高中数学中的对称思想

高中数学中的对称思想
对称是一个数学概念，不仅仅指图形的对称关系,而是泛指某些 对象
在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称.是一种非常重要的
数学思想方法.许 多数学题目,利用对称思想解决,不仅简洁灵巧，而且可以
迅速降低题目难度，让学生容易接受，省去繁 杂的计算过程. 数学形式和
结构的对称,数学命题对偶性，渗透在高中数学的各个章节中.
关键词: 对称思想﹑对称性 高中数学
一、创造“形”的对称，巧妙转化
对于一些数学问题，若能洞察到其隐含的对称性，就能利用对称思想
把题目化难为易﹑避繁就简. 例1.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱
锥形骨架内，使皮球的表 面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为
（A）103 cm
（C）102 cm
答案：B
解法一:直接法
如图：球心O在高PH上，
OD=OE=R,
OD、OE分别为
AC,PA的中垂线，
OA?102
?R
2
,
OH?R
2
?10
2
,< br>OP?102
,由
OA?OH,即10
2
?R
2
?1 02?R
2
?10
2
,

1







（B）10cm
（D）30cm

解得R=10
解法二：利用对称思想
如果直接求球体的半径，不仅 画图构造半径
困难，计算量也较大；但利用对称思想，在上面
再补一个同样的四棱锥，根据上下 的对称性以及球体对称性，很容易想到
球大圆正好与四棱锥底面各棱相切，球体直径为正方形边长，R
=10,问题
迎刃而解.
例2. 自点
A
(-3,3)发 出光线
l
射到
x
轴上,被
x
轴反射,其反射光线所在直线与圆
C
：
x
2
+
y
2
-4
x
-4
y
+7=0相切,求光线
l
所在的直线方程.
解析 ：本题解法有很多种,若能巧妙利用对称思想,则可以转化为:“求过点
A
(-3,3)且与圆
C
：(
x
-2)
2
+(
y
-2)
2
=1关于
x
轴对称的圆
C
1
相切的直线方程”.
如图,
这样的转化不但明确了
解题思路,而且简化了解
题计算量.
解析：设直线l的方程
y-3=k(x+3)
则根据圆C
1
的圆心 C(2,-2)到直线l的方程的距离等于圆C
1
的半径1,可
求出
k??或 ?
，从而求出直线方程.
3
4
4
3
二、创造“数与式”的对称,诱发灵感

有些代数问题，用对称的眼光去观察﹑审视，通过形﹑式的对称，调
整元素之间的关系，往往能挖掘一条 解题的捷径，又快又准.
2

例3. 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是（ ）
A．3
答案：B
解析:可以将题目转化为：a＋b＋ab＝8，求a＋b的最小值．在这个问题中，a和b是对称的，因此最小值必然是在a＝b时取得．易知，a＝b时
均为2，所以最小值为4 ，故选B．
例4.函数
f(x)?
答案：
解析：这个问题乍看起来很复杂 ，无从下手，但仔细观察函数本身隐含着
的式的对称性，可以先把函数转化为
y?
1< br>ab?a?b
，
a
和
b
是对称的，
2
32
1
2x?x
2
?x?2?x
的最大值为________.
2
B．4
9
C．
2

11
D．
2

即
x
和2-
x
是对称的，因此最 小值必然在
x
=2-
x
时取得．易知，
x
＝1时
取 得最小值为.
3
2
三. 化“不对称”为“对称”

利用对称 思想解题并不是唯一的途径,具体题目还要进行具体的分
析，对称的结构形式容易被发现与感知,均衡协 调的结构往往能理顺思路,
不对称的关系则会干扰思考,这就要求我们能够由凌乱的不对称的关系中寻求对称和谐的结构特征. 根据题目的信息及需要,对原式增添某些项,使
其形成对称结构,促使问题得到求解.
例5. 已知x，y为实数，若4x
2
＋y
2
＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__ _______．
210
答案:
5

解析:从题目表面来看，x、 y没有形成明显的对称关系，但经过构造就会
3

发现2x与 y的对称关系，4x
2
＋y
2
＋
?2x?y
＝1，因此最大值必然是在2x
＝y时取得．易知，当
x?
210
1010
时2x＋y最大值为
5
.
,y?
105
1
2
例6. 设a，b，c，x，y，z是正数，且 a
2
＋b
2
＋c
2
＝10，x
2
＋y2
＋z
2
＝40 ，
a＋b＋c
ax＋by＋cz＝20.，则＝( )
x＋y＋z
1
A．
4

答案.C
解析:本题同时蕴含了三个对称关系，
a
，
b
，
c
的对称关系；
x
，
y
，
z
的对
称关系；以及两个方程的对称关系，即
a
，
b< br>，
c
与
x
，
y
，
z
的对称，所 1
以当
a
=
b
=
c
，
x
=
y
=
z
时正好符合以上三个条件，很容易求出比值为.
2
例7.在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2B
＋cosB＋co s(A—C)=1，则有( )
A．a、b、c成等差数列 B．a、b、c成等比数列
C．a、c、b成等差数列 D．a、c、b成等比数列
答案：B
解析：本题 只有通过变形cos2
B
-cos(
A
+
C
)＋cos(< br>A
-
C
)=1才能发现
A
与
C
的对称关系， 即
a
与b 的对称关系，马上排除了C，D两个选项．在结
合计算不难发现选B

1
B．
3

1
C．
2

3
D．
4

四. 利用对称,预测结果
?
2<
x
＋
y
<4，
例8． 设命题甲为
?
?
0<
xy
<3，


?< br>0<
x
<1，
命题乙为
?
?
2<
y
<3，
4

那么甲是乙的

( )
A. 充分不必要条件
C. 充要条件
答案：B
解析：根据不等式的性质可知 ，由乙可推得甲，反之不成立，因为命题甲
中
x
，
y
是对称关系，< br>x
与
y
的范围完全可以对调，所以很容易举出反例，
3
如x
＝
y
＝满足甲，但不满足乙，所以甲是乙的必要不充分条件．
2利用对称思想对题目的结果进行了一个合理预测，使得题目做起来方
向性很强，有意识的朝着目标努 力，就非常迅捷的得出了正确答案．所以
在做一些大题时也可以提前预测结果，再进行有方向性的解题， 提高解题
速度，保障了解题的正答率．
例8．已知函数
f(x)?e
x,g(x)?lnx,h(x)?kx.
，若对任意
x?(0,??)
，均有f(x)?h(x)?g(x)
成立，求实数
k
的取值范围．
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要
解析：如右图，本题中
f(x)?e
x
与g(x)?lnx.

图像是关于
y
=
x
对称的, 而
f(x)?h(x)?g( x)
,所以根据对称思想，直线的活
动范围也是关于
y
=
x
对称的,结合图形可求过
原点与曲线
f(x)?e
x
相切的切线斜率． ?
f
'
(x)?e
x
?过y?f(x)图像上任一点（x
0
,e
x
0
)的切线方程为：
y?e
x
0
?e(x?x
0
)
1
e
x
0

把（0, 0）点代入方程，x
0
?1,切线斜率k?e.
同理过原点与
y
=< br>lnx
相切的切线斜率
k?

1
e

所以
k?(,e)
．本题也可以用导数恒成立问题解决．
对称思想对于我们而言，更多的利用在图形的对称关系中，而忽略数
5