高中数学排列组合思维方法选讲(附答案)

排列组合思维方法选讲（附答案）

排列组合类题目主要的解题方法：
1. 明确题目核心目的；
2. 分类相加or分步相乘，排列or组合；
3. 特殊优先：特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑；
4. 捆绑与插空；
5. 间接计数法 ：以反治正 ；
6. 挡板的使用；
7. 分组问题。

1．明确任务的意义
1.从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差 数列，这样的不同等差数列有
________个。
2．分析是分类还是分步，是排列还是组合。 注意加法原理与乘法原理的特点。
2．在一块 并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生
长，要求A， B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。

3．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。

4．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所
有不同的排法种数为_______。

5．在11名工人中，有5人只能当钳工 ，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中
选出4人当钳工，4人当车工，问共有 多少种不同的选法?

6．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可 以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成
多少个不同的三位数?

7．停车场 划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是
_______ _种。

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3．特殊优先：特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
8．六人站成一排，求 。 ：(1)甲、乙即不再排头也不在排尾数 。
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 。

9．对某件产品的6件不同 正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰
好在第五次测试时被全部发现 ，则这样的测试方法有多少种可能?

4．捆绑与插空
10. 8人排成一队 (1)甲乙必须相邻，(2)甲乙不相邻，(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻，(4)甲乙必须相邻，
丙 丁必须相邻，(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻。各有多少种不同的情况?
11. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?

12. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关
掉 ，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有
多少 种?

5．间接计数法 ：排除法
13. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
14．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?

15. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左
到右依次排列呢?

16．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?

17. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?

6．挡板的使用
18．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?

7．分组问题
19. 6本不同的书(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
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(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?

20. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。

21. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有
__ ______种。


答案见下：
排列组合思维方法选讲
1．首先明确任务的意义
1.从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成 等差数列，这样的不同等差数列有
________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，
又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个
数中选出 两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。
2．分析是分类还是分步，是排列还是组合 注意加法原理与乘法原理的特点。
2．在一块并 排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生
长，要求A，B 两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物 的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式
子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
第二类：A在第二垄，B有2种选择；
第三类：A在第三垄，B有1种选择，
同理A、B位置互换 ，共12种。
3．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
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(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
或：
（1）从6双中选出一双同色的手套，有C(1,6)=6种方法
（2）从剩下的5双手套中任选两双，有C(2,5)=10种方法
（3）从两双中手套中分别拿两只手套，有C（1,2）*C（1,2）=4种方法
同样得出共（1）*（2）*（3）=240种。
4．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在 第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所
有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法
有 关系，共有三纵列，从而有C（6,2）*C（4,2）=90种。
5．在11名工人中，有5人只 能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中
选出4人当钳工，4人当车工 ，问共有多少种不同的选法?
分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，C(7,4)=35种；
第二类：这两人有一个去当钳工，C(6,4)*C (5,4)=75种；
第三类：这两人都不去当钳工，C(5,4)*C（6,4）=75种。
因而共有185种。
6．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以 组成
多少个不同的三位数?
分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘 以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9
的话才可能用6替换，因而必须分类。
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抽出的三数含0，含9，有4*2*2*2=32种方法；
抽出的三数含0不含9，有C(4,2)*2*2=24种方法；
抽出的三数含9不含0，有C(4,2)*A(3,3)*2=72种方法；
抽出的三数不含9也不含0，有A(4,3)=24种方法。
因此共有32+24+72+24=152种方法。
7．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车 需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是
________种。
分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共A（9,9）=362880种停车方法。
3．特殊优先
特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 。
8．六人站成一排，求
(1)甲、乙即不再排头也不在排尾数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：（1）按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数
第一类：排出首尾和末尾、因为甲乙不 再首尾和末尾、那么首尾和末尾实在其它四位数选出两位进行排
列、一共有A(4,2)=12种、
第二类：由于六个元素中已经有两位排在首尾和末尾、因此中间四位是把剩下的四位元素进行排列，
共A(4,4）=24种
根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12*24=288种
（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有A(4,4)种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3*A(4,4)种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3*A(4,4)种方法。
第四类：甲不在排尾也不再排头，乙不在排头也不再排尾，有6*A(4,4)种方法（排除相邻）。
共A(4,4)+3*A(4,4)+3*A(4,4)+6*A(4,4)=312种。
9．对某件 产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰
好在第五次测 试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
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分析：本 题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置
了，分步完 成。
第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能；
第二步：前四次有一件正品有C(6.1)中可能。
第三步：前四次有A(4.4)种可能。
∴ 共有C(4.1) *C(6.1) * A(4.4)= 576 种可能。
4．捆绑与插空
10. 8人排成一队 (1)甲乙必须相邻，(2)甲乙不相邻，(3)甲 乙必须相邻且与丙不相邻，(4)甲乙必须相邻，
丙丁必须相邻，(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：（1）甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑(甲乙可交换) 和7人排A(7.7)*2
（2）甲乙不相邻，A(8.8)-A(7.7)*2。
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻A(6.6)*2*2 甲乙必须相邻且与丙不相
邻A(7.7)*2-A(6.6)*2*2
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 A(6.6)*2*2
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻，A(8.8)-[A(7.7)*2*2-A(6.6)*2*2 ]
11. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间
没 有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即A(5.2)。
12. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关
掉 ，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有
多少 种?
分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏 亮着的灯
形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴ 共C(6.3)=20种方法。
5．间接计数法
13. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
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所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，
∴ 共76种。
14．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共C(8.4)-12=70-12=58个
15. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左
到右依次排列呢?
分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后 面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有=360
种。
（二）先考虑六人全排列；其次 甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了3
种， ∴ 共A(6,6)A(3,3)=120种。
16．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
分析：首先不 考虑男生的站位要求，共A(9.9)种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法。因
而有=9 ×8×7×6=3024种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，综上，有6048种。
17. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?
分析：先认为三个红球互不相 同，共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下，共有变化，因而
共= A(5,5)A(3,3)=20种。
6．挡板的使用
18．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
分析：把10个 名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每
一种放置方式就相 当于一种分配方式。因而共C(9,7)=36种。
7．分组问题
19. 6本不同的书(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
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(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
分析：（1）有 种。
（2）即在（1）的基础上除去顺序，有种。
（3）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。
（4）有种。同（3），原因是甲，乙，丙持有量确定。
（5）有种。
20. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。
分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。
第一类：平均分成3人一组，有种方法。
第二类：分成2人，4人各一组，有种方法。
（二）再考虑分别上两辆不同的车。
综合（一）（二），有种。
21.5名学生分 配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有
_______ _种。
分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有C（4，3）=4种分组方法。 可以看成4个板三个板不空的隔板法。
二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有A(4,4)=24种，
由（一）（二）可知，共=96种。
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