高中数学解题基本方法 换元法

高中数学解题基本方法--换元法


高中数学解题基本方法--换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造
元和设元，理论依据是等量代换 ，目的是变换研究对象，将问题移至
新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题
简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联
系起来。或者变为熟悉的形式， 把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超
越 式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有
广泛的应用。
换元的方法有 ：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又
称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出 现，而用一个
字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如
解不等式：4 ＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t 0），而变为熟悉的一
元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利
用已知代数式中与三角知识中有 某点联系进行换元。如求函数y＝＋

的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了
熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现
值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r
0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵 循有利于运算、有利于标准化的原则，
换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变 量
的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t 0和α∈[0,]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx??cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f x＋1 ＝log 4－x （a 1），则f x 的值域是
_______________。
3.已知数列 a 中，a＝－1，a??a＝a－a，则数列通项a＝
___________。
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是
___________。
5.方程＝3的解是_______________。
6.不等式log 2－1 ??log 2－2 〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx +cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称
轴t＝－1，当t＝，y＝＋；
2小题：设x＋1＝t t≥1 ，则f t ＝log[- t-1 ＋4]，所以
值域为 －∞,log4]；

3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋ n－1
-1 ＝－n，所以a＝－；
4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k
≥1或k≤－1；
5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
6小题：设log 2－1 ＝y，则y y＋1 2，解得－2 y 1，所以x
∈ log,log3 。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x
＋y，求＋的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换
元，设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得： 4S－5S??sinαcosα＝5
解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤
∴ ＋＝＋＝＝
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性
而求，即解不等 式：||≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有
界法”。
【另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，
则xy＝±代入①式得：4S±5 5，
移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。

∴ 39S－160S＋100≤0 解得：≤S≤
∴ ＋＝＋＝＝
【注】 此题第一种解法 属于“三角换元法”，主要是利用已知条
件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想 和发现用三角
换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值
换元法”，主 要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、
y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求 解。另外，还用到了求值域
的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元 法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个
变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称 为“和差换元法”，
换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整
理 得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,]，所以S＝ a－b ＋ a＋b ＝2 a
＋b ＝＋a∈[,]，再求＋的值。
例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求
cos的值。（96年全国理）
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”
的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入
可求cosα即cos。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,
由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：
＋＝＋＝＋＝＝＝－2,
解得：cosα＝， 即：cos＝。

【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－
＝－2，设＝－＋m，＝－－m ，
所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，
cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，
即：sin＝－，＝－，代入sin ＋cos＝1整理得：3m－16m－12
＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。
【注】 本 题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行
均值换元，随后结合三角形角的关系与三角 公式进行运算，除由已知
想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进
行 均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝
120°，B＝60°。所以＋＝－ ＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，
和积互化得：
2coscos＝－[cos A+C ＋cos A-C ，即cos＝－cos A-C ＝－
2cos－1 ，整理得：4cos＋2cos－3＝0,
解得：cos＝
y
, ,
－ x
例3. 设a 0，求f x ＝2a sinx＋cosx －sinx??cosx－2a的最
大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由 sinx＋cosx ＝1＋

2sinx??cosx得：sinx??cosx＝
∴ f x ＝g t ＝－ t－2a ＋ （a 0），t∈[-,]
t＝-时，取最小值：－2a－2a－
当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－ ；
当0 2a≤时，t＝2a，取最大值： 。
∴ f x 的最小值为－2a－2a－，最大值为。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后 ，抓住sinx
＋cosx与sinx??cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二
次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注
意新的参数的范围（t∈[-,] ）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法 ，即由对称
轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知 和未知中含有sinx与cosx的和、差、
积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f sinx±
cosx，sinxcsox ，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上
的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式xlog＋2x log＋log 0恒成立，
求a的取值范围。（87年全国理）
【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式
的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log
＝2log＝－2t，

代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t 0，它对一切实数x
恒成立，所以：
，解得 ∴ t 0即log 0
0 1，解得0 a 1。
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为
什么会 想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log、 log、
log三项之间的联系。在解决不等 式恒成立问题时，使用了“判别式
法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数< br>的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的
已知条件进行适当变形，发现 它们的联系而实施换元，这是我们思考
解法时要注意的一点。
例5. 已知＝，且＋＝ ②式 ，求的值。
【解】 设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ
＝k x+y ＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：＋＝
设＝t，则t＋＝ , 解得：t＝3或 ∴＝±或±
【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tg
θ的式子：1 ＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t―10t＋3＝0，
∴t＝3或， 解得＝±或±。
【注】 第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变
量的个数。第 二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，
再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较 熟练。在解高次方程
时，都使用了换元法使方程次数降低。

例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k 0恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，
于是实施三角换元。
【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，
即： 代入不等式x＋y－k 0得：
3cosθ＋4sinθ－k 0，即k 3cosθ＋4sinθ＝5sin θ+ψ
所以k -5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）
化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为
三角函数的值域问题，从而求出参 数范围。一般地，在遇到与圆、椭
圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等< br>有关问题时，经常使用“三角换元法”。
y
x
x＋y－k 0
k 平面区域
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角
坐标系，不等式ax＋by＋c 0 a 0 所表示的区域为直线ax＋by＋c
＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此 题不等式恒成立
问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k 0的区域。
即当直 线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭
圆相切时，方程组有相等的一组实数解， 消元后由△＝0可求得k＝

－3,所以k -3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组：
已知f x ＝lgx x 0 ，则f 4 的值为_____。
A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
函数y＝ x＋1 ＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞ B. [-1,+∞ D. -∞,+∞ C. -
∞,-1]
设等差数列 a 的公差d＝，且S＝145，则a＋a＋a＋……＋a的
值为_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。
已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋的范围是____________。
不等式 ax＋的解集是 4,b ，则a＝________，b＝_______。
函数y＝2x＋的值域是________________。
在等比数列 a 中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋
a＋…＋a。
y
D C
A B
O x
实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx
＋4m－1 0恒成立。

已知矩形ABCD，顶点C 4,4 ，A点在曲线x＋y＝2 x 0,y 0 上
移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
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