高中数学经典的解题技巧和方法(导数及其应用)1 (1)

?高中数学经典的解题技巧和?方法（导数及其应?用）
导数及其应?用是?高中数学 考试的必考内容，?而且是这?几年?考试的热点跟增?长点，?无论是期中、期末还 是
会考、? 高考，都是?高中数学的必考内容之?一。因此，?马博?士教育?网数学频道编辑部特意针对这两个部分 的< br>内容和题型总结归纳了?具体的解题技巧和?方法，希望能够帮助到?高中的同学们，让同学们有更?多、 更?好、 更
?快的?方法解决数学问题。好了?，下?面就请同学们跟我们?一起来探讨下集合跟 常?用逻辑?用语的经典解题技巧。
?首先，解答导数及其应?用这两个?方?面的问题时，先要搞清 楚以下?几个?方?面的基本概念性问题，同学们
应该先把基本概念和定理?完全的吃透了?、弄?懂了?才能更?好的解决问题：
1.
导数概念及其?几何意义
（1）
了?解导数概念的实际背景。
（2）
理?解导数的?几何意义。
2.
导数的运算

（1）
能根据导数定义求函数的导数。
（2）
能利??用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

（3）
能求简单的复合函数（仅限于形如
3.
导数在研究函数中的应?用
的复合函数）的导数。
（1）
了?解函数单调性和导数的关系，能利??用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多 项
式函数?一般不?超过三次）。
（2）
了?解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会?用导数求函数的极?大值、极?小值（其中多
项式函数?一般不?超过三次）；会求闭区 间了?函数的最?大值、最?小值（其中多项式函数?一般不?超过三次）。
4.
?生活中的优化问题
会利??用导数解决某些实际问题
5.
定积分与微积分基本定理?
（1）
了?解定积分的实际背景，了?解定积分的基本思想，了?解定积分的概念。
（2）
了?解微积分基本定理?的含义。
好了?，搞清楚了?导数及其应?用的基本内容之后，下? 面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。
?一、利??用导数研究曲线的切线
考情聚焦：1．利??用导数研究曲线
点。
的切线是导数的重要应?用，为近?几年?各省市?高考命题的热

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2．常与函数的 图象、性质及解析?几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键?一步的形式 出
现，属容易?题。
解题技巧：1．导数的?几何意义
函数在处的导数的?几何意义是：曲线 在点处的切线的斜率
（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。
2．求曲线切线?方程的步骤：
（1）
求出函数
（2）
在已知切点坐标
在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；
。和切线斜率的条件下，求得切线?方程为
在点注：①当曲线
知，切线?方程为；
处的切线平?行?于 轴（此时导数不?存在）时，由切线定义可
②当切点坐标未知时，应?首先设出切点坐标，再求解。

例? 1：（2010 ·海?南?高考·理?科T3）曲线
（A） （B） （C）
在点 处的切线?方程为（ ）
（D）
【命题?立意】本题主要考查导数的?几何意义，以及熟练运?用导数的运算法则进?行?求解.
【思路?点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线?方程.

【规范解答】选 A.因为
以，切线?方程为，即
，所以，在点
，故选 A.
处的切线斜率，所
?二、利??用导数研究导数的单调性
考情聚焦：1．导数 是研究函数单调性有?力?的?工具，近?几年?各省市?高考中的单调性问题，?几乎均?用它解
决。
2．常与函数的其他性质、?方程、不?等式等交汇命题，且函数?一般为含参数的?高次、分式或指、 对数式 结
构，多以解答题形式考查，属中?高档题?目。
解题技巧：利??用导数研究函数单调性的?一般步骤。
（1）
确定函数的定义域；

（2）
求导数 ；

2

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（3）
①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不?等式＞0
或＜0。
②若已知的单调性，则转化为不?等式 ≥0 或≤0 在单调区间上恒成?立问题求解。
例? 2：（2010·?山东?高考?文科·Ｔ21）已知函数
（1）
当时，求曲线在点处的切线?方程；

（2）
当时，讨论 的单调性.
【命题?立意】本题主要考查导数的概念、导数的?几何意义和利??用导数研究函数性质的能?力?. 考查分类讨 论
思想、数形结合思想和等价变换思想.
【思路?点拨】(1)根据导数的?几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利?
?用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.

