高考数学难题突破的思维方法

数学综合题思维方法的突破



教
学
设
计
案
例





江苏省涟水中学






1
叶顺亚

§1.教学设计的说明
一 设计的背景
目前我国数学教学主要是应试教学，而现 在的应试教学主要
停留在双基教学，还有就是通过题海战术使学生对学过的知识以及题型方法在遇
到刺激时产生条件反射，这就是所谓的熟练掌握基础知识和基本方法。这种教学
的后果就是：学生只会 根据学过的知识方法，直接利用他们解决问题，学生没有
探究的意识，不知如何探究，更不会创新，就是 从应对高考的角度来看遇到难题
也是无从下手。针对这种情况，笔者曾经过多年的思考，如何能突破？今 年有幸
参加中学数学教学参考编辑部组织由罗增儒教授主讲的解题教学研讨班，从中获
得一些启 发，笔者想根据自己的想法做一些尝试，希冀在学生探究能力培养方面
获得有益的突破，既能使学生在高 考中在应对难题方面的能力能有所提高，也能
在今后他们个人的发展中给予有益的帮助，更希望通过这种 方法能对中国的数学
教学走出现在的填鸭式和题海战术有所帮助，也同时希望为中国能培养出更多具有探究能力和创新能力的人才做出贡献；当然这只是我个人的想法，是否能起到
预期的目的还要通过 实践的检验，更需要得到专家和同仁们的帮助。
本专题就是基于这样的想法，在高考题的基础上设计出 让学生通过自己的思
考探究初步感受如何探究问题的思维过程，希望以后再通过多次的思维训练能对他们思维能力的提高以及探究能力的提高有较大的帮助。
二 设计的目的和依据
为了 使学生在解决难题的能力方面能有一个较大的
提高，使学生学会思考和探究，使学生走出刺激——反射的 怪圈，升华到能自主
探究和科学地探究的层面。笔者根据罗增儒教授的解题教学的理论和波利亚的如何解题的理论，进行相关的设计。


2

§2.教学设计
探究课题：导数的几何意义在不等式中的应用探究
研究内容
导数的几何意义在不等式中的应用探究
教学目标
1． 知识目标：
使学 生通过探究掌握导数的几何意义与函数性质及图像之间关系，熟悉利用几何意义
转化问题的方法；
2． 能力目标：
使学生通过探究掌握数形结合方法在数学中的运用，逐渐形成自觉使用数形 结合解决
数学问题的习惯，还要让学生通过探究增强转化与化归的意识；
3． 情感目标 < br>使学生通过探究感受研究过程，体验科学研究过程，逐渐形成自觉探究意识、尊重科
学的品格，为 今后人生发展奠定良好的基础。
教学重难点
1． 重点：
使学生学会数形结合进 行探究，能利用数形结合发现问题，进行归纳，并能从特殊到
一般的思维方法的培养
2．难点：

问题的探究过程的可控性差，既要让学生充分发挥自主性，又要对学生适当控制。
教学环境
1． 学生状况：
(1)本班学生知识、能力相对较差，自主探究困难较大；（2）学生进入 高三知识方法相
对熟悉，容易产生共鸣；（3）学生平时着重点是高考而不是对问题的探究，因而对问< br>题探究兴趣不高；（4）当问题探究与高考紧密联系时才容易使学生投入从而产生较好
的教学效果 。
2． 教室条件：
投影仪，可充分利用电脑演示相关的几何特征

