人教版高中数学选修(1-2)-1.1《回归分析基本思想及其初步应用(第2课时)》教学设计

选修1-2
1.1.1 回归分析基本思想及其初步应用第二课时(谷杨华)
一、教学目标
1.核心素养:
通过学习回归分析的基本思想及其初步应用，初步形成基本的数据分析能力.
2.学习目标
（1）1.1.2.1 理解相关系数概念
（2）1.1.2.2 判断刻画模型拟合效果的方法—相关指数和残差分析
（3）1.1.2.3 能用回归分析的方法对简单的案例进行分析.
3.学习重点
判断刻画模型拟合效果的方法—相关系数、相关指数和残差分析
4.学习难点
判断刻画模型拟合效果的方法—相关系数、相关指数和残差分析
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1
阅读教材P4－P6，思考在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决那些问题？
任务2
刻画模型拟合效果的方法有哪些？
2．预习自测
1.下列说法正确的是 （ ）
A.在统计学中,回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
?
x?
a
?
?
b
?
至少经过其样本数据点
(x1
,y
1
),(x
2
,y
2
),L,(xn
,y
n
)
中的一个B.线性回归方程对应的直线
y
点
C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高
D.在回归分 析中,相关指数
R
2
为
0.98
的模型比相关指数
R
2
为
0.80
的模型拟合的效果差
【知识点：回归分析】
解:C A.回归分析反映两个变量相关关系的数学方法，由建立回归方程来预报变量的情况.错< br>?
x
?
a
?
?
b
?
，
过其 样本数据平均数点误；B.线性回归方程对应的直线
y
，错误；
D.相关指数
R
2
越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好. 错误；

C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高. 正确.
2.两个变量
y
与
x
的回归模型中，分别选择了4个不同模 型，它们的相关指数
R
2
如下，其中拟合
效果最好的模型是（ ）
A.模型1的相关指数
R
2
为0.99
B.模型2的相关指数
R
2
为0.88
C.模型3的相关指数
R
2
为0.50
D.模型4的相关指数
R
2
为0.20
【知识点：回归分析】
解:A由相关指数的意义知，
R
2
越大说明相关性越强，故选A.
（二）课堂设计
1.知识回顾
⑴对于一组具有线性相关关系的数据
( x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),L,( x
n
,y
n
)
，
x
1
?x
2< br>?L?x
n
y?y
2
?L?y
n
1
n
1
n
（x,y)
为样本点的中心.
x?
?
x
i
?,y?
?
y
i
?
1
,
则称点
n
i?1
nn
i?1
n
（2）线性回归方程：
y?bx? a
，其中.
b?
???
?
?
(x?x)(y?y)
?
xy?nxy
iiii
i?1
nn
?
(x?x)
i
i?1
n
?
2
i?1
n
?
x
i ?1
2
i
?nx
2
，
a?
y?bx

?
?
（3）线性回归模型：y=bx+a+e其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.
2.问题探究
问题探究一 什么是相关系数？相关系数可以用来解释什么？
●活动一 理论研究，概念学习—相关系数
我们知道，两个变量x和y正（负）相关时，它们就有相 同（反）的变化趋势，因此可以用
回归直线来描述这种关系.与此相关的一个问题：如何描述x和y之间 种线性关系的强弱？
在统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变量x的取 值
x
i
，变量
y的观测值为
y
i
（
1?i ?n
），则两个变量的相关系数r的计算公式为

r?
?
(x?x)(y
i
i?1
n
2
n< br>i
i?1i?1
n
i
?y)

i
?
(x?x)
?
(y?y)
2
对于相关系数r，当为正时，表明变量x和y正相 关，当r为负时，表明变量x和y负相关.
统计学认为，对于变量x,y，如果
r?
?
?1,?0.75
?
，那么负相关很强；如果
r?
?
0. 75,1
?
，那么正

相关很强；如果
r?
?
?0.75,?0.30
?
或
r?
?
0.3,0.75
?< br>，那么相关性一般；若
r?
?
?0.25,0.25
?
，那么 相
关性较弱.
●活动二 学以致用，相关系数的应用
例1 对下列各图中两个变量间的线性相关程度作出分析

