四大数学思想

知识点及学习方法：
四大数学思想：函数与方程思想，数形结 合思想，转化与化归思想，
分类讨论思想。 集合与简易逻辑题型1元素的性质题型2 取值范围题型3 否命题与非命题题型； 二次
函数——根的分布题型4 函数的图象——y=f（|x|），y=|f（x）|图象辨析题型5 函数的奇偶性——求参数
题型6 函数的单调性——定义法题型7 二次函数——最值的求法题型8 函数的性质——抽象函数题型9
函数——分段函数题型10 函数的应用——生活中的优化问题专题三 三角函数题型1 角的概念——象限
角题型2 度量单位——角度制与弧度制题型3 三角变换——公式的变形与逆用题型4 三角变换——“1”
的妙用题型5 函数y=Asin（ωχ+ φ）——辅助角的应用题型6 函数y＝Asin（ωχ+ φ）——解析式的求法
题型7 图象变换——平移与伸缩题型8 三角函数的性质——单调性题型9 三角函数的性质——对称性题
型10 三角函数的性质——周期性题型11 三角函数的性质——最值题型12 解斜三角形——正、余弦定
理的应用专题四 数列题型1 数列的通项——速推公式题型2 数列——αn与Sn的关系题型3 等差与等
比数列——性质及应用 题型4 数列求和——裂项法题型5 数列求和——错位相减法题型6 综合应用
——数列与函数题型7 综合应用——数列与不等式题型8 应用问题——分期付款专题五 平面向量题型1
向量的运算——数乘与数量积题型2 线性表示——平面向量基本定理题型3 综合应用——向量与解三角
形专题六 不等式题型1 不等式的性质——取值范围题型2 不等式——含绝对值的不等式的解法题型3
一无二次不等式——含参数的不等式的解法题型4 最值——基本不等式题型5 线性规划——最优解题型
6 恒成立问题——求参数专题七
在高考数学考场，怎样才能获得好的成绩？第一要务是提高自己现有的水平。我建议同学们好好利
用第一 、二轮复习的机会，夯实基础，做到在基本面上没有大的漏洞，这才是提高水平的有效方法。第二
是提升 能力，培养自己的数学思想。数学思想是人们学习数学的一个指导和理论基础。如何才能把握住数
学思想 ，在目前阶段，同学们可以在第一轮复习的基础上，认真总结一下方程的思想、函数的思想、分类
讨论的 思想、数形结合思想，在解题中都是怎么使用的，其中可以用历年的高考题中一些典型题目，把它
总结出 来。比如方程思想，哪一年考了哪个题，你下面如果能列出五六个题，并且写一点小结，相信你在
这个思 想方法运用上就会比原来前进一大步。第三是适当关注技巧和非智力因素。同学们在平时的考试和
测验中 ，成绩大都有起有伏，要有正确的心态去分析这些起伏。在平时加强针对性训练，树立信心。
下面我将同学们常问的一些相关问题和我的看法公布如下：

问题1
：我的基础还 可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做题就做不出来了，帮忙分析
一下原因。
答：数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你
抱到了逻辑 的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，
告诉你了 这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。为什么课下自
己不会做 了呢？是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起
点，没有 到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师
给我变一 个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的
方式来学 数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高
中就不行 了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。


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所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼 、升华成理性认识，在你的
头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的 规律性的东西。当你遇到新
问题、新试题的时候，你应该拿着这个规律去面对它，这样的话，你就可以把 老师讲解的东西很自然地、
流畅地用在你的解题里，这就是所谓通过理解，通过顿悟来学习数学。那么高 中数学百分之六七十的成分
是要靠着这种方式进行学习的。我教过的学生里头也有这样的，学数学的方式 来停留在初中的模仿和描红
模子的阶段，他本人并不笨，脑子也很聪明，就是因为学习方法不当，还是停 留在模仿的阶段，而且习惯
于不时地流露出模仿的痕迹，在这样的阶段，高一高二学新课，成绩还不错， 也可以考到九十多分，高三
的开始，成绩也不错，随着时间的推移，综合题大量的下来，成绩就慢慢下来 ，自己做题也显得很枯燥，
建议改改你的学习和思维方式，可能有效。

