“课程标准”与“大纲”中数学思想方法的比较分析

“课程标准”与“大纲”中数学思想方法的比较分析
作者：刘晓玫 文章来源：数学教育学报

普通高中《数学课程标准》（以下简称为）《标准》的颁 布以及在全国部分省份的实验，拉开
了基础教育数学课程改革的帷幕。《标准》顺应社会发展对数学教育 提出的要求，体现出课
程的时代性、基础性和选择性，对未来高中的数学课程的理念、目标、内容和实施 等方面进
行了全面的阐述。

与以往的“数学教学大纲”相比。《标准》的变化体现 在多方面。它不仅充分反映了此次课
程改革的基本理念和要求，又从数学自身的角度在课程目标和内容的 选择、定位、要求等方
面，做出了富有开创性的工作。《标准》中提倡的“关注过程”“强调本质”“体 现数学的文
化价值”“发展数学应用意识”等都向我们昭示出高中数学课程的教育价值取向。而《标准》
中关于“数学思想方法”的提及和要求也正是其中的一个重要的方面，它充分体现出此次课
程改 革对数学在提高人的素养、促进人的全面发展的关注，突出了数学思想方法在数学课程
中的地位和人的发 展所起的作用。

数学思想方法是数学的灵魂，是数学教育价值的根本所在，它在数学教育中 的作用已越来越
被广大数学教育工作者所接受，“注重本质，淡化形式”也渐渐成为人们对数学教育教学 的
一种共识了。在《标准》之前的《数学教学大纲》中，已经把数学思想方法列为数学的基础
知 识和技能来要求，而且广大的数学教师也在教育教学实践中进行了很多有意义的尝试和努
力，取得了很多 可喜的成果。但因受以往数学教学大纲的编写体例所限，对数学思想方法的
要求在大纲中体现的还不够具 体和充分，这样教师在具体教学时对数学思想方法的贯彻和落
实就带有一定的盲目性和随意性，从某种程 度上来讲，使大纲中对数学思想方法的要求的落
实受到一定的影响。在新的数学课程标准中，关于数学思 想和方法的要求更加明确。因此，
充分认识和理解《标准》的要求，对我们理解新课程、指导我们的教学 实践都是非常重要的。

一、理想课程的理念和要求

在《标准》前的数 学教学大纲中（以2000年为例），数学思想方法作为基础知识的一部分，
在教学目的中被明确提出： “基础知识是指：高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、
定理以及由其内容反映出来的数学思想 方法，”在对思维能力以及其它几种能力的含义进行
界定时也反映出了对数学思想方法的要求。但在教学 内容和教学目标中，在使用“了解、理
解、掌握和灵活运用”的层次性目标动词描述时，外显的思想方法 层面的要求就很难看出了，
这样更加突出了对显性知识的要求。

在《标准》中，一 方面在课程的理念部分、课程目标中，明确提出了对数学思想方法的要求。
另一方面，在课程内容标准中 ，对数学思想方法的要求几乎渗透到每一个模块和专题中，同
时在实施建议部分也作了相应的要求。

1、数学思想方法是课程理念和目标的核心

《标准》在理念部分提出： “高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论
的发展过程和本质。数学课程要讲推理， 更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索

活动是学生理解数学概念、结论逐步形 成的过程，体会蕴含在其中的数学思想方法‥‥‥过
程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过 程的评价‥‥‥”

可以说，课程标准的理念，是在反复地思考数学教育以及数学课程的性质 和功能作用的基础
上形成的，它反映出了数学课程应该是怎样的，应该提倡什么？上面列举的是标准中明 确提
出的关于思想方法的要求，但实际上，在理念的其它部分，也都充分体现出对数学思想方法
的关注。如在“提高学生的数学思维能力”部分，列举了学生学习数学应经历的思维过程，
这种过程以及 在此过程中所形成的思维能力更多地依赖数学的思想方法的掌握；“发展学生
的数学应用意识”“与时俱 进地认识‘双基’”“强调本质，注意适度形式化”的提出都体现
出对学生数学素养的要求，其中，关注 更多地应该是思想方法层面的。而首次在《标准》中
提出数学课程要“体现数学的文化价值”，将数学课 程的意义和作用放在了更高的地位。数
学课程应适当地反映数学的思想体系，帮助学生形成正确的数学观 ，这些都将以数学思想方
法的渗透为起点，以思想方法的体会和领悟为目标。

基于 课程理念提出的课程目标，同样反映了在数学思想和方法层面的要求。此次课程改革中，
各个学科的课程 目标都从3个方面提出知识与技能、过程与方法、情感与态度。《标准》与
过去的“数学教学大纲”一样 ，将数学思想方法作为基础知识和基本技能的成分。不同的是，
在能力与方法、情感与态度目标里也渗透 了对数学思想方法的要求。