【知识点：相关系数】
详解：图1，r=0.97相关性很强，而且是正相关；图2，r=-0.85相关性很强，而且是负相关 图3，r=0.24，不能用线性回归模型描述两个变量的关系；图4，r=-0.05乎没有什么关系，不 能
用线性回归模型描述两个变量的关系.
点拨：当相关系数
r
越接近1时， 两个变量的线性相关程度越高，当相关系数
r
越接近0时，
两个变量的线性相关程度越 低.
问题探究二 什么是残差、及残差平方和、如何用残差判断拟合效果？ 重点、难点知识★▲
●活动一 残差的定义
在线性回归模型中，e是用bx+a报真实值y的随机误差，它是一个 不可观测的量，那么应该
怎样研究随机误差呢？
在实际应用中，我们用回归方程
y? bx?a
中的
y
估计回归模型y=bx+a+e中的bx+a.由于随
机误差 e=y-(bx+a)，所以
e?y?y
是e的估计值.对于样本点
??
????

(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),L,(x
n
,y
n
)

而言，它们的随机误差为

e
i
?y
i?bx
i
?a,i?1,2,L,n

其估计值为

e
i
?y
i
?y
i
?y
i
?bx
i
?a

i?1,2,L,n

称
e
i
是相对于点
（x
i
,y
i
)
的残差.
●活动二 学以致用，残差的应用
如何发现数据中的错误，如何衡量模型的拟合效果？ 通过残差可以发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果.下表是女大学生身
高和体重 的原始数据以及相应的残差数据.
编号
身高cm
体重kg
y
i

e
i


我们可以利用图形来分析 残差.作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本的编号或者解释
变量的数值，这样作出的图形称为残差 图.下表是以女大学生编号为横坐标的残差图
残差图
残差
8
6
4< br>2
0
0
-2
-4
-6
-8
编号
12 3456789
ei
?
????
1
165
48
54.373
-6.373
2
165
57
54.373
2.627
3
157
50
47.581
2.419
4
170
54
58.618
-4.618
5
175
64
6
165
61
7
155
43
45.883
-2.883
8
170
59
58.618
0.382
62.863 54.373
1.137 6.627
< /p>

从残差图中可以看到第1个样本点和第6个样本点的残差较大，需要确认是否出现人为的错
误.
残差所能说明的情况：
① 样本点的残差比较大，确认采集数据时是否出现人为的错误或其他原因；
②残差点比较均匀地落 在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽
度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的 预报精度越高.
●活动三 多角度刻画拟合效果
从残差图中我们可以大致判断模型的拟合效果，能否定性分析模型的拟合效果呢？
我们可以 用
R
2
是刻画回归效果的量，除了表示回归模型的拟合效果，也表示解释变量和预报变量的线性相关关系（在线性回归模型中）.其计算公式是
?
)
?
(
y?y
i
n
2

R
2
?1?
?
(y?y)
i
i?1
i?1
n

2
对于已获取的样本数据，
R
表达式中的
?< br>?
y
i
?y
?
为确定的数.因此
R
2
越大，说明残差平方
2
2
i?1
n
?
?
越小，模 型的拟合效果越好；
R
越小，说明残差平方和
?
?
y
i?y
?
?
越大，模型的和
?
?
y
i
? y
2
i?1i?1
n
2
n
2
拟合效果越差.在线性 回归模型中，
R
2
越接近于1，回归的效果越好（因为
R
2
越接近于1，表示
解释变量和预报变量的线性相关性越强）.在线性回归模型中，
R
2
同时也表示解释变量对预报变
量变化的贡献率.
2
?
??
y?y
?
ii
n
R
2
?1?
?
?
y
i?1
i?1
n
?0.64
，即解释变量对预报变量变化约贡献了 64%，而随机误差贡献了
i
?y
?
2
剩余的36%.
问题探究三
●活动一 学以致用
例2.某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：
次数x
30
成绩y
30
33
34
35
37
37
39
39
42
44
46
46
48
50
51

根据数据分别计算相关系数、残差、相关指数
R
2
，判断能否用线性回归模型，若能求出回
归方程并试预测该运动员训练47次以及5 5次的成绩，若不能说明理由.
【知识点：线性回归，线性相关关系】

详解：（1 ）作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如图1所示，由散点图可知，
它们之间具有线性相关 关系.

