圆锥曲线中的方程思想方法

圆锥曲线中的方程思想方法（第一次课）
丹东市教师进修学院 宋润生
【命题趋势分析】
在解决数学问题时，对于一些形式上看似以非方程的问题出现，但经过一 定的数学变换
或构造，这一非方程问题就转化为方程形式并应用方程的有关性质处理这一问题，进而使数
学问题得到很好的解决，这一思想方法称之为“方程的思想方法”。
圆锥曲线是解析几何重要 内容，也是数学思想方法的重要载体，“方程的思想方法”在
圆锥曲线中有着广泛的应用，也是高考考查 的重点内容。全国新课标Ⅱ卷连续三年（2013、
2014、2015年）的圆锥曲线解答题都考了利 用“相关的点满足曲线方程”的解题方法。
【新课讲解】
x
2
y
2
1．（2013全国新1卷理10）已知椭圆
E:
2
?
2
?1(a?b?0)
的右焦点为
F(3,0)
，过点
ab
F
的直线交椭圆于
A,B
两点，若
AB
的中点坐标为
(1,?1)，则
E
的方程为
x
2
y
2
??1
A．
4536
答案：D
解：
x
2
y
2
??1
B．
3627
x
2
y
2
??1
C．
2718
x
2
y
2
??1
D．
18 9
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
?2
，
y
1
?y
2
??2
，
y
1?y
2
?1?01
??
．由
x
1
?x
2
1?32
x
1
2
y
1
2
x
2< br>2
y
2
2
11
y
1
?y
2
y
1
?y
2
??1??1
，，相减得
?
2
???0
，所以
a
2
?2b
2
．因
2222
2
abab
abx
1
?x
2
x
1
?x< br>2
222
为
a?b?9
，所以
a?18
，
b
2
?9
．
【新课练习】
2．（2010全国新理10）已知双曲 线
E
的中心为原点，
F(3,0)
是
E
的焦点，过F的直线
l
与
E
相交于A，B两点，且AB的中点为
N(?12,?15)< br>，则
E
的方程式为
x
2
y
2
??1
A．
36
答案：B
x
2
y
2
??1
B．
45
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
D．
??1
C．
6354

解：
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2< br>)
，则
x
1
?x
2
??24
，
y< br>1
?y
2
??30
，
y
1
?y
2< br>?15?0
设
??1
．
x
1
?x
2
?12?3
x
1
2
y
1
2
x
2
2
y
2
2
11
y?y
2
y
1
?y< br>2
x
2
y
2
??0
，
E:
2
?
2
?1
，则
2
?
2
?1
，
2
?
2
?1
，相减得
2
?
2
?
1< br>abab
ab
abx
1
?x
2
x
1
?x
2
所以
5a
2
?4b
2
，因为
a2
?b
2
?9
，所以
a
2
?4
，b
2
?5
．
x
2
y
2
3．（201 3全国新2卷理20（Ⅰ））平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
2
?
2
? 19(a?b?0)
ab
右焦点的直线
x?y?3?0
交M于A，B两点，P 为AB的中点，且OP的斜率为
求M的方程．
解：
1
，
2
x
1
2
y
1
2
x
2
2
y
2
2
y?y
2
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，
P(x
0
,y
0
)
，则
2
?
2
?1
，
2
?
2
?1
，
1
??1
，
aba b
x
1
?x
2
b
2
(x
1
?x< br>2
)y?y
y
1
由此可得
2
??
12
?1
，因为
x
1
?x
2
?2x
0
，y
1
?y
2
?2y
0
，
0
?
，所以
x
0
2
a(y
1
?y
2
)x
1
?x
2
a
2
?2b
2
，又由题意知，M的右焦 点是
(3,0)
，故
a
2
?b
2
?3
，因 此
a
2
?6
，
b
2
?3
，所
x< br>2
y
2
??1
． 以M的方程是
63
【新课讲解】
4．（2015年2卷理20）（本小题满分12分）
已知椭圆
C
：
9x?y?m
(m?0)
，直线
l
不过原点
O
且不平行于 坐标轴，
l
与
C
有
两个交点
A
，
B
，线段
AB
的中点为
M
．
（Ⅰ）证明：直线
OM
的斜率与
l
的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若
l
过点
(
222
m
,m)
，延长线段OM
与
C
交于点
P
，四边形
OAPB
能否为平 行四边
3
形？若能，求此时
l
的斜率，若不能，说明理由．
解：
（Ⅰ）设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x2
,y
2
)
，
l
的斜率为
k
，则9x
1
2
?y
1
2
?m
2
，
9x
2
2
?y
2
2
?m
2
，

