教师资格证高中数学难考-高中数学精编代数目录
高中学生数学思维障碍的表现形式及解决方案
江苏省溧阳中学 费志新 联系电话：
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高中数学教学大纲中
明确指出：思维能力主要是指：会观察、实验、比较、
猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎
和类比进行推理；会合乎逻辑
地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数
学关
系，形成良好的思维品质。我们认为，大纲中对思维能力的这一阐述是准确的、
科学的，反
映了心理学对思维能力研究的最新成果，对我国当前的数学教学具有
重要的指导意义。但在教学实践中经
常听到学生有这样的反应：上课听讲感觉很
容易，但等到自己动手去解决问题的时候又感觉千头万绪不知
从何下手。为什么
会出现这样的现象？关键在于“教”和“学”两方面的协调和不和谐性。学生不
懂得如何去思考，长期以来形成的数学思维方式是遇到问题以后去照搬照套现成
的模式，而不是去分析
问题条件和结论的差异。学生不知道如何去思考问题，学
生的数学思维存在障碍。因此分析数学思维障碍
形成的原因，探索突破思维障碍
的方法对我们的高中数学教学有着很重要的意义。
（一）数学思维障碍形成的原因：
布鲁纳的认知发展理论认为：学习本身是一个认识的过程。
在这个过程中，
个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整
理加工，以一种易于接受的方式加以存储，作为个体的学生在认识新知识的过程
中总是通过提取旧知识去
吸纳新知识，新旧知识在人脑中不断地相互作用和联系，
使原有的认知结构不断分化和重新组合，从而使
学生获得新知识，促成新的认知
结构的建立和完善。但是这种认知的过程不是一次就能成功的，一方面如
果我们
在课前的准备中如果不能正确了解学生原有的认知结构而只是按照自己的思维或
只是简单
了解去进行灌输式的教学，当然会造成学生的思维障碍；另一方面，当
新旧知识在学生的人脑中重新组合
时学生如果不能找到“连接点”时，新的知识
的理解就会产生偏颇。所以如果我们的教学不能从实际出发
，学生的认知结构不
能顺利地建立的话，势必会造成学生在新知识认识上的不足，理解上的偏颇，思维上的障碍，提高数学能力就只能是一句空话。
（二） 数学思维障碍的表现形式：
由于高中数学是建立在小学、初中数学教学的基础上的，而作为个体的学生
的数学基础、思维方式、习惯
也各不相同，所以数学思维障碍表现也各不相同，
具体来说有以下几种：
1．数学思维的表象
性：由于高中数学概念的抽象性，学生在学习过程中，对
于知识发生的过程不会主动地进行深入的理解和
思考，对知识的理解仅仅停留在
理解的表象层面上，不太可能形成抽象的概念理解，所以对知识的理解不
可避免
地存在片面性，不容易去把握事物的本质。例如在函数单调性的教学中：证明：
函数y??x
3
?1
在
R
上单调递减。不少同学给出以下证明：设<
br>x
1
?x
2
，则
3
y
1?y
2
?(?x
1
?1)?(?x
2
?1)?x
2
?x
1
3
，
?x
1
?x
2
，
则
x
2
?x
1
?0
，所以
3333
y1
?y
2
?0
，所以函数
y??x
3
?1在
R
上单调递减。由于学生对应用定义证明函数
单调性的实质还没有形成抽象的概
念，所以在证明过程中哪些结论能够使用，哪
些不能使用还不明确，造成了这样的循环论证的现象。而有
些同学已经感觉到这
样的证明不够妥当，但又找不到符合要求的严密的理论依据，不得已也采取了这样的证明。
2．数学思维的不完整性：数学思维讲究的是思维的严谨性和推理的严密性。
但高中学生的认知结构正处于形成阶段，不可避免地存在思维的不严密性。对问
题的解决易受原有认知结
构的影响，习惯于去套用现成的解题模式。例如在数列
??
1
??
1
??
1
?
1
?
的求和教学中：求和S=
?
x??
?
?
x
2
?
2
?
?
?x
3
?
3
?
?????
?
x
n
?
n
?
y
??
y
??
y
?<
br>y
???
111
绝大部分的同学给出这样的答案：
S?(x?x<
br>2
?...?x
n
)?(?
2
?...?
n
)
y
yy
111
(1?)1?
x(1?x
n)
y
x(1?x
n
)
y
n
y
n
???
?