（2）列表计算：
次数
x
i

30
33
35
37
39
44
46
50
成绩
y
i

30
34
37
39
42
46
48
51
x
i
2

y
i
2

x
i
y
i

900
1122
1295
1443
1638
2024
2208
2550
8
2
i
8
2
i
900
1089
1225
1369
1521
1936
2116
2500
900
1156
1369
1521
1764
2116
2304
2601
由上表可求得
x?39.25,y?40.875
，
?
x?12656
，
?
y?13731
，
i?1i?1

?
xy
i
i?1
8
i
?13180
， < br>所以
b?
?
(x?x)(y?y)
?
xy?8xy
i iii
i?1
88
?
(x?x)
i
i?1
8
?
2
i?1
8
?
x
i?1
2
i
?x
2
?1.0415.

a?y?bx??0.00302
，所以 回归直线方程为
y?1.0415x?0.00302.

^
（3）计算相关系数
将上述数据代入
r?
?
xy?8x y
ii
i?1
8
?
(x
i
2
?8x)(< br>?
y
i
2
?8y)
i?1i?1
8
2
8
2
查表可知
r
0.05
?0.707
，而
r? r
0.05
，
得r?0.992704
，

故y与x之 间存在显著的相关关系.
（4）残差分析：
作残差图如图2，由图可知，残差点比较均匀地 分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合
适.

计算残差的方差得
?
2
?0.884113
，说明预报的精度较高.
（5）计算相关指数
R
2

计算相关指数
R
2＝0.9855.说明该运动员的成绩的差异有98.55％是由训练次数引起的.
（6）做出预报
由上述分析可知，我们可用回归方程
y?1.0415x?0.00 302.
作为该运动员成绩的预报值.
将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y＝49和y＝57，
故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.
点拨：1.解答本类题目应先通 过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归
方程的公式求解回归方程，并利用残差 图或相关指数R
2
来分析函数模型的拟合效果，在此基础
上，借助回归方程对实际问题 进行分析.
2.在使用回归方程进行预报时要注意：
(1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；
(2)我们所建立的回归方程一般都有时间性；
(3)样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值.
3.课堂总结
【知识梳理】
（1）在统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱.若相应于变 量x的取值
x
i
，
变量y的观测值为
y
i
（
1?i?n
），则两个变量的相关系数r的计算公式为
^

r?
?
(x?x)(y
i
i?1
n
2
n< br>i
i?1i?1
n
i
?y)
i
?
(x?x)
?
(y
??
?y)
2

（2）数据点和它在回归直 线上相应位置的差异是随机误差的效应，称
e
i
?y?y
i
(i?1 ,2,3,L,n)
为残差.由
y
i
?bx
i
?a,
得
e
i
?y
i
?bx
i
?a(i?1,2,3, L,n)
.
???
???
【重难点突破】
（1）残差图分析： 若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，
这样的带状区域的宽度越窄，说 明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度就越高.若残差点分
布在其他形状的区域，则说明所选用的回 归模型不是最好的，有改进的空间.
2
2
（2）
R
越大，说明残差 平方和
?
(y
i
?y)
越小，模型的拟合效果越好；
R越小，说明残
2
i?1
n
差平方和
?
(y
i< br>?y)
2
越大，模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，
R
2
越接近于1，回归的
i?1
n
效果越好（因为
R
2
越接近 于1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）.在线性回归模型
中，
R
2
同时也表示解释变量对预报变量变化的贡献率.
4.随堂检测
1.下列各组变量之间具有线性相关关系的是（ ）
A.出租车费与行驶的里程
B.学习成绩与学生身高
C.身高与体重
D.铁的体积与质量
【知识点：线性回归，线性相关关系】
解: C
2.已知x与y之间的几组数据如下表：
x
y
1
0
2
2
3
1
4
3
5
3
6
4
^^^

假设根据上表数据所得线性回归直线方程y＝bx＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0) 和
(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是（ ）
A.b >b′，a >a′
^^