y
1
2
?y
2
2
y
1
?y2
y
1
?y
2
y
1
2
?y
2
2
相减得
2
??9
，所以
k
OM
k??< br>2
??9
；
22
x
1
?x
2
x< br>1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?x
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线
OM
方程是
y??
9m
x
，设
l:y?m?k(x?)
，则
k3
(k
2
?3k)m
9
km
222
y??x
x
M
?
，代入得，若四边形
OAPB
9x?y?m
x??
P
2
k< br>3k
2
?27
9k?81
能为平行四边形，则线段
AB
与线段
OP
相互平分，从而
x
P
?2x
M
，即< br>m
(
2
k?3k)m
(,m)
在第一象，解得，，因为点??2
k?4?7k?4?7
12
2
2
3
3k?27< br>9k?81
km
限且在椭圆
C
外面，故
k?0
，因此 存在
k
1
?4?7
或
k
2
?4?7
使得四 边形
OAPB
能为
平行四边形．
【新课练习】
x
2?y
2
?1
上的一点，F
1
、F
2
是C上5． （2015年1卷理5）已知M（x
0
，
y
0
）是双曲线C：
2
??????????
的两个焦点，若
MF
＜0，则y
0
的取值范围是
1
?MF
2
A．
(?
答案：A
解：
33
,)

33
B．
(?
33
,)

66
C．
(?
2222
2323
,)
D．
(?,)

33
33
??????????
x
0
2
2
222
?y
0
?1
，所以
MF因为
F
1
(?3,0),F
2
(3,0)
，
1
?MF
2
?x
0
?y
0
?3?3y
0?1
，
2
由
3y
0
2
?1?0
．
6．（2014全国新2卷理20，本小题满分12分）
x
2
y
2
设
F
1
,F
2
分别是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右焦点，M是C上一点且
MF
2
与
x
轴
ab
垂直，直线
MF
1
与C的另一个交点为N．
（Ⅰ）若直线MN的斜率为
3
，求C的离心率；
4
（Ⅱ）若直线M N在
y
轴上的截距为2，且
|MN|?5|F
1
N|
，求< br>a,b
．

解：
b
2
（Ⅰ）根据
c?a?b
及题设知
M(c,)
，
2b
2
?3ac
，将
b
2
?a
2
?c
2
代入
a
22
2b
2
?3ac
，解 得
c1c1
?
，
??2
（舍去），故C的离心率为；
a 2
a2
（Ⅱ）由题意，原点
O
为
F
1
F
2
的中点，所以直线
MF
2
与
y
轴的交点
D(0,2 )
MF
2
∥y
轴，
?????????
b
2
2
?4
，即
b?4a
，①由
|MN|?5|F
1
N|
，得
DF
1
?2F
1
N
，设是线段
M F
2
的中点，故
a
3
?
x??c
?
2(? c?x
1
)?c
9c
2
1
?
1
，即?
N(x
1
,y
1
)
，则
?
2
，代入C的方程，得
2
?
2
?1
，②将
4ab
?
?2y
1
?2
?
y??1
?
1
9(a2
?4a)1
2
a?7
??1
b?4a?28
，故a?7
，①及
c?a?b
代入②，得，解得，
2
4a4a
22
b?27
．
【课后完成】
1．人教B选2-1教材P70练习B1；人教B选2-1教材P70练习2-5A1．
2．人教B选2-1教材P74巩固与提高7．
3．人教B选2-1教材P69例题4．
4．人教B选2-1教材P74巩固与提高8．

