高中数学常见数学思想应用举例

高中数学常见数学思想应用举例
河北涉县第一中学（056400）张建军
随着新课标的不断深入，数学思想在中学数学教学中的体现和功能引起了广大师生的普遍关注。本文
试从 高中数学中常见的六种数学思想应用举例入手，阐述数学思想的重要性，希望引起师生对数学思想的
高度 重视。
1.函数思想：
函数是高中数学的重要内容之一，其理论和应用涉及各个方面，是 贯穿整个高中数学的一条主线，函
数思想，系最重要的，最基础的数学思想方法之一，是进一步学习数学 的重要基础，与代数式、方程、不
等式等内容联系非常密切。我们这里所说的函数思想，是指运用函数的 概念和性质去分析问题、转化问题
和解决问题。
【应用举例】：
建造一个容积为8 立方米深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元
和80元，那么水池 的最低总造价为 元。
分析：粗看此题，感觉无从下手，没有思想，无突破口，但如果我们心中有函数这一思想， 构造出
变量之间的函数关系式，问题得到解决。
解：设池底的长为
x
米，则 宽为
4
米,总造价为
y
元
x
8
22x?)?80
那么:
y
=
480?（
x
8
（2x+)?480
=
160
x
8
当且仅当
2x=
即x=2时，y
min=1760(元)
x
∴最低造价为1760元。
2.方程思想：
方程思想是最基本，也是最 重要的数学思想方法之一。它从对问题的数量关系分析入手，运用数学语
言将问题转化为数学模型，通过 解方程或方程组使问题获解。
【应用举例】：
已知二次函数
y?ax?bx?c
的图象的顶点为 (-1,2),且图像过点（0,-1），求这个函数的解析式。
分析：见到本题，多数同学都能说出 用待定系数法，殊不知待定系数法体现的数学思想就是方程思想，
本题中找到三个独立的条件，列出三个 方程组成方程组，问题得到解决。
解：根据题意，列方程得：
2

1

?
?
c??1
?
a??3
?< br>b
?
?

??1

?
?
b??6

?
?
?
c??1
?
2a
2
?
?
4ac?b
?2
?
4a
?
所以：解析式为
y??3x
2
?6x?1
.
3.整体思想：
解数学问题时，人们习惯于化整为零，各个击破，有时，研究问题若能有意识 地放大考察问题的“视
角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过对整体结构的调节和转化使问题获解 。
【应用举例】:
某长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）

A.23

B.14

C.5

D.6

分析：考察运用方程思想，有四个变量，而题中只给出两个独立条件 ，问题难以解决，若充分运用“整
体代入”思想，问题得到解决。
解：设长方体的长、宽、高 分别为
a,b,c
，对角线长为
l
，依题设有：
?
2ab ?2bc?2ca?11
?
2(ab?bc?ca)?11
?
??
?
4a?4b?4c?24
?
a?b?c?6
又因为:
l?a?b?c ?(a?b?c)?2(ab?bc?ca)
2222

?6
2
?11

?5
故选C。
4.分类讨论思想
分类讨论是数学中的一种重要思想方法，这种思想方法几乎涉及中学数学内容的各个部分，进行分类的关键是认识为什么要分类讨论，只有明确了讨论的原因，才能准确、恰当地进行讨论。
【应用举例】：
若
log
a
3
?1,(a?0，且a?1 ）
，求实数a的取值范围。
4
33
?log
a
a?a?,结合a?1

44
2
分析：对数的底一般分为
a?1和0?a?1
两类，然后结 合函数的性质，问题得到解决。
log
a
解：
当a?1　时，

即
a?1
。
当　0?a?1时，log
a
即
0?a?
33
?log
a
a?a?,结合0?a?1

44
3
。
4
3
或a?1
。
4
综上：a的取值范围为：
0?a?
5.数形结合思想：
数与形是数学中两个最古老，也是最基本的问题，在一定条件下转化，借助其图形背景，可使哪些抽
象的概念，复杂的数量关系几何直观的表现出来，以便探求解题思路或找到问题的结论。
【应用举例】：
k
为何值时，方程
3
x
?1?k无解，有一解？有两解？

x
分析：若直接解方程，难以奏效，若画出函数
k?3?1
的图像，数形结合 ，分析思考，一目了然。
解：画出函数
k?3?1
的图像，

x


k
1
观察得 ：
k?0或k?1时，一解，



k?0时，无解，
0?k?1时，有两解。
6.转化与划归思想：
0
x
解析几何把几何问题转化为代数问题，立体几何常将空间问题转化为平面问题，方程、不等式问题常转化为函数值的取值问题，通过转化可以化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉，直至解决问题。
【应用举例】：
设函数
y?x与y=()
3
1
2
x?2
的图像的交点为
(x
0,
y
0
)
，则
x
0
所在的区间是（ ）。

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

分析：构造函数
G(x)?x?(）
，将求交点< br>(x
0,
y
0
)
的横坐标所在区间问题转化为函数
G (x)
的零
点存在问题，运用零点存在定理，问题得到解决。
解：构造函数
G(x)?x?(）

∵
G(0)??3?0
,
G(1)??1?0
,
G(2)?7?0

根据零点存在定理
G(1)?G(2)?0


3
3
3
1
2
x?2
1
2
x?2

∴ 零点存在区间为
(1,2）

则
x
0
所在区间为
(1,2）
,选
B
。
如上，我们特别强调了六种数学思想及其应用。这六种思想并非独立存在，而是相互渗透，相互关联，< br>而数学问题的解决过程，就是不断发现问题，分析问题，直到归结为熟知问题，进而解决的过程，通过上< br>述六种思想及其应用，可见数学思想在解决数学问题中的重要作用。














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