问题2< br>：我有时候看基础知识的时候定义都没有问题，但是一做题的时候，就转不过来了，耗的时
间比较 多，怎么办？
答：
那你就看看定理、定义、公式都是怎么使用，除了背下它们之外，关键是要把
握住这些数学的定义、定理、公式、法则，在解题中是如何运用的，建议你好好从课本出发，如何利用刚
才讲的这个定理或者定义去解题的，把它先搞清楚，适当的时候自己做做笔记，问问自己，这个定义是怎
么使用的，在这个定理里怎么用的，你自己在旁边注上一两句话。若是一句话也写不出来，显然以后你还
不会用。


问题3：
请问我们应该怎样处理一些非常规的题目？
答：
所谓非常规的题目 ，这个东西因人而异，我没见过这个题，我学了高中三年就没见过这样的东
西，于是对来我讲就觉得这个 是不是不常规，越出了我的范围。首先，大家应该知道，创造新情景，在试
题中，在命题过程中，体现一 个改革和创新的意识，这是目前高考改革要坚持的一个方向。因此，今年在
高考试题中，肯定还会有一个 情景比较新，98%以上的考生从来没有见过的东西。因此，第一，我们在心
理上要踏实下来，不要遇见 这个东西就害怕。第二，碰到新的情景，你要广泛地产生联想，运用联想思维
方式，把它和你过去学过的 旧东西和你熟悉的东西对比起来，然后对于整个的试卷再做一个化整为零的工
作，如果这个试题从整体上 看它非常新颖，但是它的某一个局部很可能是陈旧的，是你见过的，这样的话
化整为零，把它拆成一个一 个的部件，这里很多的部件你都熟悉，和你过去学过的东西都挂钩，把它联想
起来，这样新颖的东西很容 易就被你攻破了。


问题4：
数学卷第二卷所用的时间、比例应该是 多少？解答题如何安排时间才能完成整张卷子呢？
答
：作为一个考生，你不应该太着意于时间 的分配。比如我说选择填空题应该50分钟做完，你心里
记着这个帐到考场上如果你50分钟没做完，那 怎么办？那肯定是心慌、冒汗、心里害怕，这反倒对于你
发挥水平不利。其实作为一个考生，你经过这么 多次考试了，他有一个基本规律在里面，比如对于高层次

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< br>的学生，数学能考到135以上的这样的孩子，我们发觉选择填空题他们一般在40分钟，他大约需要60
分钟，其实这都是正常的，按照个人能力来看这都是正常的。所以我不了解提问的同学你的实际水平，如
果你的水平真是135分以上的，那么你关注这个问题是合理的，也是应该的。如果你是水平中等，或者 以
下的学生，我建议你不要关注哪一部分用多少时间，你就顺着题号自由的自然的往下做，做对了就做下 一
个，下一个三五分钟不会那就先放下，再做下一个，如果这样递进做下去，打铃你该交卷就交卷，非常 自
然，不用想这些东西。

问题5
：请问数学解答题若对题目有两种不同 的理解，该怎么办？我是两种都写上，还是写一种都
可以，如果两种都写上，会扣分吗？

答
：平常咱们所见到的街面上卖的这些复习资料里面，甚至于包括我们有一些省、市、区县出的 模
拟题里面，个别时候会出现由于错词或者是其它的原因，使得大家对这个题的意思有不同的理解。但是 在
高考题里面，由于是非常严格的、非常严肃、认真的情况下，经过专家们反复推敲，起稿而组成这样一 套
高考试卷，理念来高考试卷没有出现用词不当，用词不合理而造成考生对题意有不同理解，不会出现这 种
情况。如果你有不同理解在考场上出现了应该多从自己这个方面找找原因，是不是哪个定理、定义我记 得
混淆了，或者哪个出问题，你敲定一下，按照一个意思做答，如果按两个意思做答，按常规判卷原则是 以
前一个为准评分。