1
1?x1?xy?1
1?
y
虽然抓住了条件中各项的特征，但
对于等比数列前
n
项和使用的条件：各
项均不等于零，公比不为1没有去作深入探讨，
对问题结论缺乏多角度的分析和
判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。
3．数学
思维定势的影响：经过多年的数学学习，高中生已经有了较丰富的解
题经验，初步形成了自己的思维方法
和思路，所以在问题的解决中往往从以往的
解题经验中出发，套用原有的思路，对自己的思维方法深信不
疑，不能根据新的
对象的特点作出正确的判断，阻碍了新的更合理有效的认知结构的建立，当然不
能适应高考选拔性考试的要求。例如在立体几何的入门中，一提到两直线垂直，
马上就意识到两直线相
交。
4．数学思想方法缺乏，学习目标确定不当，思维惰性造成思维模糊。
由于学习方法的
缺乏而严重制约学生的有效思维的状况普遍存在。我校在开
学初开设的“学法讲座”深受学生欢迎。针对
学生存在的情况我作了以下几个方面的
学生的问卷调查：
①学生对于自己“在初中阶段数学学
习的要求”选择“名列前茅”的占79.18%，
选择“中等水平”的占17.45%。而对自己在高中
阶段选择“名列前茅”的占45.46%，
选择“中等水平”的占47.05%。许多学生考上高中后，
便想喘口气，放松一下学习
节奏。在高一学生中，回答“你对学习的感觉”时，感到困难的占52%，一
部分学
生选择了降低要求的方法，认为自己目前的数学学习状态“良好”的仅占24.06%，
认为“一般”的占57.44%，认为“较差”的占18.5%。学习要求的降低，影响了学习<
br>效果，使得数学思维发展的速度无法加快。
②在“遇到难题的处理方式”的调查中，选择“等
老师讲解”的占12%，选择“问
同学或问老师”的占52%，选择“继续思考”的只有16%，选择“
等以后再解决”的占
20%。思维指向模糊主要表现在对关键信息感知把握不准，思维指向性模糊，出<
br>思维的惰性。观察只停滞在感知表象中，即使撞上关键信息，也不能加工形成有
价值的反馈信息，
致使思路受阻，从而懒于动脑，久而久之，养成了思维的惰性。
这是学生思维障碍的最普遍原因。 ③在对“解题时出现错误的原因”的调查中有30%的同学在回答选择了“审题
不清”这一项。学生
在解数学题时，常尚未看清题意，见术语，便罗列公式，生搬
硬套；见数据，便代入演算，拼凑解答等。
由于思维的单一性，呈线性状态，导
致思维过程常常中断而受阻，这样的学生大量存在
5．各学段的衔接不当，主要表现在三个方面：
①节奏变化。就一节课的知识容量而言，初中
远比不上高中，因而在讲解中
就有快慢和粗细之分。这一快一慢，一粗一细两对矛盾就很容易将初中与高
中阻
隔，产生两极分化，使初高中难以得到系统的响应，从而影响学生数学思维的发
展。高一开
学后一月所做的调查显示：高中数学学习节奏比初中快的占82.17%，
而觉得慢的同学仅占5.5%
。
②教学方法的差异。有48.07%的学生认为初中数学课大部分由老师讲解，小
部分由学
生练习，认为初中重视学生讨论与自学的仅占9.2%。这表明初中学生讨
论与自学的这一学习方法并没
有得到充分的培养，没有发挥学生的主观能动性。
在高中，认为上课大部分由老师讲解的降低到27.3
4%，认为讨论与练习相当的则
升至37.84%。
③教材因素导致初高中数学知识点脱节。
不少学生认为“对所需的初中知识感
到略能运用，但还有些困难”，而感到需要补充初中知识点的占20
.53%，对所需
初中知识能运用自如的不到30%。
6．评价机制本身的不完善或评价机制贯彻的不完全。
主要表现在三个方面：①不考的不学
。数学教师对教材中“不考，可以省略”的态
度中，偶尔说的占很大比例。②评价方式单一。无论对老师
还是学生，往往都是
以学科考试成绩作为主要指标进行评价。
③考试导向的偏差。我认为用考试
的方法进行
评价本身并没错，问题是考试（命题）本身的导向是否正确。
由此可见，高
中生数学思维的障碍不仅严重阻碍了学生的认知结构的更新
和发展，更重要的是阻碍了学生解题能力的提
高。因此在平时的教学中作为教的
一方，教师应该适时引导，帮助学生突破数学的思维障碍，培养正确的
思维方法
和方式，以促使学生正确的符合时代要求的认知结构。
（三）数学思维障碍的解决方法：
1．做好初高中的衔接教学，在进入高中的初期应着重扭转
初中的教学中学生
的机械模仿思维，要教会学生如何思考问题。尤其在新知识的教学中应严格遵循
学生的认知特点，照顾到学生的个性特点，在课堂教学中要强调教师的主导地位、
充分发挥学生的主体
意识，培养学生良好的思维品质，刚进入高中的学生可塑性
很强，如果教师能因材施教，培养学生学习数
学的兴趣，可以最大限度地防止数
学思维障碍的产生。当然高中数学内容的广度、深度非
初中数学可比，如能给学
生一点发展的空间，适时地发现学生在数学学习中的闪光点并给以适当的鼓励。
帮助他们确立学习的目标，使他们有“跳一跳就能够得着”的感觉。例如函数作
为高中数学内容
中最抽象的部分贯穿始终，学生仅靠课堂是远远不够的，所以在
平时的教学中注重课后的辅导，适时地让
知识“沉淀”一下，随着教学的深入，
学生对函数的理解将会有不同的感受。
2．创造性思维
品质的培养，教会学生思维的方法。首先应当使学生融会贯通
地学习知识，养成独立思考的习惯。在独立
