高中数学教学中学生分析和解决问题及思维能力的培养

高中数学教学中学生分析和解决问题及思
维能力的培养
王海鸥
（ 四川 绵竹 618200 ）
摘 要：现代教育强调“知识结构”与“学习过程”，目的在于 培养学生的分析和解决问题
的能力及思维能力，这是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。
关键词：思维能力； 数学
Teaching high school math analysis and problem solving and thinking ability training
Wang Hai-ou
Abstract: Modern education,
training the students to analyze and solve problems and the ability of thinking ability, which is the
value of mathematics education to truly achieve the ideal way.
Key words: thinking ability, mathematical

< br>现代教育强调“知识结构”与“学习过程”，目的在于发展学生的分析和解决问题的能力及
思维能 力，而把知识作为能力培养的材料和媒介。教育心理学理论认为：思维是人脑对事物
本质和事物之间规律 性关系概括的间接的反映。思维是认知的核心成分，思维的发展水平决
定着整个知识系统的结构和功能。 只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的分析和解决
问题的能力及思维品质才符合素质教育的基本要 求。数学知识可能在将来会遗忘，但分析和
解决问题的能力及思维品质的培养会影响学生的一生，是数学 教育的价值得以真正实现的理
想途径。
一、分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进 行陈述的材料；能综合应用所学数学
知识、思想和方法解决问题，并能用数学语言正确地加以表述。分析 和解决问题能力主要由
审题能力，合理应用知识、思想、方法解决问题的能力，数学建模等能力组成。它 是逻辑思
维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。高考数学学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法及数学能力的考查，强调了综合性。这就
对考生分 析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性。这
就要求我们教师在平时 教学中注重分析和解决问题能力的培养，以减少在这一方面的失分。
审题能力主要是指充分理解题意， 把握住题目本质的能力，分析、发现隐含条件以及化简、
转化已知和所求的能力；它是如何分析和解决问 题的前提。
例1 已知 求 的值。
分析：怎样利用已知的二个等式？初看好象找不出条件
和结论的联系。只好从未知 入手，当然，首先想到的是把 、 分别求出，然后求出它们的
乘积，这是个办法，但是不好求；于是可考虑将 写成 ，转向求 、 。
令 ， ，于是 。
从方程的观点看，只要有 、 的二元一次方程就可求出 、 。于是转向求 ， 。这样把问题
转化为下列问题：
已知 ① ②
求 、 的值。
①2+②2得 。
②2-①2得 ， 。从刚才的解答可以看出，解决此题的关

键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需要一定的审题能力。由此可见，审题能力应是分 析
和解决问题能力的一个基本组成部分。
高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、 复数、立体几何、解析几何等内容；数
学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等 ；数学方法包括待定系数
法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法。只有理解和掌握数学基 本知识、思
想、方法，才能解决高中数学中的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以< br>使问题解决得更迅速、顺畅。
例2 设函数 （其中 ）
（Ⅰ）解不等式 ；（Ⅱ）求 的取值范围，使函数 在 上是单调函数。
解：（Ⅰ）不等式 即
由此得 即 其中常数
所以，原不等式等价于 ，

即
所以，当 时，原不等式的解集为 当 时，原不等式的解集为
（Ⅱ）在区间 上任取 使得


(ⅰ)当 时，
∵ ∴
又 ∴ 即
所以，当 时，函数 在区间 上是单调递减函数。
（ⅱ）当 时，在区间 上存在两点 满足 所以函数 在区间 上不是单调函数。
综上，当且仅当 时，函数 在区间 上是单调函数。
在上述的解答过程中可以看出，本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分
类讨 论的数学思想方法的运算、推理能力。
针对以上能力的特点我认为培养和提高分析和解决问题能力可以有以下几点的策略：
1．重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法
数学思想较之数学基础知 识，有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的
过程中，它是一种数学意识，属于思维 的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学
方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性 的特征，可以作为解题的具体手段。只
有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手； 只有领悟了数学思想与方
法，书本的、别人的知识技巧才会变成自己的能力。
2．加强应用题的教学，提高学生的模式识别能力
高考是注重能力的考试，特别是学生运用数 学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是
考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力 ，这从新课程版的《考试说明》与
原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑。（新课程版将“ 分析和解决问题的能
力”改为“解决实际问题的能力”）
3．适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面
近年来，随着新技术革命的飞速发展 ，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造
能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景 题、开放题的出现，更加注重了能力的考
查。
4．重视解题的回顾
在数学解题过 程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与

研究，是非 常必要的一个重要环节。这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和
解决问题能力最有意义的 阶段。

二、思维能力的培养主要在于思维的灵活性的培养。思维的灵活性指思维活动的灵 活程度，
指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的灵活性主要表现于：①思维起点的灵活：
能从不同 角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。②思维过程的
灵活：能灵活运用各种 法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。
③思维迁移的灵活：能举一反三，触 类旁通。
如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？我在教学实践中作了一些探索：
1．以“发散思维”的培养提高思维灵活性。
美国心理学家吉尔福特提出的“发散思维”(divergent thinking)的培养就是思维 灵活性的培养。
“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样 为
数众多的输出，很可能会发生转换作用。”在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中
思 维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，
也是迎接信息 时代、适应未来生活所应具备的能力。在教学过程中主要引导学生对问题的解
法，结论及条件进行发散。
用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过
程的 灵活性。拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。
对结论的发散是指 确定了已知条件后没有现成的结论。让学生自己尽可能多地探究寻找有关
结论，并进行求解。对问题的条 件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，
进而从不同角度和用不同知识来解决问题。
例3 已知： (1)， (2)，由此可得到哪些结论？
（让学生进行探索，然后相互讨论研究，各抒己见）
想法一：(1)2+(2)2可得 （两角差的余弦公式）。
想法二：(1)×(2)，再和差化积：
。
结合想法一可知：
想法三：(1)2-(2)2再和差化积：
结合想法一可知：可得
想法四： ，再和差化积约去公因式可得： ，进而用万能公式可求： 、 、 。
想法五：由 消去 得：
消去 可得 （消参思想）
想法六：(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式：

(1)-(2)并逆用两角差的正弦公式：

开放型题目 的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条
件之间的关系。要根据条 件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点
灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻 研精神和创造力的培养。
2．由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中。所 以，我们应该
以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的
培养。
3．灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导。教师的教法常常影响到学生的学法。 灵活

多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指 导能及
时为学生注人灵活思维的活力。
近年来，随着课程教材改革的推进，突出能力的培养已 成为广大教师和教育工作者的共识。
在以后的教学工作中我要继续探索下去，以求获得更多的收获。
参考文献
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[7] 张卫国.中学数学研究.例谈高考应用题对能力的考查
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