问题6
：现在高考数学题讲究的是通 性通法，最后是不是应该加强这方面的训练，再突破一些难题？
答
：目前的高考是确实通性通 法，但是中等题和难题体现的不完全一样，比如说中等题，在体现通
性通法方面就比较暴露，比较直接。 在综合性题目里面，这个通性通法的使用就比较灵活，必须剥掉几层
皮之后才能看到。鉴于这种情况，针 对不同层次的同学们，你们对通信通法可以做这样不同层次的追求，
比如我市高考数学分数期望值在一百 到一百一十几分之间的这样一个档次的，你就要特别注重通性通法在
同等题里面的应用，要保证在中等题 里面运用通性通法做到万无一失。如果做得再好一点，你这个分数的
期望值完全可以做到的。在难题里运 用通性通法，这个外壳剥不开，个别看不透问题不太大。如果你期望
值是一百二十分以上，甚至达到一百 四十几分，相信你在选择填空和中等题方面是有基础和把握的，你们
攻克的要点就是通性通法在综合题中 间怎么使用，怎么穿破这个迷魂阵，能够剥出里面的内涵，把通性通
法用上，这是大家要攻克的，当然这 个堡垒比前一个要困难一些。


问题7
：如果我做前面的小题遇到困难，很不顺，那我在考场上应该怎样进行调整呢？
答
：大家现在要注意，目前的高考试题不是按照由易到难的次序排列的，它是多题把关，处处有关口，比如说做第一题白给分，一下子就出来了，做到第五题卡住了，这很有可能。人们都认为22题是最难的一道题，有的同学认为我看都不看，我这水平做不了，其实22题的第一问是白给分的，是个人都会
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的，为什么要放弃呢？所以大家要注意，目前的高考试卷 是多题把关，就像地雷阵似的，处处有地雷，但
是处处有坦荡的路，所以我们要有相应的办法来对付。什 么办法呢？第一，心态上要注意，只要你的高考
数学我期望值不是一百四十五分，那么你遇到一个题不会 ，这非常正常，如果你数学的期望值是在一百分
的话，那么你遇到 40%个难题，那都是非常正常的事 情。所以从心态上大家不要害怕，遇到难题是正常
的，因为我考不了一百五十分嘛。第二，遇到难题怎么 办？位置能力在中等位置的同学们，建议你们这样
做。遇到这个困难，你稍微愣一下神，静下心来再想一 想，如果暂时还想不出来，跳过去做下一道，没准
下一道很漂亮地做出来了，当你遇到下一个难点的时候 ，看看位置，如果位置仍然还靠前的话，你还可以
继续往下做。当你困难发生到三分之二的试卷上了，你 回过头来看看第一个难题，由于你离开那个境界远
了，心情也平静了，你去看它，没准突发一个灵感，困 难就解决了。所以概括起来这么几条，第一是心情
平和，不要害怕，这是正常现象，你哪能道道都会啊？ 第二，遇到困难，一时解决不了暂时跳下去。继续
往下走，下面还有很多你会的，这就够了。

问题8
：在做立体几何的时候，如果做不出第一小问，我是不是可以直接跳到第二小问？并且把 第
一小问要求求证的命题直接作为第二小问的条件呢？

答
：这是可以的 ，这几问是独立评分，第一问对了给你分，第一问没做了，第二问的时候第一问的
结论也用了，照样给你 分，而且这是正常的、科学的答题方法，不要因为第一问不会，第二问就放弃，那
就不应该了。

问题9
：如何才能培养自己的数学思想呢？因为这些一来我学数学也能培养思维， 有利于其它科的
数学学习。

答
：你的想法很好，数学思想是人们学习数 学它的一个指导和理论基础。如何才能把握住数学思想，
首先在学习新课的时候，在知识的产生、发展的 过程中，所蕴含的那些重要的思想要把它把握住，在自己
的解题实践中也要经常做做总结，总结规律，提 炼思想，经过这样一段长时间的积极的努力，我们才有可
能把数学的思想真正的掌握到自己的手中，变成 你学习数学，变成你解题一个指导。在目前阶段，你可以
认真总结一下方程的思想方法，跟函数的思想方 法，以及分类讨论的思想方法，数形结合思想方法在解题
中，在高考（微博）中都是怎么使用的，其中可 以用历年的高考题中一些典型题目，把它总结出来。比如
方程思想，哪一年考了哪个题，你下面如果能列 出五六个题，并且写一点小结，相信你在这个思想方法运
用上就会比原来前进一大步，这几天做做这个工 作会有好处。