B.b >b′，a C.b a′
D.b 【知识点：线性回归，线性相关关系】

^^
5
^
13571
解:C b′＝2，a′＝－2，b ＝
7
，a ＝y－b x＝
6
－
7
×＝－
23
，
∴b a′.选C.
3.四名同学根据各自的样本数据研究变量
x,y
之间的相关关系， 并求得回归直线方程，分别得到
以下四个结论：
①
y
与
x
负相关且
y?2.3x?6.1
；
②
y
与
x
负相关且
y??3.37x?5.1
；
③
y
与
x
正相关且
y?3.7x?2
；
④
y
与
x
正相关且
y??4.56x?6.17
.
其中一定不正确的结论的序号是（ ）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
【知识点：线性回归，线性相关关系】

解：D ①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确.
4.如果散点图中的 所有的点都在一条斜率不为0的直线上，则残差为_____，相关指数
R
2
＝___ __.
【知识点：线性回归，线性相关关系】

?
i
?y
i
?y
?
i
?0
.
?
i

∴相应的残差
e
解：0， 1 由题意知 ，
y
i
?y
?
?
?
?
^
^
^
^
^^
^^
相关指数
R
2
?1?
?< br>)
?
(
y?y
ii
n
2
?
(y?y )
i
i?1
i?1
n
?1?0?1.

2
（三）课后作业

基础型 自主突破
1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ）

相关系数为
r
1
相关系数为
r
2



相关系数为
r
3
相关系数为
r
4

A.
r
2
?r
4
?0?r
3
?r
1

B.
r
4
?r2
?0?r
1
?r
3

C.
r
4?r
2
?0?r
3
?r
1

D.
r< br>2
?r
4
?0?r
1
?r
3

【知识点：相关系数】

解：A

2. 甲、乙、丙、丁四位同学 在建立变量
x,y
的回归模型时，分别选择了4中不同的模型，计算
可得它们的相关指 数
R
2
分别如下表，其中拟合效果最好的为（ ）

甲
0.98
乙
0.78
丙
0.30
丁
0.85
R
2

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案：A
解析：【知识点：相关指数】

－－
3 .已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得

的线性回归方程可能是（ ）
^
A.y＝0.4x＋2.3
^
B.y＝2x－2.4
^
C.y＝－2x＋9.5
^
D.y＝－0.3x＋4.4
【知识点：回归方程，相关关系】

解：A 因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C与D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3，3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排
除B，只有A可能.
4.已知一组观测值若
e
恒为0，则
R
2< br>（x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
) ,L,(x
n
,y
n
)
之间满足
y?bx?a?e(i?1 ,2,L,n)
，
为 .
【知识点：残差，相关指数】
答案：1.

5.下表中给出了5组数据
(x
i
,y
i
)
，从中选出4组使其线性相关性最大，且保留第1组（-5，-3），
那么应该 去掉第_______组
i

1
-5
-3
2
-4
-2
3
-3
4
4
-2
-1
5
4
6
x
i

y
i

【知识点：残差分析】


解： 3
能力型 师生共研
6.
设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数 是
r
，
y
关于
x
的回归方程的回归
系数是
b
，回归截距是
a
，那么必有（ ）
A.
b
与
r
的符号相同
B.
a
与
r
的符号相同
C.
b
与
r
的相反
?
?
?
??

D.
a
与
r
的符号相反
【知识点：相关关系】
解：.A
b
决定正相关还是负相关，与
r
的符号相同.
7.
回归分 析中，相关指数
R
2
的值越大，说明残差平方和（

）

A.
越小

B.
越大

C.
可能大也可能小

D.
以上都不对

【知识点：相关指数】
解： A 由
R
和残差平方和公式易得.
8.
若对于变量
y
与
x
的
10
组统计数 据的回归模型中，相关指数
R
2
?0.95
，又知残差平方和为
2< br>?
?
120.53
，那么
?
(y
i?1
10
i
?y)
2
的值为（ ）

A.241.06
B.2410.6
C.253.08
D.2530.8
【知识点：相关指数】
解： B 由
R
和残差平方和公式易得.
9.
已知
x
，
y
之间的一组数据如下表：

2
x

1
y

2
2
3
3
5
4
7
5
8
7482
x?
；②
y?2x?1
；③
y?x-
；④
y?2x
.< br>5555
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①
y?
根据最小二乘法的思想， 其中拟合程度最好的直线是________.(填正确序号)
【知识点：样本点中心，回归方程】