课程目标中提出，要提高学生“数学地提出、分析和解决问题的 能力”，“力求对现实世界中
蕴含的一些数学模式进行思考和做出判断”，这样的目标的实现不单单是靠 对知识和技能的
掌握以及具体的解体的技巧和方法的掌握，而是需要在对所学的知识充分理解的基础上进 行
升华，达到对更一般的思想和方法的理解和应用。“具有一定的数学视野，逐步认识数学的
价 值”等，是对学生的数学学习提出的更高的要求，这样的目标是需要学生通过对数学具体
内容的学习、感 受和体会数学的思想方法的广泛应用之后才能得以实现的。

数学教育作为教育的组成部分， 在形成人们认识世界的态度和思想方法方面起着着重作用，
它应使学生学会用数学的思考方式解决问题、 认识世界。数学课程的目标只有充分地反映数
学教育的价值，才能很好的实现数学教育的任务。

2、在具体内容要求中渗透数学思想方法

与以前的“数学教学大纲”不 同的是，《标准》不仅在总体目标中对数学思想方法的学习提
出了要求，而且也在具体内容的要求方面有 冲分的体现，从而使总目标在此方面的要求得以
实现有了必要的保证，也成为《标准》与以往“教学大纲 ”重要区别之一。

（1）显性要求和基本要求

《标准》中的必修课程 ，作为对升入高中的所有学生的要求，安排了一些基本的内容，一是
满足作为未来公民的基本数学需要， 二是为学生进一步的学习提供必要的数学准备。但与以
往的高中数学课程相比，《标准》在安排这些内容 时，更加强调使学生了解这些知识产生和
发展的背景，以及它们在现实世界中的应用，领悟其中的思想方 法。

《标准》在总的要求中提出“必修课程的呈现力求展现出由具体到抽象的过程，努力体 现数

学知识中蕴含的基本数学方法和内在的联系”，此外还结合相关的内容（如函数、解 析几何、
算法、概率等）提出了具体的要求。如《标准》对函数的学习要求是，学生应感受函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，应理解掌握如何运用函数来刻画现实世界中变量之间
相互依赖 的关系，“函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”，学生将学习“初步运用函
数思想理解和处理现 实生活和社会中的简单问题”。

算法是《标准》新增加的内容，这部分内容的增加更多的是 希望通过有关知识的学习，使学
生感受其中的思想和方法。中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世 公认的伟大成就。
现代信息技术的发展使算法重新焕发了前所未有的生机和活力，算法进入中学数学课程 ，既
反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在一个新的层次上的复兴。学生通过集中的和渗
透式的学习，通过实例掌握运用算法解决问题的方法，并进一步体会构造性解决数学的思想
方法，这些都 是算法作为小学数学内容的初衷和理由。《标准》基于这样的考虑，提出“中
国古代数学中蕴涵了丰富的 算法思想”，其“思想方法应渗透在高中数学课程的其它有关内
容中”。学生应在义务教育阶段初步感受 算法思想的基础上，进一步“体会算法的基本思想
以及算法的重要性和有效性”。

此外，统计、概率等内容的目标定位，也都特别的强调了对其中蕴涵的思想方法的要求。它
的选择和定位 及更多的是关注了其应用性和思想性。

（2）隐性要求和较高要求

在 选修内容中，《标准》除对出现在必修内容中的思想方法做了进一步要求外，又在选修内
容中突出反映了 对思想方法的关注。尤其是在选修系列3和4中，《标准》选择了既是数学
中的基础性内容，又包含了丰 富的数学思想方法的专题，希望通过这些专题的学习使学生更
好地感受数学的内涵，有利于扩展学生的视 野，有利于提高学生对数学的价值的认识。所以
有些内容虽然看起来深奥，似乎是以往大学数学课程中的 内容，但对这些内容的要求，不在
于其严谨性和系统性，当然也不是通俗地讲讲故事，而是希望“让学生 对它们的基本内容和
基本思想方法有一个初步的了解”。

例如在“数学史选讲”专 题中，《标准》要求“内容应能反映数学发展的不同时代的特点，
要讲史实，更重要的是通过史实介绍数 学的思想法方法，使学生体会数学的重要思想和发展
轨迹”。在其它的专题中，《标准》也都相应地提出 了蕴涵在内容中的思想方法层面的要求。
如在专题“三等分角和数域扩充”中，学生将在了解一些相关的 基本知识的基础上，感受几
何问题代数化的过程，同时通过数学史的介绍，能了解在数学史上当人们去寻 找解决这样的
问题的方法是否是根本不存在的。于是就有了数学家对不可能问题的研究和思考，除三等分
角外，在数学历史上，这样思考问题的例子还有“第五公设”的证明、“代数方程的根式解”
的 问题的讨论等。这种不可能问题，在数学上引起了极有价值的发展，数学家面临着这样的
挑战：怎样才能 证明某种问题是不可解的。在解决三大几何作图问题不能的过程中，数学家
所使用的方法不是就事论事， 即他们的着眼点不是一个一个地去说明某些作图问题为不可
能，而是寻求正面的回答：怎样才能刻画出圆 规直尺可以做出的所有可作图的特征？对这个
问题回答了以后，三大几何作图问题以及其它的尺规作图问 题的就迎刃而解了。因此，学生
通过本专题的学习，既了解了古代数学的著名作图问题，又通过对问题解 决的过程了解，体
会蕴涵在其中的重要的数学思想方法，这些思想方法对于其它问题的思考也是十分重要 的。