3

教学方法
引导探究
教学流程

（课前完成）问题思考与分组讨论 小组交流


教学过程
（一）引言
在高考数学较难的问题中，一般问题特殊化和特殊问题一般化是一种常考的方法；例
如： 1．已知
?x,y?R
?
,f(xy)?f(x)?f(y),
且f(3 )=1,则f(3
10
)= ．
2．已知
?x,y?R,f(x?y)?
引导探究 点评反思 总结
?
f(x)?f(y)
,
则
f()?
．．
4
1?f(x)f(y)
ba
??6cosC
，则
a b
、C
的对边分别为
a、b、c
.若3．在锐角
?ABC
中 ，角
A、B
tanCtanC
?
的值是_________．
ta nAtanB
??????????
4．已知，O，A，B是平面上的三点，向量
OA ?a,OB?b,
设P为线段AB的垂直平分线CP
????????
????
上任意一点，向量
OP?p.若|a|?4,|b|?2
，则
p?(a?b)
= ．
5．（2010年全国高中数学联赛4题）已知数列
{a
n
}
是公差不为0的等差数列，
{b
n
}
是等比
数列，其中a
1
=3,b
1
=1,a
2
=b
2,3a
5
=b
3
,且存在常数α、β使得对每一个正整数n，都有
a
n
?log
?
b
n
?
?
；则α+β= ．
6．在平面直角坐标系
xOy
中，如图，已知椭圆
x
2
y
2
??1
的左、右顶点为
A、B
，右焦点为
F
， 设
95
过点T（
t,m
）的直线
TA、TB
与此椭圆分别交 于点
M
(x
1
,y
1
)
，
N(x
2
,y
2
)
，其中
m?0
,
y
1
?0,y
2
?0
．

4
M
T
N

（1）设动点
P
满足
PF?PB?4
,求 点
P
的轨迹；
（2）设
x
1
?2,x
2
?
22
1
，求点
T
的坐标；
3
（3）设
t?9
,求证：直线
MN
必过
x
轴上的一定点（其坐标与
m
无关）．
由此可以看出，当我们解决这些具有一般性的而其结论特征是确定的问题时，如果在
这些问题处理时，采取特殊状况进行处理会使得问题很简单；
我们再看下面高考中出现的问题：
1．我们知道，如果定义在某区间上的函数
f(x )
满足对该区间上的任意两个数
x
1
、
x
2
， < br>总有不等式
f(x
1
)?f(x
2
)x?x
?f(< br>12
)
成立，则称函数
f(x)
为该区间上的向上凸函数
22
（简称上凸）．类比上述定义，对于数列
?
a
n
?
，如果对 任意正整数
n
，总有不等式：
a
n
?a
n?2
?a
n?1
成立，则称数列
?
a
n
?
为向上凸数列（简 称上凸数列）. 现有数列
?
a
n
?
满足
2
如下两个条件：
（1）数列
?
a
n
?
为上凸数列，且
a
1
?1,a
10
?28
；
（2）对正整数
n
（
1 ?n?10,n?N
*
），都有
a
n
?b
n
?20
，其中
b
n
?n
2
?6n?10
．
则 数列
?
a
n
?
中的第五项
a
5
的取值范围 为 ．
2．（94高考22题）已知f(x)=tanx,
x?(0 ,
?
)
,若
x
1
,x
2
?(0,)且x< br>1
?x
2
。求证：
22
?
f(x
1
)?f(x
2
)x?x
2
?f(
1
)
．
22
3．（95高考25（1）题）设
{a
n
}
是由正数组成的数列 ，S
n
是其前n项的和，求证：
lgS
n
?lgS
n?2< br>?lgS
n?1
．
2
4．（2004高考文科18题）已知数列{a
n
}
为等比数列，a
2
=6,a
5
=16 2.．
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式；（2）设S
n
是数列
{a
n
}
的前n项的和；求证：
我们从这些问题中又 能发现什么呢？
我们在解决数学问题时，有的问题看起来非常复杂或非常困难，这些问题往往具有更< br>一般的性质，我们通过研究他们的一般性质可能更容易使问题得到解决，或者更接近我们的

5
S
n
S
n?2
?1
．
S
n?1

知识范围，这样就有利于我们利用学过的知识和方法去解决这个问题。我们再看下面的问题．
【设计意图】
使学生通过高考题感受从一般到特殊和从特殊到一般的在高考中的作用，激发学 生对
将要研究内容的探究的积极性，使之能更好的投入问题探究中去．
（二）思考问题：
问题1 已知函数
g(x)?xlnx
.设
0?a?b
，研究
的大小。
问题2 已知函数
研究a?0时，f(
g(a)?g(b)与2g (
a?b
)
2
2
f(x)?x
2
??alnx(x ?0),x
1
,x
2
?R
?
且x
1
?x< br>2
,

x
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)