解：① 直线必过样本点中心（3,5），依次检验即可.
探究型 多维突破（一般为2道题，具体课时可相应灵活调整）
10.假定小麦基本苗数
x
与 成熟期有效穗
y
之间存在相关关系，现测得5组数据如下表：

x

y

15.0
39.4
25.8
42.9
30.0
42.9
36.6
43.1
44.4
49.2
（1）以
x
为解释变量，
y
为预报变量，作出散点图；
（ 2）球
y
与
x
间的回归方程，对于基本苗数56.7，预报其成熟期的有效穗 ；

（3）求相关指数
R
2
，并说明残差变量对成熟期有效穗的影响占百分之几.
【知识点：散点图，回归方程，相关指数】

解：（1）略
（2）由散点图 可知，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方
程刻画它们之间的关系.
可求得线性回归方程为
y?34.664?0.291x.

当
x< br>=56.7时，
y?34.644?0.291?56.7?51.164.

即估计其成熟期有效穗为51.164.
（3）残差平方和为：
?
e
i
?8.427,

2
i?1
5
?
?
总偏差平方和：
?
（y
i< br>?y)
2
?50.18,
故
R
2
?1-
i? 1
5
8.427

?0.832，
50.18
解释变量小麦 基本苗数对成熟期有效穗的影响约占83.2%，残差变量的影响约占
1-83.2%=16.8%.

11.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10 次试验，测得
数据如下：
零件数
x
（个）
10 20
68
30
75
40
81
50
89
60
95
70
102
80
108
90
115
100
122
加工时间
y
（分）
62
（1）计算残差及残差和;
（2）进行残差分析.
【知识点：残差，残差分析，残差图】
解：（1） 列出残差表（由已知可知
y?0.668x?54.960，y?91.7
）如下
?

y
i

?
62
61.6
-29.7
0.4
68
68.3
-23.7
-0.3
75
75.0
-16.7
0
81
81.7
-10.7
-0.7
89 95 102
101.7
10.3
0.3
108
108.4
16.3
-0.4
115 122
y
i

88.4 95.0
-2.7
0.6
3.3
0
115.1 121.8
23.3
-0.1
30.3
0.2
y?y

?
y
i
?y
i

222
所以残差平方和=
（0.4）?（-0.3）?L?（0.2）?1.4
，残差值如表 中第四行的值.
（2）残差分析：画出残差图，散点图（略），由散点图可以说明
x
与
y
有很强的相关性.可以观
察到，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要 纠正数据，重新利用线性回归模型拟
合数据；残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明 选用的线性回归模型较为
合适，带状区域的宽度仅为1.3，比较狭窄，说明模型拟合精度较高.
（四）自助餐
1.从某大学随机抽取8名女大学生，其身高
x
（cm）和体 重
y
（kg）的回归方程为
y?0.849x-85.712
，
则身 高172cm的女大学生，由回归方程可以得知其体重（ ）
A.等于60.316kg
B.约为60.316kg
C.大于60.316kg
D.小于60.316kg
【知识点：回归分析】
解：B
2.在回归分析中，残差图的纵坐标为（ ）
A.残差
B.样本编号
C.等高条形图
D.独立性检验
【知识点：残差图】
解： A
3.设
(x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
),L,(x
n
,y
n
)
是变量
x
和
y
的
n
个样本点，直线< br>l
是由这些样本点通过最小二乘法
得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）
?

A.直线
l
过点
(x,y)

B.
x
与
y
的相关系数为直线
l
的斜率
C.
x
与
y
的相关系数在0到1之间
D.当
n
为偶数时，分布在
l
两侧的样本点的个数一定相同
【知识点：回归分析，相关系数】
解：A
4.对两个变量x和y进行回归分析,得到一组样本数据:
(x
1
,y1
)(x
2
,y
2
),L,(x
n
,y
n
)
，则下列说法中
不正确的是（ ）
?
?a
?
?bx
?
必过样本点的中心
(x,y)

A.由样本数据得到的回归方程
y
B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.用相关指数R
2
来刻画回归效果,R
2
的值越小,说明模型的拟合效 果越好
D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.936 2,则变量y和x之间具有线性相关关系
【知识点：回归分析，相关系数】
解： C 解析:R
2
的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.
5.如图所示的是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是（ ）


