高中数学 “一般问题特殊化思想”专题(教师用)素材

用“一般问题特殊化思想方法”指导解题
什么叫一般问题特殊化法？ 选取符合题 意的特殊值、特殊向量、特殊数列、特殊方程、
不等式或函数、特殊点和特殊图形，代入或者对比选项来 确定答案。这种方法叫做一般问题特
殊化法，或叫特值代验法，是一种使用频率很高的方法。下面就几类 题型来说明它的独到之处。
（1）特殊值

（3）特殊数列
6.在各项 均为正数的等比数列
?
a
n
?
中，若
a
5
a
6
?9
，则
olg
31
aol?g
32
a?olg?
310

a?
（ B ）
cosA?cosC
?
1.在
?
ABC中，角A．B．C 所对的边分别为a．b．c，如果a．b．c成等差数列，则
A、12 B、10 C、8 D、
2?log
3
5

1?cosAcosC
。
解法一：取特殊值a＝3, b＝4, c＝5 ,则cosA＝
4
5
,
cosC＝0,
cosA?cosC
1?cosAcosC
?
4
5
．
解法二：取特殊角A＝B＝C＝60
0
cosA＝cosC＝
1cosA ?cosC
2
,
1?cosAcosC
?
4
5
．
2.求值
cos
2
a?cos
2
(a?120
?< br>)?cos
2
(a?240
?
)?
。 < br>分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令
a?0
?
，得结果为
3
2
。
（2）特殊向量
????
3.（2 011年东城一模4）已知平面上不重合的四点
P
，
A
，
B
，
C
满足
PA?PB?PC?0
，
且
AB?AC?mAP
，那么实数
m
的值为（ B ）（A）
2
（B）
3
（C）
4
（D）
5

注：提供三种方法给大家。
??????
解法1：（向 量加法的几何意义）
AB?AC?(AP?PB)?(AP?PC)?2A
?
P?(? P
?
A)?3A
?
P

故
m
=3. 解法2：（特殊化思想方法）画图以P为坐标原点，建立平面直角坐标系，并令
P
?
A?(1,0)
，
PB
?
?(0,1)
?
??
?
，故
PC?(?1,?1)
。然后求出
AB?AC
的坐标（-3， 0）及
AP
的坐标（-1，0）。
解法3：画三个向量，相互间的夹角为120度。
4．（2010年西城二模理）设
a,b,c
为单位向量，
a,b
的 夹角为
60
，则
(a?b?c)?c
的最大值为
___ __.答案：
3?1
。
5．（2010年海淀期中文12）在矩形
ABCD
中，
AB?2,AD?1,
且点
E,F
分别是边
BC,C D
的中点，则
(AE?AF)?AC?
_________.答案：
152
。
用心
解：方法1（小题巧做）：取一个满足条件的特殊数列
a
5
?a
6
?3,q?1
即可。
方法2（小题小 做）：由
9?a
5
a
6
?a
4
a
7
?a
3
a
8
?a
2
a
9
?a
1
a
10
知原式=
log
3
(a
5
a
5
6
)?log
3
3
10
?3

方法 3（小题大做）：由条件有
a
29
5
?a
6
?a
1
q
4
a
1
q
5
?a
1
q?9，从而
a
101?2?......?9
1
a
2
.. ....a
9
a
10
?a
1
q?(a
2
1
q
9
)
5
?3
10
所以原式=
log< br>3
(a
1
a
2
a
10
)?log
3
3
10
?10
。
7.已知等差数列{a
a
n}的公差d≠0，且a
1
,a
3
,a
a
9
成等 比数列，则
1
?
3
?a
9
aa
的值是 。
2
?
4
?a
10
解：可令a
?a< br>n
=n满足题设条件，于是
a
13
?a
9
a?a=
13
。
24
?a
10
16
8. （201 1年丰台一模4）设等差数列
?
a
n
?
的公差
d
≠ 0，
a
1
?4d
．若
a
k
是
a
1
与
a
2k
的等比中
项，则
k?
（ C ）
(A) 3或-1 (B) 3或1 (C) 3 (D) 1
提示：取d=1.
（4）特殊位置
9.过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点作一条直线交抛物线于
A(x
1
,y< br>1
),B(x
2
,y
2
)
，则
y
1
y
2
x
为
1
x
2
（ ） （A）4 （B）－4 （C）
p
2
（D）
?p
2