思考的基础上，还要启发学生积极思
考，使学生多思善问。能够提出高质量的问题是创新的开始。数学教
学中应当鼓
励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别。新的课程标准和教材为
我们
培养学生的创造性思维开辟了广阔的空间。
批判性思维品质的培养，应该把重点放在引导学生检查和
调节自己的思维活
动过程上。要引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用了哪些基本
的思考方法、技能和技巧，它们的合理性如何，效果如何，有没有更好的方法；
学习中走过哪些弯路，
犯过哪些错误，原因何在。
现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如
何
在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课
题。孔子说：
“学而不思则罔，思而不学则殆”。在数学学习中要使学生思维活跃，
就要教会学生分析问题的基本方法
，这样有利于培养学生的正确思维方式。要学
生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎
实的双基，思维能力
是得不到提高的。
数学概念、定理是推理论证和运算的基础。在教学过
程中要提高学生观察分
析、由表及里、由此及彼的认识能力；在例题课中要把解（证）题思路的发现过<
br>程作为重要的教学环节，仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样
做，是什么促使你
这样做，这样想的；在数学练习中，要认真审题，细致观察，
对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能
力，会运用综合法和分析法，并在解
（证）题过程中尽量要学会用数学语言、数学符号进行表达。 <
br>此外，还应加强分析、综合、类比等方法的训练，提高学生的逻辑思维能力；
加强逆向应用公式和
逆向思考的训练，提高逆向思维能力；通过解题错、漏的剖
析，提高辨识思维能力；通过一题多解（证）
的训练，提高发散思维能力等。
3．开展问题教学：问题是数学的心脏，数学问题是数学思维的动力，
并为思
维指出了方向；数学思维的过程也就是不断地提出问题和解决问题的过程。课堂
教学是实
施素质教育的主渠道，而把素质教育落实到课堂教学中，恰恰是以问题
解决作为中介的。因此，在数学课
堂学习中，教师要不断向学生提出不同层次的
数学问题，为更深入的数学思维活动提供动力和规划方向，
使数学思维活动持续
不断地向前发展。
例：已知直线
l:y?4x
与点<
br>P(6,4)
，在直线
l
上求一点
Q
使得直线
PQ<
br>，直线
l
及
x
轴在第一象限内围成的三角形面积最小？
拿出
问题并给学生一定时间的思考后提问学生解决的方案，中等程度的学生
仍旧回答不出。我在此时提出这样
的两个问题让学生思考：①解决最值问题的基
本方法是什么？（建立目标函数和数形结合
） ②在本题中影响三角形面积的因
素是什么？（直线
PQ
的位置或直线
l<
br>上点
Q
的位置。）这样一来就可设点
Q(a,4a)(a?1)
或直线
PQ:y?4?k(x?6)
，设三角形面积为
S
，接下去的问题就
是建立一个
S
关于
a
或
k
的目标函数，这是一个数学建模的
过程。这样学生在数
学思维上的障碍在教师的问题引导下就实现了突破，而且以后遇到类似的问题时也会按照这样的思维途径去寻找问题解决的方案。
4．诱导学生暴露思维过程，提倡教学反思。
诱导学生暴露思维过程能让教
师明白学生思维的问题所在，如果能在教师的指导下自觉地对自身的思维活
动进
行反思、调整。教师应该可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过
程上。要引
导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用了哪些基本的思
考方法、技能和技巧，它们的合理性
如何，效果如何，有没有更好的方法；学习
中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。批判性思维的培
养，有赖于教师根
据学生的具体情况，有针对性地设计反思问题，以引起学生的进一步思考。通过
反思可以促使学生提炼数学思维方法，改进数学思维的习惯，促使新的认知结构
的重组和完善。 <
br>1
例：已知点
M,N
分别是圆
(x?2)
2
?y2
?
和椭圆
4x
2
?y
2
?4
上的动
点，试
4
求
|MN|
的最大值。
大部分同学的解决方法是分别利用
椭圆和圆的参数方程去建立目标函数，但
是问题随之而来：二元函数的最值问题不是高中阶段所能解决的
。思维遇到障碍，
此时教师适时地加以引导：既然问题的症结在于存在两个变量，那么就可以先把
一个定下来：取椭圆上的一点
N
考察，其最大值应是过圆心的连线再加上半径；
而整
个问题就转换成圆心与椭圆上所有点的连线中哪个长度最大的问题了。
培养学生的思维能力，让学生学
会数学地思维是我们数学教学的基本任务之
一。我们应该从“教”与“学”的两方面去深入研究，真正做
到教学相长，在根
本上促进学生数学思维能力的的提高。