3、关注实施过程中数学思想方法的落实

教材的 编写、教师的教学以及对教学的评价是实现课程理念、目标和内容要求的重要保证。
以往的“数学教学大 纲”在“教学中应注意的问题中”没有明确指出对数学思想方法的要求，
往往是暗含其中的。而《标准》 在实施建议（教学、评价和教材编写）中也关注了数学思想
方法的落实。

《标准》 在教学建议中指出，教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，像函数、
空间观念、运算、数形 结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等一些核心概念和基本思
想要贯穿高中数学教学的始终，帮助 学生逐步加深理解。由于高中的数学课程内容是以模块
和专题形式呈现的。因此《标准》要求在教学中应 注意沟通各部分之间的联系，通过类比、
联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联 系，感受数学的整体性，感
受数学的思想方法，从而更好地理解数学的本质。对学生数学学习的评价要注 重对数学本质
的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模拟以及复杂技巧，这从另一个角度反
映了《标准》的要求。

教材是课程标准的物化，是课程的具体体现形式，它在素材 的选择、内容的呈现以及内容设
计的弹性方面都将对学生的数学学习产生一定的影响。《标准》要求教材 在上述方面要有利
于数学思想方法的体现。例如，在统计内容中，可以选择具有丰富生活背景的案例，展 示统
计思想和方法的广泛应用。为了满足不同学生对数学学习的需求，为学生提供更多的学习机
会和空间，《标准》提倡教材编写应具有弹性，结合相关内容安排一些引申的具有探索性的
问题，或者拓 展性的包含重要的数学思想方法的内容。

二、理想课程与现实的差距

按照泰勒（Ralph ）关于课程理论的4个基本问题来审视我们的课程标准，实际上，
作为 理想课程的《标准》对数学课程应该达到怎样的目标，为达到目标应提供怎样的学习内
容，如何有效地组 织这些内容以及怎样进行评价等问题都有所阐述。当然，课程的编制活动
远非如此，对这些问题的回答还 需在过程中研究和发展。但是就文本而言，我们已看到关注
数学的本质——数学的思想方法，已经成为《 标准》的核心，这样的变化就像将一盏不很亮
的航标灯变得明亮起来。

事实上，实 施课程以及获得课程与作为理想课程的《标准》之间还有一定的距离。应该看到，
虽然经过若干年数学教 育观念的转变以及教学实践的探索，数学教育工作者对数学思想方法
的认识在不断的提高，但现实的教育 环境和评价方式，教师的自身数学素养等很多客观的因
素，都给课程目标的现实带来一定阻碍。

笔者曾进行过一次有关数学思想方法的问卷调查，调查对象是研究生课程班的学员，其中对< br>“你对合情推理的认识和了解”的回答，“很了解”“基本了解”“不了解”的比例分别为31%、
35%、35%；对“你对公理化方法的认识和了解”的回答，“很了解”“基本了解”“不了解”
的 比例为20.4%、36.7%、42.9%，这虽然是一次简单的调查，但从某种程度上可以反映教师
的一些实际情况（因这些学员能代表教师中的一般或更高些的水平），而实际的教学中也反
映出同样的问 题。针对目前的情况，我们认为下面几个方面是制约数学教学中落实数学思想
方法的主要原因。

第一，社会上片面追求考试的成绩和升学率，导致教学中关注知识与技能等结 果性目标的现
象还比较严重。而评价的甄别功能的膨胀以及评价的形式的局限性，使得对学生数学学习的
评价更多地局限在对知识与技能的考查，这样的导向致使在数学教育中对数学思想方法的关
注往 往难以体现，尽管人们已经认识到它的意义和作用。

第二，数学思想方法与知识和技能相比 ，是相对较稳性的，是更高一层次的。他不像知识与
技能那样看得见、摸得着，掌握和理解起来那样立竿 见影，所以也往往被教师们所忽视。对
数学的本质的认识，对数学思想方法的理解，是要有过程的，是要 在展现知识的产生、发展
和应用的过程中体现出来的，是要在学生的自主探索和实践的过程中体会出来的 ，但是这样
的过程往往被看作是时间的浪费，教学效率的低下，浮躁的心理状态，这样的急功近利使教< br>学中数学思想方法的渗透难以落到实处。

第三，从《标准》的内容和对数学思想方法 的要求来看，他对教师的数学素养提出了更高的
要求。对于一部分具体的数学内容来说，其数学本质是什 么？蕴含了怎样的数学思想方法？
如何向学生展现它们？设计具有弹性的内容时，素材如何选择？数学思 想方法如何体现？这
些问题对于教师们来讲都是具有挑战性的，也是实现课程目标必须面对的。因此，教 师的业
务素养的提高是必须的。

为了更好地缩小理想与现实的距离，观念的改变是 至关重要的，充分认识数学的教育价值，
数学对人的发展的影响，相信数学教育工作者会更加关注数学思 想方法。希望我们的教学更
多的关注过程而不仅仅是结果，也希望我们的评价更多地关注本质而不仅仅是 形式。