重视数学思想方法的教学和训练

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重视数学思想方法的教学和训练


重视数学思想方法的教学和训练



【作 者】邬墉铨



【作者简介】邬墉铨，浙江省湖州市教委教研室



小学数学是一门学习简单数量关系和几何图形的课程。这门课程编排
了较为直观、简 易、浅显的数学知识。在这些数学知识中，蕴含着许
多与高等数学相通的数学思想、方法。因此，在小学 数学教学中，重
视和加强数学思想、方法的教学和训练，不但有利于提高数学课堂教
学效率，而 且有利于提高学生的数学素养，并为学生学习初、高中数
学打下了良好的基础。

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一、数学思想方法的含义



所谓数学方法，是解决数学问题的策略和程 序（即解决具体问题所采
用的方式、途径、手段），它是学习数学知识、运用数学知识解决实
际 问题的具体行为（操作技能）。所谓数学思想，是对数学知识、方
法、规律的本质认识，是比数学方法更 抽象、更概括、更本质的认识。
所以，数学思想是数学的灵魂，是数学方法的理论基础。



无论何种版本的现行小学数学教材都从一年级开始，在以阶段呈现数
学知 识和技能的同时，蕴含着纵向的数学思想和方法。主要的数学思
想有符号思想、对应思想（含量量对应、 量率对应、数形对应、函数
对应）、化归思想、转换思想、结构思想、模型思想、极限思想、统
计思想、集合思想和数学美（对称与和谐、简洁与明快、严谨与统一、
奇异与突变）的思想等。主要的数 学方法有观察方法、实验方法、抽
象概括方法、归纳、演绎、类比方法、假设方法、图示方法，以及非< br>逻辑方法（如数学猜想），等等。
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由此可知，数学知识、数学思想、数学方法是相互联系、相互依存、
相互交融的统一体。数学知识是 数学思想、方法的载体。要学习和掌
握数学知识必然涉及数学思想、方法的学习和训练；掌握了数学思想 、
方法又促进了数学知识的学习和掌握。



二、数学思想方法的功用



笔者认为，重视数学思想、方法的教学和训练，有以下几方面的功用。



（一）有助于培养和发展学生的认知能力



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大家知道，一切数学概念、公 式、规律、法则等均可视为数学模型。
在数学教学中从现实原型出发，运用实验、操作、观察的方法，通 过
比较、分析与综合、抽象与概括等基本思维方法，并用数学语言表述
思维过程，从而使学生获 得准确的数学模型，以发展认知能力。



例如教学9加几的加法，师生 以计算盒子里有9只杯子，盒子外有3
只杯子，一共有几只杯子？为原型，经过操作、观察、 分析与综合、
概括，得出了如下图内的数学模型：



附图



并用数学语言表述思维过程，即看到9，想到1，把3分成1和2，9
加1等于10，10再加2等于12。当学生掌握了这种凑十法的思维模
型后，就可以迁移到8 加几、7加几大大发展了学生学习数学的认知
能力，提高了学习效率。

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（二）有助于构建和完善学生的认知结构



皮亚杰认为，全部数学都可 以按照结构的建构来考虑。所以，我们应
结合数学教学，将小学数学内容转化为有数学科学顺序的知识结 构。
在设计教学过程时，将知识结构逐渐转化为学生头脑中的认知结构。
而数学思想、方法是构 建认知结构的理论武器。



例如，我们在教学平面图形求积公式中，就 以化归思想、转换思想等
为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆
形 的面积计算公式间的同化与顺应（如下图），从而构建和完善了学
生的认知结构。



附图

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（三）有助于开发和发挥学生的大脑潜能



脑科学和心理学研究表明： 人脑的左半球（左脑）主管抽象思维（逻
辑思维）；右半球（右脑）主管形象思维。左脑、右脑既有分工 ，又
有合作。它们相辅相成，相得益彰。从而使形象思维和抽象思维得以
协调发展。鉴于小学生 形象思维占优势（有时要借助动作思维）和逐
步向抽象（逻辑）思维发展的特点，教材以图文并茂、数形 结合（即
知识物化）的形式展示数学知识的形成过程和数学知识的结构，让学
生在用多种感觉器 官充分感知、形成表象的基础上进行想象、联想（即
形象思维）和条分缕析的思维（逻辑思维），并以数 学符号表述认知
成果，即数学知识。