圆锥曲线中的方程思想方法（第二次课）
丹东市教师进修学院 宋润生

【检查提问】
x
2
y
2
1．（人教B选2-1教材P74 巩固与提高7）设椭圆的方程是
2
?
2
?1(a?b?0)
，斜率< br>ab
为1的直线不经过坐标原点
O
，而且与椭圆相交于
A,B
两点，
M
为线段
AB
中点，直
线
AB
与
O M
能否垂直？证明你的结论．
解：

?
x
1
2
y
1
2
?
2
?1
?
2
y1
?y
2
y
1
?y
2
b
2
?
ab
设
A(x
1
,y
1
)
，
B( x
2
,y
2
)
，则
?
，相减得
???2
．因为
22
x
1
?x
2
x
1
?x
2
a
?
x
2
?
y
2
?1< br>?
?
a
2
b
2
b
2
a?b?0，所以
?
2
??1
，线
AB
与
OM
不 能垂直．
a
2．（人教B选2-1教材P74巩固与提高8）设
A,B
分别 是直线
y?
2525
x
和
y??x
上
55
????????????
????
的动点，且
|AB|?25
，设
O
是坐标原点，动点
P
满足
OP?OA?OB
，求动点
P< br>得
轨迹方程．
解：
设
A(x
1
,y
1< br>)
，
B(x
2
,y
2
)
，
P(x, y)
，则
y
1
?
?
x?x
1
?x
2
2525
，
x
1
，
y
2
??x
2
，
?
y?y?y
55
?
12
2
?)因为
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1?y
2
)
2
?20
，所以
(
5
225
2
)(y
1
?y
2
2
)?()x
1
(?x
25
2
，即
20
x
2
y
2
5
2
4
2
y?x?20
，因此动点
P
得 轨迹方程是
??1
．
45
2516
【检查性练习】
?? ??????????????
3．如图，等腰梯形
ABCD
中，
AB?2D C
，
3AE?2EC
，一
双曲线经过
C,D,E
三点，且以
A,B
为焦点，则该双曲线离
A
D
E
C
B
心率是 ．
答案：
7

解：
x
2
y
2
c
设双曲线的标准方程为
2
?
2
? 1
(a?0b,?0
，
)
A(?c,0),C(,y
0
)< br>，由
2
ab
?
c
2
y
0
2
??1
?
????
2
????
y
0
2
c< br>2
?
4a
2
b
2
2c
2y
0
AE?EC
，得
E(?,
，消去
2
，解得
2
?7
，
)
，从而满足
?
2
2
3
55
b a
?
4c
?
4y
0
?1
?
?
25 a
2
25b
2

离心率为
7
．
【新课讲练】
4．（人教B选2-1教材P70练习A3）过抛物线
y
2< br>?2px(p?0)
的焦点的一条直线与这条抛
物线相交于
A,B
两点 ，求证：这两个交点到
x
轴的距离乘积是定值．
证明：
y
2y
2
p
p
显然直线
AB
斜率不为零，设
AB: x?ky?
，把
x?
代入得
?ky??0
，
2
2p 2p2
2
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，根据韦达定理
y
1
y
2
??p
2
，这两个交点到
x
轴距离乘积是定值
p
．
问：两个交点到
y
轴的距离乘积是否也是定值，怎么证明？
5．过抛物线< br>y
2
?
1
，B（
x
2
,y
2
），
x
上一定点
P
(2,1)
作两条直线分别交抛物线于A（x
1
,y
1
）
2
如果直线PA与PB的斜率互为相反数 ，证明直线AB的斜率为定值．
证明：
直线PA的斜率
k
PA
?
y
1
?1y?1
1
1
?
1
2
?< br>，同理PB的斜率
k
PB
?
．因
2(y
2
? 1)
x
1
?2
2y
1
?2
2(y
1
?1)
为直线PA与PB的斜率互为相反数，即
k
PA
??k
PB
，所以
y
1
?y
2
??2
．因此直线AB的斜率为
k
AB
?
y
1
?y
2
y
1
?y
2
11
????
．
x
1
?x2
2y
1
2
?2y
2
2
2(y
1?y
2
)4
2
6．过抛物线
y?2px(p?0)
的焦 点
F
，且倾斜角为
弦
AB
的垂直平分线经过点
(0,2)< br>，则
p?

