浅谈数学结合思想在高中数学中的应用

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浅谈数学结合思想在高中数学中的应用
王仪

〔摘要〕：本文主要论述如何用数与形结合的方法来解答高中的一些
题目。众 所周知，数指的是数据和式子，形指的是我们所学过的几何
图形（到高中阶段为止）。如何把它们有机地 结合起来是本文论述的
重点。
数形结合，是求解数学问题的一种常用的思维方法，在教学中应 该引
导学生创设数形结合的情景，使学生形成由形思数、由数想形相互渗
透的思想，把代数式的 精确刻划与几何图形的直观描述有机结合起
来，从而开拓学生的解题思路，发展形象思维能力。本文试举 例说明
数形结合思想在解决数学问题中的作用。
一、“由数化形”
根据题设条件正 确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们
相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
Y
y
的解集是__________________.

y?x
2
?3x


解：分别画出函数
y?x
2
?3x




y?4

例1． 不等式
x
2
?3x?
4
与
y?4
的图象（图

1），从图象可
以看出满足不等式
x
2
?3x?
4
的解集是：
?
x??1或x?4
?
。



3
3 4 x -1 O
（图1）
2
〔评注〕：用数形结合法显得
（图1)
直观、简捷，若用代数法解，把不等式
x
2
?3x?
4化 为
x
2
?3x?
4

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或
x
2
?3x?
-4来求解，则较为抽象繁琐。
y

恰有一个公共点，则m的取值范围是___,

6
恰有两个公共点时，m的取值范围是___。


解：分别作出直线y=2x+m与曲线

，由图象
x
y?9?x
2
的图象（图4）


可知，-3-6





O







3
恰有一个公共点，此时-6≤m<6或

-3

（图4）
m?35
；恰有两个公共点时，


例2.直线y=2x+m与曲线
y?9?x
2

6≤
m?35
。

〔评注〕：“动”是绝对的，“静”
是相对的，这是自然规律，也是一条
重要的数学思想。通过平移直线，运
用点到直线的距离公式，就得出所求的值。
例3：求函数y=
x
2
?1?x
2
?4x?8
最小值

分析：由题意可知，函数的定义域为 R，若从代数角度考虑，确
实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容
易解决
解
y?x
2
?1?x
2
?4x?8?
：< br>?
x?0
?
2
?
?
0?1
?
2?
?
x?2
?
2
?
?
0?2
?
2

Y B(2,2)
令 A (0,1) ， B(2,2) ， P(X,0)
A(0,1)

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则问题化为:在X轴求一点P(X,0)使得
PA?PB
取最小值
X
?
Ａ关于Ｘ轴的对称点为Ａ′（０，－１）
?PA?PB
?
mi n
＝
A
?
B
＝
A′(0,-1)
?
?< br>2?0
?
2
?
?
2?1
?
2
?13

注：此题也可这样问：当x取何值时y=
x
2
?1?x
2
?4x?8
的值最
小，X的取值是直线A′B与x轴的交点横坐 标。


总结评述：代数问题几何化，问题变得容易解决。
二、“由形化数”
所谓形向数转化的问题就是如果用几何的角度来解或证明较为
困难 时且题目中的条件又容易转化成代数问题，于是便用代数法来求
解。现举例说明。
例1．在平 行四边形ABCD中，∠A是锐角，且
AC
2
?BD
2
?AB
4
?AD
4
，
求证：
?A?45
?

分 析：这个题目从几何角度来证明难度很大，因为题中条件有限：
∠A是锐角，且
AC
2
?BD
2
?AB
4
?AD
4
，而AC、BD、AB 、AD又不能在同
一三角形中有机的结合起来，这就给证明带来困难，但借助代数法中
根与系数 的关系和余弦定理，此题便可较快的解答了，现解答如下：
证明：如图10，设AB=a,

AD=b,AC=m,BD=n,则∠A是锐角，

D C
m
b
n
A B
a
（图10）
且
m
2
?n
2
?2(a
2
?b
2
),
m
2
?n
2
?a
4
?b
4

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由根与系数关系可知：
m
2
、
n
2
是方程
x
2
?2( a
2
?b
2
)x?a
4
?b
4
?0

的两根，
?x?a
2
?b
2
?2ab
，又∠A 是锐角，n
?n
2
?a
2
?b
2
?2ab
,
由余弦定理，得
n
2
?a
2
?b
2
?2abco sA
，
从而得到cosA=
2
,
??A?45
?