问题10
：我的特点是答题比较慢，但是准确率比较高，可是每次 答到最后一两题就没有时间了，
虽然得的分数不是很低，但是每次差不多，而且压轴题又得不到锻炼，应 该怎么办？


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答
： 如果你各科的成绩都很好，我觉得如果是这样的话，你还需要把最后一道题多少也要拿下一半来。
为此， 可以增强点速度方面的练习，原则是不损伤你的准确率，如果准确率丧失了，速度快了，实际上没
有什么 效果。

问题11
：老师我平时做题的时候，发现我做的时间比较长，尤其证明题 ，正是要证到很久，我发
现我的同学他们很快得到结果我不知道这是怎么回事实，请问老师有没有好的提 高的技巧。

答
：证明题速度慢，我估计可能是你的思维慢，书写的慢，思维慢， 思维活动频率慢，那么你书写
的又慢，这样你做题的时间肯定比别人花的时间就长一些。这里面是不是还 有比如基础知识不够熟练，有
的时候走了一些弯路，可能也有关系。


问题12
：请问老师怎么才能提高选择题的解题速度？
答
：提高选择题的解 题速度，你考虑使用一些简捷办法，但是你要知道这些办法需要长时间训练才
能掌握，不是一时给你一个 办法，你就可以适应所有的题。因此我建议你可以用选择题来试一试，比如四
个选项中首先淘汰不合理的 ，不应该选的所谓淘汰法，也可以试一试数形结合的方法，如果哪个方法试的
有所心得，确有把握，在考 场上你可以使用。如果哪个方法你做起来还是没有把握，我建议你在考场的时
候还是稳扎稳打，用你传统 的习惯的特长的方法，关键是要做对。

问题13
：每次我答卷子的时候，去检查 之后发现我把原来题目改了以后，答案就错了，这种现象
应该怎样避免？

答：把对的答案改错了，这个就太遗憾了。那么这个情况我估计出现也是偶然的，因为你不可能把
所有 做过的题都改一遍，肯定是你在做的过程当中对某一个题目产生怀疑，回过头来再去查，一查就坚定
了过 去的怀疑，结果就改了。碰到这种情形，我建议你先稳下来，不要着急，我们做数学题有的时候第一
感觉 是非常重要的，如果你能顺着第一感觉做下去，估计在基本思路上，在基本原理上不会有太大的偏差，
如 果这个有太大的偏差，很可能那就是说你对数学一知半解，糊里糊涂，一般的如果对数学较为理解，不
是 糊里糊涂的学生的话，那么你凭着第一感觉这个题只要能做下去，估计大方向不会出现大问题。至于说
运 算上出现的错误，检查的时候要细心。

问题14
：老师，关于填空、选择这样小 题我现在应该怎样准备？而对于函数数列解析不等式等主
体知识，哪部分是现在我应该重点把握的，应该 怎样来复习？

答
：现在关于选择和填空题，一般的安排是这样，因为我不了解你 的学习状况，你的数学水平，所
以我只能泛泛的说。对于一般同学来讲，你可以每天，指的是中等以下， 中等或中等以下的同学，每天都
做一个选择和填空题的训练，做一次，如果程度较好的同学你可以两天做 一次选择和填空题的训练，这个

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就是所谓经常热身。 另外在热身中，寻求解题的成功率和提高解题速度。至于说解答题中的属于主体内容
的那些大的解答题， 应该怎么复习，首先应该抓住解答题的前三个中等题，一般的考试里面，我们要求考
生中等题基本上不丢 分，或者丢分不超过5分，看看你是否达到了这个要求，我们为什么提出这个要求，
因为解答题的前三个 题，考什么有章可循，题目的难度比最难的选择和填空题都要容易，而且它是凭步骤
给分，所以应该说得 分是相对较为容易，是我们得分的基础。至于说最后两道难题，你可以把你做过的属
于这个范畴内的题目 进行归类和总结，看看这类题的一般解题规律，你在解这类题中的得与失，这样备考
也就足够了。