特例法：当直线垂直于
x
轴时，
A (
pp
y
1
y
2
2
,p),B(
2
,?p),
x
?
?p
2
2
??4
。
1
x
2
p
4
注意：先分别求出
x
1
x
2
,y
1
y
2
用推理的方法，既繁且容易出错。
爱心 专心

椭圆
x
2
9
+
y2
10.
4
=1的焦点为F
1
、F
2
，点P为 其上的动点，当∠F
1
PF
2
为钝角时，点P横坐标的取
值范围是 。
解：设P(x,y)，则当∠F
22
1
PF
2
=90° 时，点P的轨迹方程为x+y=5，由此可得点P的横坐标x=±
3
5
，
又当 点P在x轴上时，∠F
1
PF
2
=0；点P在y轴上时，∠F
1PF
2
为钝角，由此可得点P横坐标的取
值范围是-
3
5
3
5
。
（5）特殊点
11.（2011年西城一模7） 已知曲线
C:y?
1
x
(x?0)
及两点
A
1(x
1
,0)
和
A
2
(x
2
,0)< br>，其中
x
2
?x
1
?0
.过
A
1< br>，
A
2
分别作
x
轴的垂线，交曲线
C
于B
1
，
B
2
两点，直线
B
1
B
2
与
x
轴交于点
A
3
(x
3
,0)，那么( A )
（A）
x
x
3
2
,x< br>B）
x
x
1
,
2
成等差数列 （
1
,
3
2
,x
2
成等比数列
（C）
x
1
,x
3
,x
2
成等差数列 （D）
x
1
,x
3
,x
2
成等比数列
温 馨提醒：解法1（特殊化思想方法）取
x
1
1
?1
，
x2
?3
，求出
B
1
、
B
2
的坐标B
1
（1，1）、
B
2
(3,
3
)
。
则直线
B
1
B
2
的方程为
x?3y?4?0
，令y=0，求得
x
3
?4
，故选A。
解法2：通过证两三角形 相似得到
x
x
3
1
,
2
,x
2
的 关系。
（6）特殊方程、不等式或函数
12过抛物线
y?ax
2
(a?0)
的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分
别为p、q， 则
1
p
?
1
q
?
。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为
(0,
1
4a
),
把直线方程
y?
1
4a
代入抛物线方程得
x?
1
2 a
，∴
|PF|?|FQ|?
1
11
2a
，从而
p
?
q
?4a
。


13.若
a,b,c
是直角三角形
?ABC
的三边的长（
c
为斜边），则圆
C: x
2
?y
2
?4
被直线
l:ax?by?c?0
所截得的弦长为 。答案:
23
.
方法一：取
a?3,b?4,c?5
，确定一条唯一的直线方程后再具体计算。 方法二：直接计算。注意到：
a
2
?b
2
?c
2
。
14.（2011年海淀一模12）已知平面区域
D?{(x,y)|?1?x?1,? 1?y?1}
，在区域
D
内任取
一点，则取到的点位于直线
y?kx
（
k?R
）下方的概率为___________。 答案：
1
2
。
解：取
k?1
，易得到正确答案。
15.椭圆的两焦点坐标分别为
F
1
(?3,0)
和
F
2
(3,0)
，且椭圆过点
(1,?
3
2
)
.(1) 求椭圆方程；
(2)过点
(?
6
5
,0)
作不与
y
轴垂直的直线
l
交该椭圆于
M
、
N
两点，
A
为椭圆的左顶点，试判断
?MAN
的大小是否为定值，并说明理由．
解：(1)（过程略）
x
2
4
?y
2
?1