2
〔评注〕：代数法的引入大大简化题中隐含的难度“系数”。
三、“数形转换”
根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，
分析数与式的结构，引起联想， 适时将它们相互转换，化抽象为直观
并提示隐含的数量关系。
例1：函数
y?
sinx?2
的值域。
cosx?2
分析 ：本题可以把函数化为关于
x
的三角函数，然后利用其有界
性求值域，但其运算量大， 对学生的运算能力有较高要求，有一定难
度。此题可看成过两点
M
（
cosx ,sinx
）,
P(2,?2)
构成直线的斜率的范
围，又
M
（
cosx,sinx
）在一个单位圆上，故可构造图像求此函数值域。
解：y?
y?
y?y
sinx?2
的形式类似于斜率公式
k?
21

cosx?2
x
2
?x
1
sinx?2< br>表示过两点
M
（
cosx,sinx
）,
P(2,?2)构成直线的斜率
cosx?2

由于点
M
在单位圆
x
2
?y
2
?1
上，如图，
显然
k
P A
?y?k
PB
，设过
P
的圆的切线方程为
y?2?k(x ?2)

M

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则有
2k?2
k
2
?1
?1
，解得
k?
?4?7?4?7
，即
k
PA
?
，
3
3
k
PA
?
?4?7
?4?7?4?7

∴?y?
3
33
?4?7?4?7
，]

33
∴函数值域为[

评注：本题考查了三角函数值域与直线斜率之间的内在 联系，考查学
生的数形结合的能力。在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数
的性质、化简 的形式通过构造思想融于函数的图象之中，将数（量）
与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数 量关系通过几何图
形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。
例2设A=< br>{x|?2?x?a}
，B=
{y|y?2x?3,x?A}
，C=
{ z|z?x
2
,x?A}
，
若
C?B
，求实数
a< br>的取值范围。
分析：解决本题的关键是依靠二次函数在区间上的值域求法确定集合
C， 进而用不等式将
C?B
这一集合语言加以转化。
解：∵
y?2x?3
在
[?2,a]
上是增函数，∴B=
{y|?1?y?2a?3}
。 作出函数
z?x
2
的图象，其定义域右端点
x?a
有三种不同的 位置
关系：

①当
?2?a?0
时，如图1，
a
2
?z?4
，即｛z|
a
2
?z?4
｝。

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要使
C?B
，必须且只需
2a?3?4
，解得
a?
，与
?2?a?0
矛盾。
②当
0?a?2
时，如图2，
0?z?4
，即｛z|
0?z?4< br>｝.
要使
C?B
，必须且只需
?
?
2a?3?4< br>1
，解得
?a?2
。
2
?
0?a?2
1< br>2
③当
a?2
时，如图3，
0?z?a
2
，即｛z|
0?z?a
2
｝。
?
a
2
?2a?3
要 使
C?B
，必须且只需
?
，解得
2?a?3
。
?
a?2
④当
a??2
时，A=
?
，此时B=C=
?
，
C?B
成立。
综上所述，a的取值范围是
(??,?2)?[,3]
。
评注：解决集合问 题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语
言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论的特点，再 将其转化
为图形语言，利用数形结合的思想来解决。
对于二次函数在闭区间上的最值问题，应 抓住对称轴与所给区间
的相对位置关系，借助图象的直观形象，达到解决问题的目的。
数形结 合是数学中十分重要的思想方法，其基本点在于把问题中
涉及到的数与形结合起来综合考察。根据不同问 题的不同特点，或
者把数量关系问题转化为数量关系问题来研究。或者把数量关系问
题转化为图 形性质问题来研究，从而把复杂问题简单化，抽象问题
具体化，达到化难为易的目的。



参考文献：《高中数学怎样学》 鲁鹤鸣著 上海科学技术文献出版社
1999年4月出版。
《中学数学教育学》 章士藻著 江苏教育出版社 1996年7月出版。
《数学思想方法与中学数学》 钱佩玲 邵光华著 北京师范大学出版
社 1999年7月出版。
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