【规范解答】（1） 当
因此，
?又

所以
,即曲线
所以曲线

（2）因为

,所以 ,令
（1） 当
当
当
（2） 当
时，
时，
时，
时，由
>0，此时
<0，此时
，即
所以
，函数
，函数
单调递减；
单调递增.
，解得.
① 当 时， ， 恒成?立，此时 ，函数 在（0，+∞）上单调递减;

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② 当 时， ，
时，,此时,函数单调递减
时， <0,此时 ,函数 单调递增
时， ，此时 ，函数 单调递减
③ 当 时，由于,
时，
时，
综上所述：
当
当
时，函数
时,函数
,此时
<0,此时
,函数
,函数
单调递减：
单调递增.
在
在
上单调递减;函数
上单调递减
在上单调递增
当时，函数 在 上单调递减；函数 在上单调递增；
函数 在上单调递减.
【?方法技巧】
1、分类讨论的原因
(1)
某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；
(2)
数的运算：如除法运算中除式不?为零，在实数集内偶次?方根的被开?方数为?非负 数，对数中真数与底数的 要
求，不?等式两边同乘以?一个正数还是负数等；
(3)
含参数的函数、?方程、不?等式等问题，由参数值的不?同?而导致结果发?生改变；
(4)
在研究?几何问题时，由于图形的变化(图形位置不?确定或形状不?确定)，引起问 题的结果有多种可能. 2、
分类讨论的原则
(1)
要有明确的分类标准；
(2)
对讨论对象分类时要不?重复、不?遗漏?；

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(3)
当讨论的对象不??止?一种时，应分层次进?行?.
3、分类讨论的?一般步骤
(1)
明确讨论对象，确定对象的范围；
(2)
确定统?一的分类标准，进?行?合理?分类，做到不?重不?漏?；
(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；
(4)归纳总结，得出结论.
三、利??用导数研究函数的极值与最值
考情聚焦：1．导数是研究函数极值与最值问题的重 要?工具，?几乎是近?几年?各省市?高考中极值与最值问题
求解的必?用?方法。
2．常 与函数的其他性质、?方程、不?等式等交汇命题，且函数?一般为含参数的?高次、分式、或指、对数 式
结构，多以解答题形式出现，属中?高档题。
解题技巧：1．利??用导数研究函数的极值的?一般步骤：
（1）确定定义域。（2）求导数。（3）①或求极值，则先求?方程 =0 的根，再检验在
?方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）

②若已知极值?大?小或存在情况，则转化为已知?方程
2．求函数
个是最?小值。

=0 的根的?大?小或存在情况，从?而求解。
?比较，其中最?大的?一个是最?大值，最?小的?一 的极值与端点处的函数值
例? 3：（2010·天津?高考理?科·Ｔ2１）已知函数

（Ⅰ ）求函数的单调区间和极值；
的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时，

（Ⅱ ）已知函数

（III）如果 ，且，证明
【命题 ?立意】本?小题主要考查导数的应?用，利??用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算
能?力?及?用函数思想分析解决问题的能?力?。
【思路?点拨】利??用导数及函数的性质解题。
【规范解答】
（Ⅰ ）解：f’，令 f’(x)=0,解得x=1，
当x 变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表

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x
f’(x)
(
+

f(x)

)
1
0
极?大值[来源:

学。科。?网]
(
-
)



所以f(x)在( )内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1 处取得极?大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ ）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)

令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1 时，2x-2>0,从?而
?又F(1)=
(Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
’(x)>0,从?而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).

根据（1）（2）得

由（Ⅱ ）可知，
所以
>,则=，所以>,从?而 >
,即
.因为
>2。
，
，?又由（Ⅰ ）可知函数 f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以 >
四、利??用导数研究函数的图象
考情聚 焦：1．该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重
要考点， ?而成为近?几年??高考命题专家的新宠。
2．常与函数的其他性质、?方程、不?等式、解析?几 何知识交汇命题，且函数?一般为含参数的?高次、分式、 指、
对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。
例? 4：（2010·福建?高考理?科·Ｔ20）(Ⅰ )已知函数f(x)=x
3
-x，其图像记为曲线 C.
（i）求函数 f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意?非零实数 x
1
，曲线 C 与其在点P
1
（x
1
,f(x
1
）处的切线交于另?一点 P
2
（x
2
,f(x
2
).曲线C
与其在点P
2
处的切线交于另?一点P
3
（x
3
f(x
3
)），线段 P
1
P
2
,P
2
P
3
与曲线C 所围成封闭图形的?面积分别记为

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S1,S2，则 为定值：

（Ⅱ ）对于?一般的三次函数 g（x）=ax
3
+bx
2
+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ )(ii)的正确命题，并予以证明。