)与的大小。
22
【设计意 图】使学生通过问题探究，感受探究过程，熟悉探究方法，提升探究能力．
（三）小组交流
（四）引导探究（借助几何画板演示）
1．结合下列函数图像的特点，观察
f(x
1
?x
2
2
)与
f(x
1
)?f( x
2
)
2
的大小
：
x
2
（1）
f(x)=2
；（2）
f(x)??lnx
；（3）
f(x)??x
；（4）
f(x)?
3x?11
(x??)
．
2x?12
你能否给出一般的规律并给予证明？
2．再看下列函数：
（1）
f(x)?cosx(x?(?
??
,))
； （2）
f(x)?x(x?0)
．
22
2
3
【设计意图】 使学生从前面的问题中走出来，发现一般的规律，找出一般问题的解决之
路，从而产生更为简洁的证明方 法。
（五）点评反思
我们刚才的探究出现困难的关键是受到认识的封闭影响，只局限于问题 本
身的探究，不能把目光看得更远，如果我们能从问题中撇开具体的大小问题，而
是关注
f(
x
1
?x
2
2
)与
f(x
1
)?f(x
2
)
2
的大小和一般函数之间的关系，研究他们的大小
受到什么因素影响，再回到这两个数的本质是中点函数值和函数值的中点，借助

6

函数图像就可以容易发现他们大小的规律。
通过研究函数的凹凸性 与导数之间的关系，可以发现影响图像的凹凸的因素
是切线斜率的变化，这样我们又可以利用导数的导数 研究函数图象的凹凸性，从
而得出一般函数凹凸性对这两个函数值大小的影响的规律；于是，我们的目标 只
要能证明导数的导数的正负与这两个数大小的关系，即可解决上面的两个问题。
【设计意图】给学生指出 从特殊到一般探索的思维过程及其方法，使学生在
感受探究过程的情况下再认 识探究问题的思维过程，从而能逐渐地学会探究
。
（六）总结
1
．知识
探究：
x
1
?x
2
f(x1
?x
2
)
)?
22
x?xf(x
1
?x
2
)
（2）
f

(x)?0?f
'
( x)递减?f(
12
)?
22
'
（1）
f(x)?0?f(x)递增?f(
2
．
思维方法：
当一个一般性 的问题思考比较困难时，可以考虑其特殊的情况，从特殊情
况入手分析，寻找突破口以及解决问题的方法 ；当一个特殊的问题思考比较困难
时，可以通过类比考察是否具有一般的规律，能否解决一般的情况的问 题？
















7

§3.教学反思

由于这次课学校的场所不太理想，多媒 体设施也是临时处理，课堂就显得不
理想，和我原来设计的就有很大差距；下面就这节课的设计和课堂过 程谈谈我的
感受：
一 关于本课的引入
1．根据学生的原有认知结构：（1）知识 储备；（2）方法储备。由于高三已经具
有足够的知识储备，一轮复习中已经复习完函数与导数，因此， 开设这次探究课
大多数学生不会有知识方面的障碍。
2． 通过引入的问题使学生产生认知冲突，但是在引入部分给学生的思考时间有
点少了。
二 关于心知的形成
由于时间的关系，留给学生的探究时间显得不足，还有上课时未能给学生充分的时间进行小组交流。过程还是能充分体现：探究、发现、再探究；整个的流
程是按照：

直观 感知观察 操作确认 抽象概括 思考探究
对学生的认识形成还是基本上做到水到渠成，教师基本上遵循引导探究的课堂教
学。
三 新知运用
1． 通过学生自己建立问题与新知的关系，他们对新知的运用就显得比较自然，
没有障碍。
2． 本课还是能够体现注重目标意识、理解与强化新知作用。
四 思想方法
基本上能够使 学生通过本课的探究，学会从特殊到一般的探究方法，也使学
生知道解决一个难题的思维过程，当然仅凭 这一节课是不能解决问题的，学生的
探究创新能力是要靠长期的培养才能形成，本课只是想做一次尝试， 总结经验，
希望能走出一条好的路来。

本教案为市内公开课教案

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