
)
，则
n
1
?DN?0,n
1
?DM?0
,
即
x
1
?
2
y
1
?
0,y
1
?tz
1
?
0
，令
z
1
?1
,则
y
1
??t,x
1
?2t.

所 以
n
1
?
(2
t
,
?t
,1)
是 平面
DMN
的一个法向量.
设平面
A
1
DN
的法 向量为
n
2
?
(
x
2
,
y
2,
z
2
)
,则
n
2
?DA
1
?0,n
2
?DN?0

即
x
2
?
2z
2
?
0,
x
2
?
2
y
2< br>?
0
,令
z
2
?1
,则
x
2
??2,y
2
?1

第23页 共25页

所以
n
2
?
(
?
2,1,1)
是平面
A
1
DN
的一个法向量,从而
n
1
?n
2
??
5
t?
1

(1)因为
?
?90
?< br>,所以
n
1
?n
2
??5t?1?0
解得
t ?
1
,从而
M(0,1,
1
)

55
所以
AM
151
?
1
2
?
1
2
?()
??

55
5t
2
?1,
|n
2
|?6

n
1
?n
2
|n
1
||n
2
|
(2)因为
|
n
1
|
?
所以
cos?n
1
,n
2
??
?
?5t?1
65t?1
2

??
6
6
因为
?
n
1
,n
2??
?
或
?
?
?
,所以
?5t?1
6 5t
2
?1
根据图形和(1)的结论可知
t?
1
,从而CM
的长为
1
.
22
x
(x?0)
6. 已 知函数
f(x)?
sin
，记
f(x)
为
f
x0
,解得
t?0
或
t?
1
.
2
nn?1
(x)
的导数，
n
?N
?
．
?
?
f
（1）求
2f
?
?
?
22
12
的值；
?
?
2
?
?
（2）证明：对 任意的
n
?N
，等式
nf
n?1
??
?
?
?
f
?
?
2
44
n
42
??成立．
【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳
法等基 础知识。考察探究能力及推理论证能力.本题属难题.
【参考答案】
sinx
?< br>?
cosxsinx
?
(1)解：由已知，得
f
1
( x)?f
0
?
(x)?
?
?
2
,

?
?
xxx
??
cosx
?
?
?
sin x
?
?
sinx2cosx2sinx
?
于是
f
2
(x)?f
1
?
(x)?
?
?????,

??
2
?
23
xxx
?
x
??
x
?
???
所以
f
1
(
?
)??
4
2
,f
2
(
?
)??
2
?
16
故
,2f()?f()??1.

12
2
?
2
??
3
222
(2)证明：由已知，得
xf(x)?sinx,
等式两边 分别对x求导，得
f(x)?xf
?
(x)?cosx
，
)
，类似可得
即
f(x)?xf(x)?cosx?sin(x?
?
2
000
01
2f
1
(x)?xf
2
( x)??sinx?sin(x?
?
)
，
3f
2
(x)? xf
3
(x)??cosx?sin(x?
3
?
)
， 2
4f
3
(x)?xf
4
(x)?sinx?sin(x?2< br>?
)
.
下面用数学归纳法证明等式
nf
n?1
(x )?xf
n
(x)?sin(x?
n
?
)
对所有的
n?N
*
都成立.
2
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
?
)
.
(ii)假设当n=k时等式成立, 即
kf(x)?xf (x)?sin(x?
k
2
k?1k
因为
[kf
k?1?
(x)?xf
k
(x)]
?
?kf
k
??1
(x)?f
k
(x)?xf
k
(x)?(k?1)f
k
(x)?f
k?1
(x),

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(k?1)
?
[sin(x?
k
?
)]
?
?cos(x?
k
?
)?(x?
k
?)
?
?sin[x?]
，
2222
所以
(k?1)f
k
(x)?f
k?1
(x)
?sin[x?
(k?
2
1)
?
]
.
所以当n=k+1时,等式也成立.
?
)
对所有的
n?N
都成立.
综合(i),(ii)可知 等式
nf(x)?xf(x)?sin(x?
n
2
*
n?1n
令
x?
?
，可得
nf
4
n?1
(
?)?
?
f
n
(
?
)?sin(
?
?< br>n
?
)
(
n?N
*
).
44442
所以
nf
n?1
(
?
)?
?
f
n
(
?
)?
2
(
n?N
*
).
44



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