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高中数学解题基本方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 07:11
tags:高中数学思想方法

苏教版高中数学必修2课件-高中数学基础差推荐辅导书

2020年9月19日发(作者:景晓村)



高中数学解题基本方法

一、 配方法
配方法是对数学 式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方
找到已知和未知的联系,从而化繁为简。 何时配方,需要我们适当预测,并且合
理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配 方。有时也将
其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。 它主要适用于:已知
或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2,
将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:



Ⅰ、再现性题组:



Ⅱ、示范性题组:








二、换元法






























三、待定系数法

要确定变量间的函数关系,设 出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未
知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等 ,也就是利用了多项式


f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f( a)g(a);或者两个多项式各
同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知 ,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就
是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系 数,转化为方程组来
解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因
式、拆分分式、数列 求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些
问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以 用待定系数法求解。
使用待定系数法,它解题的基本步骤是:
第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;
第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;
第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。 如何列出一组含
待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析: ①利用对应系数相等列方程;
②由恒等的概念用数值代入法列方程; ③利用定义本身的属性列方程; ④利用
几何条件列方程。


比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法 求方程:首先设所求方程的
形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程 或
方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经
明确的方程形 式,得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组:

















四、定义法


所谓定义法,就是直接用数学定 义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,
都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑 方法,它通过指出概念
所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果 ,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质
特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象 。用定义法解题,是最
直接的方法,本讲让我们回到定义中去。













焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决;求圆锥曲线的方程,也总是利用
圆锥曲线的 定义求解,但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
Ⅲ、巩固性题组:




五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的 思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不
完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对 象具有的共同性


质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在数学推理论证中 是不允
许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是 用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学
题中有着广泛的应用。它是一个递推的 数学论证方法,论证的第一步是证明命题
在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在 n=k时命题成立,
再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。
这两个步骤密切相 关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或
n≥n0且n∈N)结论都正确”。由这 两步可以看出,数学归纳法是由递推实现
归纳的,属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时 ,关键是n=k+1时命题成立的推证,此步证明要
具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分 析比较,以此确定和调控解
题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。
运用数学归 纳法,可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、
三角不等式、数列问题、几何问题、 整除性问题等等。
Ⅰ、再现性题组:
















六、参数法
参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的< br>新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二
次曲线的参数方程 都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷 的,联系的方式是丰富多采的,科学的
任务就是要揭示事物之间的内在联系,从而发现事物的变化规律。 参数的作用就
是刻画事物的变化 状态,揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学
中 运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题
已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利
用参数提供的信息,顺利 地解答问题。















七、反证法
与前面所讲的方法不同,反证法 是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思
考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出 矛盾推理而得。法国数
学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括:“若肯定定理的假设 而否定
其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把
对命题结 论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知
条件、已知公理、定理、法则或者 已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是
假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证 明。


反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程< br>中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维
中的“矛盾律”; 两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A或者非A‖,
这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法 在其证明过程中,得到矛盾的判断,根
据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知 条件、已知公
理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为
假 。再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能
同时为假,必有一真,于是 我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的
基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开
始,经过正确无误的 推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本
思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的 主要三步是:否定结论 → 推导出
矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是:
第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;
第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; 第
三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时,一定要用到“ 反设”进行推理,否则就不是反证法。用反
证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只 要将这种情况驳倒


了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种, 那么必须
将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。
在数 学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器
之一”。一般来讲,反证法常 用来证明的题型有:命题的结论以“否定形式”、
“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的 命题;或者否定结论更明
显。具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结
论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组:
1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数,则方程f(x)=0 ______。 A.至多一个实
根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根










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