【知识点：残差图】
解：B 残差图中，只有A、B是水平带状区域分布，且B中残差点 散点分布集中在更狭窄的范

围内所以B项中回归模型的拟合效果最好.
6.变 量
x
与
y
具有线性相关关系，当
x
取值16，14，12， 8时，通过观测得到
y
的值为别为11，9，
8.5.若在实际问题中，
y< br>的最大取值是10，则
x
的最大取值不能超过（ ）
A.16
B.17
C.15
D.12
【知识点：回归方程】
解：C
7.一家工厂对职工进行技能培训，收集数据如下：
零件数
x
（个）
加工时间
y
（分钟）
10
12
20
25
30
35
40
48
50
55
60
61
70
64
80
70
两变量的回归直线方程为 __________,该函数模型的残差平方和为__________,相关指数为
_______ ___.
【知识点：回归方程，残差，相关指数】
解：.
y?0.817x?9.5

126.34

0.957
.
8.若回归直线方程中的参数
b?0
，则相关系数为 .
【知识点：相关系数】
解：0.
9.关于
x
与
y
有如下数据
?
?
x

y

2
30
4
40
5
60
6
50
8
70
??
y
x
为了对，两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型，甲：乙：
y?6.5x?17.5
，
y?7x?17
，
则模型__________拟 合效果更好.（填“甲”或“乙”）
【知识点：回归分析，样本点中心】
解：甲.
10.关于x与y有以下数据:
x 2 4 5 6 8

y 30 40 60 50 70
?
=6.5, 已知x与y线性相关,由最小二乘法得
b
(1)求y关于x的线性回归方程.
?=7x+17,且相关指数R
2
=0.82.若与(1)的线性模型比较,哪一个线性模型 (2)现有第二个线性模型:
y
拟合效果比较好?请说明理由.
【知识点：回归分析，相关指数】
?
?6.5x?a
?
, 解:( 1)依题意设y关于x的线性回归方程为
y
11
x??(2?4?5?6?8)=5< br>，
y??(30?40?60?50?70)=50

55
?
?6.5x?a
?
经过样本点的中心
(x,y)
, ∵
y
?
,∴
a
?
=17.5, ∴50=6.5×5+
a
?
=6.5x+17.5. ∴y与x的线性回归方程为y
?
i
与
y
i
?y
的关系如下表: (2)由(1)的线性模型得
y
i
?y
?
i

y
i
?y
-0.5
-20
-3.5
-10
10
10
-6.5
0
0.5
20
y
i
?y

5
?
i
)
2
?
(
?
0.5)
2
?
(
?
3.5)
2
?
10
2
?
(
?
6.5)
2
?
0.5
2
?
155
，
所以
?
(
y
i
?y
i?1
?
(y?y)
i
i?1
5
2
?(?20)
2
?(?10)
2
?10
2?0
2
?20
2
?1000
，
5
所以
R
1
?1?
2
?
)
?
(
y?y
ii
2
?
(y?y)
i
i?1
i?1
5
? 1?
2
155
?0.845
.

1000
由于R
1
2
=0.845,R
2
=0.82知
R
1
2
>R
2
,
所以(1)的线性模型拟合效果比较好.
11.假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有关的统计资料如表所示.
使用年限x
维修费用y
2
2.2
3
3.8
4
5.5
5
6.5
6
7.0

若由资料知y对x呈线性相关关系.
?
?a
?
?bx
?
；
(1)求线性回归方程y
(2)若相关指数R
2
＝0.9587，说明其含义；
(3)估计使用年限为9年时，维修费用是多少？
【知识点：回归分析，相关指数】
解：(1)由已知数据制成表：
i
x
i

y
i

1
2
2.2
2
3
3.8
3
4
5.5
4
5
6.5
5
6
7.0
合计
20
25
－－
由此可得x＝4，y＝5，
?
b?
?
(x?x)(y ?y)
ii
i?1
n
?
(x?x)
i
i?1
n
?
?0.08

?
?y?bx
?1.23
，< br>a
2
?
＝1.23x＋0.08. ∴回归直线方程为
y
(2)R
2
＝0.958 7，说明该设备的维修费用有95.87%由使用年限引起的.所以回归模型的拟合效果好.
?
＝1.23x＋0.08，当x＝9（年）时，
y
?
＝1.23×(3)回归直线方 程为
y
9＋0.08＝11.15(万元)，
即估计使用9年时维修费用是11.15万元.