【命题?立意】本?小题主要考查函数、导数、定积分 等基础知识，考查抽象概括、推理?论证、运算求解 能
?力?，考查函数与?方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与?一般的思想。
【 思路?点拨】第?一步（1）利??用导数求解函数的单调区间，（2）利??用导数求解切线的斜率，写出切线 ?方
程，并利??用定积分求解 及其?比值；第?二步利??用合情推理?的?方法对问题进?行?推?广得到相关命题，并利?
?用平移的?方法进?行?证明。

【规范解答】（Ⅰ ) (i)

令 得到，令 有
，因此原函数的单调递增区间为

和

；单调递减区间为
；

(ii)

，
的切线?方程为：
，
，因此
，即，由
或 ，故
，?用 代替
，进?而有
，重复上?面的计
过点
得 ，所以


算，可得

和 ，?又 ，
的图像为曲线
，因此有
。
，其类似于(I)(ii)的命题为：若对 （Ⅱ ）【命题】若对于任意函数
任意不?等于
在点
则 。
的实数 ，曲线与其在点
处的切线交于另外?一点
处的切线交于另?一点
，线段、 与曲线
，曲线 与其
所围成?面积为 ，

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【证明】对于曲线 ，?无论如何平移，其?面积值是恒定的，所以这?里?仅考虑
， ，
，

的情形，

因此过点 的切线?方程为：




，联?立

，得到：

，

化简：得到

从?而
可以得到

所以同样运?用(i)中?方法便?
所以。
【?方法技巧】函数导数的内容在历届? 高考中主要切线?方程、导数的计算，利??用导数判断函数单调性、极值、 最
值等问题，试题还与 不?等式、三?角函数、数列?、?立?几、解?几等知识的联系，类型有交点个数、恒成?立问题
等, 其中渗透并充分利??用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想?方法，主要考查导数的?工
具性作?用。

例? 5．（2010·江?西?高考理?科·Ｔ１２）如图，?一 个正五?角星薄?片（其对称轴与?水?面垂直）匀速地升出?水?面，记
时刻五?角星露?出?水?面部分的图形?面积为 ，则导函数的图像?大致为




【命题?立意】本题将各知识点有机结合，属创新题型，主要考查对函数的图像识 别能?力?，灵活分析问题和

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解决问题的能?力?，考查分段函数，考查 分段函数的导数，考查分类讨论的数学思想，考查函数的应?用，考 查
平?面图形?面积的计算，考查数形结合的思维能?力?．
【思路?点拨】本题结合题意及 图像的变化情况可?用排除法；也可先求?面积的函数，再求其导数，最后结合 图
像进?行?判断.
【规范解答】选 A．?方法?一：在五?角星匀速上升过程中露?出的图形部分的?面积共有四段不?同变化情况，第
?一段和第三段的变化趋势相同，只有选项 A、C 符合要求，从?而先排除 B、D，在第?二段变化中，?面积的增
?长速度显然较慢，体现在导函数图像中其图像应下降，排除选项 C，故选 A.

?方法?二：设正五?角星的?一个顶点到内部较?小正五边形的最近边的距离为 1，且设，则依据


题意可得：







其导函数 故选A.




【?方法技巧】 从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选?一”的要求，逐步剔除?干扰项，从?而得出 正
确的判断.这种?方法适应于定性型或不?易?直接求解的选择题.当题?目中的变化情况较多时，先根据某些条 件在
选择?支中找出明显与之?矛盾的，予以排除，再根据另?一些条件在缩?小的选择?支的范围内找 出?矛盾，这样逐步
筛选，直到得出正确的选择.它与特例?法、图解法等结合使?用是解选择题的常? 用?方法，近?几年??高考选 择题中
考查较多.
例? 6．（2010·全国?高考卷Ⅱ 理?科·Ｔ10）若曲线
积为 18，则
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8
在点处的切线与两个坐标围成的三?角形的?面
【命题? 立意】本题主要考查了?导数的?几何意义，曲线的切线?方程求法，考查考?生的运算求解能?力?．
【思路?点拨】先求出切线?方程，然后表示出切线与两个坐标围成的三?角形的?面积。

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【规范解答】选 A，


所以曲线 在点 处的切线：

所以，

【?方法技巧】利??用导数解决切线问题有两种类型：（1）“在”曲线 上?一点处的切线问题，先对函数求导，代?入
点的横坐标得到斜率。（2）“过”曲线上?一点的切线 问题，此时该点未必是切点，
故应先设切点，再求切点坐标。

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