(2)设直线
MN
的方程为：
x?my?
6
5
，
?
?
x?my?
6
联立直线
MN
和曲线
C
的方程可得：
?
?
5
22
1264
x
2< br>得
(m?4)y?my??0

?
?
?
4
? y
2
?1
525
设
M(x
1
,y
1
)
，
N(x
2
,y
2
)
，
A(?2,0 )
。
则
y
1
?y
2
?
12m
5 (m
2
?4)
，
y
1
?y
2
??
64
25(m
2
?4)

??
则
AM?AN?(x x
2
4
1
?2,y
1
)?(
2
?2,y< br>2
)?(m?1)y
1
y
2
?
5
m(y16
1
?y
2
)?
25
?0

即可得
?MAN?
?
2
.
- 16 -

?
?
x??
6
温 馨提醒：此题当m=0时，
?
?
5
6464
?
x
2
得：
M(?
5
,?)
、
N(?,)
。
?
?
4
?y
2
?1
555
?
所以，
AM?(
4
5
,?
4
5
)
?
，
A N?(
4
5
,
4
5
)
。易知，
?MAN?
?
2

这样用特殊情况可以先求得最后的结论，做到心中有数，下面的证明就有了目标及解题方向。

16.（2010年海淀二模7）若椭圆
C
x
2
x
2
y
2
1
：
a
2
?
y
2
a
1
?b
1
?0
）和椭圆
C
2
：
1
b
2
?1
（
1
a
2
?1
2
b< br>2
?
2
（
a
2
?b
2
?0
）的焦点相同且
a
1
?a
2
.给出如下四个结论：①椭圆
C
1
和椭圆
C
2
一定没有公共
点； ②
a
1
?
b
1
； ③
a
2222< br>a
1
?a
2
?b
1
?b
2
； ④
a
1
?a
2
?b
1
?b
2
.
2
b
2
其中，所有正确结论的序号是（ B ）
A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③
分析：取
a
2
?5,b
2
?3;a
1
?17,b
1
?1
。
y
17.（2011年朝阳一模7）如图，双曲线的中心在
A
坐标原点
O
，
A, C
分别是双曲线虚轴的上、下
顶点，
B
是双曲线的左顶点，
F
为双曲线的左焦
点，直线
AB
与
FC
相交于点
D
.若双曲线的离心率
F B
O x
为2，则
?BDF
的余弦值是（ C ）
D
（A）
7
7
（B）
57
7

C
（C）
757
14
（D）
14

提 示：设
a?1,c?2
。
?BDF
=
30
?
??D CA
。
sin?DCAcos?DCA
的值易求。
18. （2011年 丰台二模7）已知直线
l
：
Ax?By?C?0
(
A
，B
不全为0)，两点
P
1
(x
1
,y
1
)
，


P
2
(x
2
,y
2< br>)
，若
(Ax
1
?By
1
?C)(Ax
2< br>?By
2
?C)?0
，且
Ax
1
?By
1< br>?C?Ax
2
?By
2
?C
，则
（ ）
（A）直线
l
与直线
P
1
P
2
不相交 （B）直线
l
与线段
P
2

P
1
的延长线相交
（C）直线
l
与线段
P
1

P
2
的延长线相交 （D）直线
l
与线段
P
1
P
2
相交
分析 ：本题就是考查线性规划问题。关键是1）
(Ax
1
?By
1
?C) (Ax
2
?By
2
?C)?0
的含义：点
在直线的同侧；2 ）
Ax
1
?By
1
?C?Ax
2
?By
2
?C
的含义：点到直线的距离的大小关系。
小题巧做：设直线
l
：
x?y?1?0
，点
P
1
(0,1),P
2
(0, 0)
。画图易知答案C。
19.如果函数f(x)=x
2
+bx+c对任意 实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系
是 。
解：由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)= (x-2)
2
,即可求得
f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)< f(1)- 17 -