数学解题方法与技巧数学思想方法总结

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数学解题方法技巧
一、换元法
“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，
变繁 为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。
在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新 的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子
如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g (t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元
法或变量代换法。
用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换f(x)=y或x=g(t)。
就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三
角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。
例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定
义 域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角
公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。
换元法 是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等
式的证明， 方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，
以及解析 几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。
例1 分解因式：(x
2
-x-3)(x
2
-x-5)-3
例2 在实数集上解方程：
3
14?x?
3
14?x?4

例3 设sinx+siny=1，求cosx+cosy的取值范围.
x
2
?y
2
?1
，求函数f(x,y)=x
2
+2xy+y
2
+x+ 2y的最小值和最大值。 例4 设x,y∈R，且
4
二、消元法
对于含有 多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通
过适当的变 形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。
消元 法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的
应用。
用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。
例1 解方程组：
45
??1

x?1y?1
x+1=y
x-y-z=6
例2 解方程组： y-z-x=0
z-x-y= -12
例3、设a,b,c均为不等于1的正数，若 a
x
=b
y
=c
z
①

111
???0
②
xyz

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求证： abc=1
三、待定系数法
按照一定规律，先 写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定
的未知系数的值，从 而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，
称为待定系数。
确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。
一、 比较系数法
比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（ 通常
是多元方程组），由此求得待定系数的值。
比较系数法的理论根据，是多项式的 恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等，
即a
0
x
n< br>+a
1
x
n-1
+ …+a
n
≡b
0
x
n
+b
1
x
n-1
+… +b
n
的充分必要条件是 a
0
=b
0
, a
1
=b
1
,…… a
n
=b
n
。
二、 特殊值法
特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两 边数值相等得到关于待定系数的
若干关系式，由此求得待定系数的值。
特殊值法的理 论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替
表达式中的字母， 恒等式左右两边的值总是相等的。
待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项 式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等
式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥 曲线的方程等。
例1
例2
例3
设二次函数的图象通过点A（-1，0），B（7，0），C（3，-8），求此二次函数的解析式。
以x-1的幂表示多项式 x
3
-x
2
+2x+2。
分解因式：6x
2
+xy-2y
2
+x+10y-12.
四、判别式法
实系数一元二次方程
ax
2
+bx+c=0 (a≠0) ①
的判别式△=b
2
-4ac具有以下性质：

＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根
△ ＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根；
＜0，当且仅当方程②没有实数根。
对于二次函数
y=ax
2
+bx+c (a≠0)②
它的判别式△=b
2
-4ac具有以下性质：
＞0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；
△ ＝0，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；
＜0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。
利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求 某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，
证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方 面，都有着广泛的应用。
在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。
例1 已知关于x的二次方程x
2
+px+q=0有两正根
求证：对于一切 实数r≥0，方程qx
2
+(p-2rq)x+1-p=0也必有两正根。
例2、 x,y,z∈R, a∈R
+
，且
x+y+z=a,

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x
2
+y
2
+z
2
=
例3、
1
2
a 试确定x,y,z的取值范围。
2
x?a
已知a,x为实数，|a|<2,求函数 y=f(x)=
2
的最大值与最小值。
x?ax?1

从总体上说 ，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行
微观处理，只有 把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，
获取良好的效果 。
五、 分析法与综合法
分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作
用。
在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原
因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法，后者称为综合法。
具体的说 ，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已
知条件；综合法 则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。
例1：设a,b ∈R
+
，且a≠b，求证：a
3
+b
3
＞a
2b+ab
2
例2：已知A
1
,A
2
,…,A
n
为凸多边形A
1
A
2
…A
n
的内角，且
lgsinA
1
+lgsinA
2
+…+lgsinA
n
=0 ， 试确定凸多边形的形状。
例3：设α，β∈(0,
值范围。
??< br>?
)，x的一元二次方程f(x)=x
2
+4ax+3a+1=0的两个根为t g,tg
22
2
，求a的取
六、 数学模型法
例（哥尼斯堡七桥问 题）18世纪东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格河，这条河有两个支流，在城中心汇
合后流入波罗的海。市内 办有七座各具特色的大桥，连接岛区和两岸。每到傍晚或节假日，许多居
民来这里散步，观赏美丽的风光 。年长日久，有人提出这样的问题：能否从某地出发，经过每一座
桥一次且仅一次，然后返回出发地？
数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，
使实际问题得以解决的一种数学方法。
利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作：
（1） 建模。根据实 际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象
方法。建模的具体过程 ，大体包括以下几个步骤：
1
o
考察实际问题的基本情形。分析问题所及的 量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知
量，哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质 属性，确定问题所及的具体系统。
2
o
分析系统的矛盾关系。从实际问题的 特定关系和具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾，
考察主要因素和量的关系。
3
o
进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达 式去刻
画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学 方法去
表现数学模型。
（2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。
（3） 评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原
来的实际问题中去，形成最终的解答。
例1：把一根直径为的圆木，加工成横截面为矩形的柱子，问何锯法可使废弃的木料最少？