问题15
：老师，我考试的时候总是马虎，出现很多失误，做题的速度比较慢，我应该怎么办？
答
：这个一个是思想上要重视，第二个要养成良好的习惯。马虎这个东西，如果做每一个题都丢 三
落四，马马虎虎，实际上这是一个行为习惯问题。主要第一思想上要重视它，第二自己想一些办法，比 如
做一步回头看看，或者做两步回头看看，反正想一些切实可行的办法，办法一旦定了，通过解题来做一 些
检验，对你确定的这些方法做一些筛选。一旦定下来，我可以用这个办法或那个办法杜绝这个问题，那 就
要坚定信心。真正到考场上去的时候不要想这个事，不要让这个事变成你的精神负担。

问题16
：老师，都说数形结合是解答数学题常用办法，尤其选择题，请问选择题用数形结合， 是
不是意味着不用算，还是意味着所有选择题都要算？

答
：用数形结合 办法来解答一些选择题确实可以减少一些计算，但是有些题目光靠着数形结合，不
加计算的话往往得不到 正确的答案。因此到底还是不算，是多算还是少算，那只有具体问题具体分析。


问题17
：我基础知识还不是很清楚，看高考说明能解决这个问题吗？
答
： 看高考说明只是了解高考的考试内容、考试要求、试卷的组成等等，看这个并不能提高你的应
试能力，因 此还是要回到基础，回到课本上去。还是那句话，首先必须要夯实基础。

问题18
：高考的时候，人家都说数学要讲究临场发挥，请问是不是有哪些地方需要注意？比如说
应该做哪些题 ？先做高分的题还是低分的题？

答
：如果你是一个高分段的学生，你的目标高一 点，是想考清华北大这些一些最名牌的大学的话，
那你数学的期望值应该是在一百四十分以上，对于这样 的同学，那么你就是按照题目的顺序一道一道把它
尽快地、严谨地答完，这没有什么可考虑的，因为我的 期望值和水平都可以应付这样的办法但是反过来，
如果我的能力和数学成绩考到三位数，考到一百分就很 不错了，我的水平已经发挥了，这样的同学答题确
实需要一些技巧，这个技巧的主要原则就是第一，一定 要把自己会的，有把握的先答上，而且个别的答题
过程中，心理有点忐忑不安的话，做完之后还要做检查 工作，也就是说把会做的先做好，不管这个题的顺

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序 ，不管这一问在什么地方，哪怕是倒数第二题的第一问，也要把它拿下来，所以做题的次序不一定按照
题 号的次序，而是会的就拿下，按照这样的原则去组织。那么这一层做完了，还有时间，就攻堡垒了，攻
自 己不会的题了。不会的题，你要注意，也是分为两个集团，一个集团是咱们静下心来，心态平和没准就
会 做了，只要不紧张。那么有一些，恐怕再给你两个小时，甚至再给你一天你也未见得做得出来，对这些
难 题，我们就要分分类，自己从直觉和感觉出发，如果觉得自己心情冷静，这个题还能拿下，那就去拿它，
所以层次在希望能够达到三位数就满足了的同学，你确实更应该注意答题技巧，原则是把会的先做下来，
不一定按照题号的顺序。另外，有的同学答题的时候心情比较紧张，往往影响你的发挥，我忠告大家，不
要跟别人比，主要的是跟你自己比，如果我在学校历次模拟考试，最多就考过九十五分，那么这次高考你
能考九十六分，就可以喝庆功酒，就可以庆祝一番了，因此就可以把心情放下来，自己跟自己比，心情越
冷静，越踏实，越容易发挥，越容易取得好成绩。特别是数学，心情如果不够坦然，不够平静，往往会出
现计算性错误，本来这道题会，三乘二，你得个五，变成加法做了，一下子分都没了，特别是选择题里，
一道题要不然是五分，要不然是零分，如果因为我们的心情不够踏实，不够冷静，一下子做错了，本来应
该得五分，变成零分了，这是非常遗憾的，大家知道，高考如果差五分，那就是五六千人、六七千人的事，
希望大家还是把心情踏实下来，这样最好。

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