圆面积计算公式的推导 就是一例。在学生把圆平均分成16等分后，
请他们动手拼成近似的已学过的平面图形，即用化归思想通 过化曲为
直来达到化未知为已知。学生可能把它拼成近似的平行四边形、或梯
形、或三角形，或 把其中的一份再平均分成两份后，拼成近似的长方
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形等，从而推导出圆面积计算公式：S＝r[2]。 这种殊途同归的推导
过程，其理论基础是 化整为零、化曲为直、聚零为整等化归思想和等
积转换思想。当学生得出圆面积求积公式后，教师不急于 要学生应用
公式去求圆面积，而应再创设一个将圆平均分成32、64、128、 256、
5 12、1024份的情境，要学生闭着眼睛想象，拼出的图形是否越来越
接近标准的长方形、平行四边形 、三角形和梯形。学生在这种有限割
拼、无限想象的学习中，其形象思维和抽象思维得到了交映生辉的同
步发展，大脑潜能得以发挥，并为学习高等数学中的微积分奠定了感
性认识的基础。



（四）有助于培养和发展学生的审美情趣



美国数学家克莱因曾对数学美作过描述，音乐能激发或抚慰情怀，绘
画使人赏心悦目，诗歌能动 人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改
善物质生活，但数学却能提供以上一切。数学美包括：（1 ） 数学符
号、数学公式和数学技巧的简洁美。如75个15相加可以写成1575；
正方体体积计 算公式可写成S＝a[3]；一个粮食加工厂原来有3台碾
米机，4小时可碾米3600千克。照这样计 算， 现在的4台碾米机，
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6小时可以碾米多少千克？一般列式为36004 346＝7200（千克），可
简化为3600（63）＝7200（千克）。 （2）数学的对称美。 几何图形、
数学公式等都具有对称性，这是数学对称美的集中表现。如圆形、等
边三角形、正方 形等都是轴对称图形。加法和乘法运算定律等都是具
有对称性的公式（如ab＝ba）。 （3）数学的 奇异美。所谓奇异，是
指所得出的结果或有关的发展出人意料，从而引起人们极大的惊奇和
诧异 ，甚至叹服。如黄金分割率（即0.618）， 它被美术家誉为解开
自然美与艺术美的奥秘所在。这就 是数学奇异美的最好例证。服装设
计、工艺装饰等都要用到它。



教学中，教师若能有意识地进行教学，学生在学习数学的同时也受到
了数学美的熏陶。



三、数学思想方法的训练



笔者认为，数学思想、方法的教学和训练应与数学知识的教学和训练
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同步进行。而数学思想、方法的教学和训练具有渗透性的特点，这就
要求教师做到：



（一）备课时仔细揣摩，明确目标



数学思想、方法的教学和训练的目标隐含在数学知识与技能的教学和
训练目标之中，必须同步进行。备 课时教师要认真钻研教材，反复揣
摩教学目标。如结合认数教学和训练，渗透数形对应思想；结合运算< br>定律的教学和训练，渗透符号思想、等价转换思想和归纳、演绎方法，
等等。



例如，教学两数相差多少的应用题的起始课，张大妈养了6头小猪，
4头 大猪。小猪比大猪多几头？这里，先要把小猪分（转换）成两部
分，即与大猪同样多的4头和比大猪多的 2头，列式为6－4＝2（头）。
当学生学会了求比一个数多几的数后， 紧接着要学习试一试的题，< br>即小军和小红擦桌子。小红擦了16张，小军擦了14张，小军比小红
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少擦几张？这时又要把小军比 小红少擦几张转换成小红比小军多擦
几张，将问题同化到原有的认知结构之中，以使问题迎刃而解。以后 ，
在学习求比一个数多（少）几的数的应用题和多步计算应用题时也要
进行多次转换。显而易见 ，转换思想在学习数学中的重要作用不可忽
视。