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例2：有一隧道处于交通拥挤、事故易发地段， 为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d正比于车
速v（千米时）的平方与车身长（米）的积，且 车距不得小于半个车身长。假定车身长为l（米），当车速
为60（千米时）时，车距为1.44个车身 长，在交通繁忙时，应规定臬的车速成，可使隧道的车流量最大？
例3、（1998年保送生综合试题 ）渔场中鱼群的最大养殖为m吨。为保证鱼群生长空间，实际养殖量不能
达到最大养殖量，必须留出适当 的空闲量。已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲的乘积成正
比，比例系数为K（K>0）
（1） 写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域。
（2） 求鱼群年增长量的最大值。
例4：某公司有资金100万元，董事会决定全部投资到甲、乙两工厂，投 资甲厂可获得的利润为投资额的
20%；投资乙厂可获得的利润由公式M=
16
x?1 9
(M为利润额，x为投资额，单位均为万元)确定，问
5
公司如何分配100万元资 金投资这两个工厂，使获得利润最大？最大利润是多少？

作业：
1、 设x的二 次方程x
2
-2x+lg(2a
2
-a)=0有一正根和一负根，求a的范围 。
2、（1994年高考题）在测量某物理的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a
1
,a
2
,……, a
n
共n 个数据。我们规定所测物理 量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差
的平方和最小，依此规定，从 a
1
,a
2
, ……a
n
，推出的a的值。
3、 塑料厂销售科计划出售一种塑料鞋，经营人员不是仅仅根据估计的生产成本来确定塑料鞋的销售价 格，
而是通过对经营塑料鞋的零售商进行调查，看看在不同的价格下会进多少货。通过一番调查，确定的
需求关系是p=-750x+15000（p为零售商进货的总数量，x为每双鞋的出厂价）， 并求得 工厂生产塑料
鞋固定成本是7000元，估计生产每双塑料鞋的材料和劳动生产费用为4元，为了获得最 大利润，工厂
应把每双鞋的出厂价定为多少元？
4、建筑一个容积为2400米，深为6米的 长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米粉
的造价为2a元，则如何建造才能使总造价 为最小。
4、 某一信托公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆。经预测，该宾馆建成后，每 年年底可获利600
万元，假设银行每年复利计息，利率为10%。若需要在三年内收回全部投资，每年 至少应该收益多少
万元（结果保留一位小数）？
3
七、试验法
解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决
问题 提供必要的依据。
用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学 知识，恰当选择试验的对象
和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏 ；在实施试验方案时，要讲
究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次 数，尽快找出原题的解答。
任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因 此，要用好试验法，必须勤于观察，
善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。
例1：在正整数集N
+
上解方程：xy+3x-5y=3
例2、已知方程x
2
+(m+1)x+2m-1=0的两个根都是整数，求m的整数值。 例3、求所有的实数k，使得方程kx
2
+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。
八、分类法
分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。

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不少数学问题，在解题过程中，常常需 要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若
干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非 空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类
思想移植到数学中来，用以指导解题的方法 ，通常称为分类或分域法。
用分类法解题，大体包含以下几个步骤：
第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A；
第二步：寻求恰当的分类 根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集A
1
，
A
2
，…A
n
;
第三步：在子集A
1
，A
2
，…A
n
内逐类讨论；
第四步：综合子集内的解答，归纳结论。
以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根 据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依
据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则 ，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的
或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时， 仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活
性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分 类条件。 例1：求方程
lg2x
?2
的实数解，其中
lg(x?a)< br>a
为实参数。
例2：△ABC中，AD⊥BC于点D，M是BC的中点，且∠B=2∠ C。求证：DM=
例3：解方程：2
|x+2|
-|2
x+1
-1| =2
x+1
+1
1
AB
2
九、数形结合法
数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意
义。 理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。
数 和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进
程中， 数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。
数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，
把图 形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简
单化 ，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。
中学数学中，数形结合法包含两 个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，
去处理几何图形问题；二是运用几何 知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法
而论，前者常用的方法有解析法、三 角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。
例：方程sinx=
x
解的个数为
2
A、1 B、2 C、3 D、4
例：已知实数x,y满足3x+4y-1=0，求
(x? 1)
2
?(y?2)
2
的最小值。
例：设x∈R，求
x< br>2
?2x?17?x
2
?8x?80
的最小值。
例：对每个 实数x，记-x,x
2
,x+2三者中的最大者为F(x)，求F(x)及F(x)的最小值。
例：如果方程|x
2
-4x+3|=px有四个不同的实数根，求p的取值范围
十、反证法与同一法
反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。
（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。

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反证法的解题步骤：
第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。
第二步：归谬。由反设和已 知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛
盾结果，通常是指推出的结果与 已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，
以及自相矛盾等各种情形。
第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。
反证法的三个步 骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎逻
辑地进行推导， 才能间接地证出原题。
例1：已知A
1
，A
2
，…A
n< br>是凸n边形的n(n>3)个内角。求证：这n个内角中至多有3个内角是锐角。
例2：设平面α∥平面β，直线l∩平面α=A。求证：直线l与平面β相交。
例3：求证：方程 x=qsinx+a (0十一、同一法
互逆的两个命题未必等效。但是，当一个命题条件和结论都唯一存在， 它们所指的概念是同一概念时，
这个命题和它的逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。
对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，只要它的逆命题正确，
这 个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。
同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题，一般包括下面几个步骤：
第一步：作出符合命题结论的图形。
第二步：证明所作图形符合已知条件。
第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合。
第四步：断定原命题的真实性。
例1：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC
例2：矩形ABC D中，AB=
1
BC，E是AD上一点，且∠DCE=15°。求证：BE=BC作业：
2
+β)=2sinα。求证：α＜β
1、 已知函数f(x)的定义域是[2， 10]，求函数F(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域，其中a>0.
2、 已知α，β∈（0，
?
），且sin(α
2
3、 在梯形ABCD中，E为一 腰BC上的一点，已知△AED的面积是梯形ABCD的面积的一半，求证：
CE=EB