?
的直线与抛物线交于
A,B
两点，若< br>4
A．
答案：C
解：
2

5
B．
2

3
C．
4

5
D．
4

3
2
?
y?2px
1
y?y
?
1
2
12
设
A(x
1
, y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
y
1
y
2
??p
，得
y
1
?y
2
?2p
，
?1
，由
?
2
x
1
?x
2
y?2px
?
1
?
1
x
1
?x
2
?
11
3p
(y
1
2
?y
2
2
)?[(y
1
?y
2
)
2
?2y
1
y
2
]?3p
，弦
AB
的中点为
(,p)
，因为
2
2p2p

4
p?2
??1
，解得
p?
．
3p
5
2
1
7．已知抛物线
C:y?ax
2
(a?0)
的焦点到准线的距离为，且
C
上的两点
A?
x
1
,y
1
?
、
4
1
B< br>?
x
2
,y
2
?
关于直线
y?x?m
对称，并且
x
1
x
2
??
，那么
m
=
2
35
A． B． C．2 D．3
22
弦
AB
的垂直平分线经过点
(0,2)
，所以
解：
x?x
11
2x
1
2
?2x
2
2
y
1
?y
2
因为
??1
，所以
x
1
?x
2
??
，
12
??
，
??1
，所以
224
x
1
?x
2
x
1
?x
2
y
1
?y2
515
3
?x
1
2
?x
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
?
，
AB
中点
(?,)
，代入
y?x?m得
m?

2444
2
8．已知函数
f(x)?x
2
的图象在点
A
与点
B
处的切线互相垂直，并交于点
P< br>，则点
P
的坐
标可能是
A．
(?,3)

答案：
D
解：

由题意设
A(x
1
, y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
f
?
(x)?2x
，则过
A,B
两点的切线斜率
k
1
?2x
1
，
3
2
B．
(0,?4)
C．
(2,3)
D．
(1,?)

1
4
1< br>k
2
?2x
2
，又切线互相垂直，所以
k
1
k
2
??1
，即
x
1
x
2
??
．
4
2
设
l
1
:y?y
1
?2x
1
(x?x
1
)
，因为
y
1
?x
1
2
，所以
l
1
:y?2xx
1
?x
1
，同 理
2
(x
1
?x
2
)[2x?(x
1
?x
2
)]?0
，因为
x
1
?x
2
，所以x?
l
2
:y?2xx
2
?x
，联立得
2x
1
?x
2
，
2
代入
l
1
， 解得
y?x
1
x
2
??
1
，故选D．
4
y
2
x
2
1
??1
上总有不同的两点
P, Q
关于直线
y??x?b
对称，求
b
的取值范围．9．椭圆
3
7525
解：
设
P(x
1
,y
1)
，
Q(x
2
,y
2
)
为椭圆上关于直线y??
1
y?y
x?b
的对称两点，则
12
?3
，
3
x
1
?x
2

?
x
1
2
y
1
2
??1
?
?
x
1
?x
2
?2x
0
?
7525
设弦
PQ
的 中点
M(x
0
,y
0
)
，则
?
，又
?
2
，两式相减并整理得
2
?
y
1
?y
2
?2y
0
?
x
2
?
y
2
?1
?
?
7525
13333
x
0
?y
0?0
，又因为
y
0
??x
0
?b
，所以
x
0
??b
，
y
0
?b
，因为
M(?b ,b)
在
32222
3
2
3
2
(b)(?b)22
yx
5353
??1
内，所以
2
椭圆．
?b?
?
2
?1
，解得
b
取值范围是
?
7 525
33
7525
10．人教B选2-1教材P70练习A2；人教B选2-1教材 P70练习2-5A4．