《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计

《函数的基本性质──单调性
与最值》教学设计

《函数的基本性质──单调性与最值》
教学设计

一、内容和内容解析 < br>函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数
的基本性质又是函数一章的重点内容。一方面，
它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数
知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三
角函数有重要的指导作用。另一方面，函数的单
调性与最大(小)值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的
单调性与最大(小)值在解决实际问题中有着相当< br>重要的作用。因此，函数单调性与最大(小)值的
教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有
着重要的现实意义。
函数的单调性最大(小)值是函数的重要性质
之一，它是研究函 数值与自变量变化的一种关
系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研
究函数单调性和最大 (小)值，也要求学生利用函
数单调性和最大(小)值的定义（严谨性）来研究
函数单调性和最 大(小)值。因此本节课的教学重
点是函数的单调性与最大(小)值的概念及其几何

意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大(小)
值，利用单调性和最大(小)值来解 决实际问题，
培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数
学意识。
二、目标和目标解析
1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单
调性的直观认识。 再通过具体函数值的大小比
较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，
由此得出函数单调性的定义。理解函数单调性 的
定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区
间上的单调性。
2、通过实例，使 学生体会到函数的最大（小）
值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，
因而借助函数图象 的直观性可得出函数的最大
（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。
理解函数最值的定义 ，掌握求最值的基本方法和
基本步骤，能解决相关实际问题。
3、利用函数的单调性和图象求 函数在闭区间上
的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，
增进对数学应用价值的认识，激 发学习数学兴趣
与热情。

4、学会运用函数图象理解和研究函数的 性质，
利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养
学生数形结合的思想和应用数学意识。
5、函数单调性和最大（小）值的研究经历了从
直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，
让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成
过程。培养学生的探究能力和创新精神，体验到
思考与探索的乐趣，培养学生勇于探索，善于研
究的精神，挖掘其非智力因素的资源，培养学生
良好的思维品质。
三、教学问题诊断分析
函数的单调性这一性质学生在初中曾经接
触过,但只是从图象上直观分析图象的上升与下
降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确
的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从
直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困< br>难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。在函
数的单调性的概念教学中，学生往往在理解“任< br>意两个”、“都”这两个词的含义出现障碍，误认
为“有两个”、“某两个”，而教学中利用函数 的图
象，举一些反例加以理解巩固。函数的单调性一
定与某个区间相对应，而学生容易犯“某个 函数

单调递增（减）函数”这一错误。“函数在（-∞，
在
0）上y随x增大而减少，在 （0，+∞）上y随x
的增大而减少。”而学生容易错误理解函数
定义域内是减函数，即把两个 单调区间进行合
并；分别在区间上取两个数-1和5，-1<5，而
f(-1)说明。单调性的证明是学生在函数内容中首次接
触到的代数论证 内容，学生在代数论证推理方面
的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么
是代数证明，也 没有意识到它的重要性，所以单
调性的证明自然就是教学中的难点。在证明过程
中，有些学生在 作差变形中，缺乏相应的运算变
换能力，在教学中多举一些例子，多让学生接触
一些不同类型， 然后进行必要总结（通分，因式
分解，有理化，配方等），要变形到最后能判断
符号为止，千万 不能想当然，或中间“烂肚子”
而直接下结论。对于函数的最大（小）值的定义，
在初中也只有 定性的研究，而现在要求定量探
讨，用准确的数学语言来描述。学生对“任意”、
“都”、“存 在”这些词的含义不容易理解，利用求
函数的最值，讨论函数（x>0）
单调区间等具体的例子 加以巩固。

四、学习行为分析
学生在学习本节内容之前已经学习 了函数
的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二
次函数，反比例函数的函数值y与变量x 之间的
关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，
这为理解函数的单调性和最大（小）值奠 定了一
定的基础。但另一方面，以前对函数的单调性和
最大（小）值的研究是一种定性的研究， 侧重于
直观的思维，而本节内容是要对函数单调性和最
大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思 维能力，
这给学生的学习带来了较大的困难。因此，在教
学过程中，多创设熟悉的问题情景：如 在引课中
利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函
数，上课中所举例子都是一些常见的函 数来加以
落实。在定义教学中，多给学生思考问题的时间
和空间，引导学生观察，归纳，总结。 特别利用
数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数
学语言来描述，以便于学生的理解和掌 握。利用
类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学
生自己得出相应减函数的定义；当介绍 了函数最
大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的
定义；便于学生进一步加深对定义的理 解。对于

一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数
在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在 （0 ,+∞）上
y随x的增大而减少，则函数在定义域内是减
函数”。“所有函数是否都有最大（小 ）值？”、“函
数在相应的区间内是否一定有单调性？”。还有
一些比较复杂的问题：“确定函 数的单调区间”
等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，
培养学生的自主探究能力。
五、教学支持条件分析
函数的单调性和函数的最大（小）值这一性
质学生在初中接触 到过，但只侧重于图象上直观
分析，而现在要求把它上升到理论的高度，用准
确的数学语言去刻 画它。这种由形到数的翻译，
从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较
困难的，为了突破这 一难点，充分发挥信息技术
的辅助教学的功能。在概念教学中，首先利用多
媒体技术画出函数y =x， y=x
2
，，y=x
3
相应的
函数的图象，然后在函数上取 不同的点，由学生
观察函数的值y随x的变化而变化的规律，化静
为动，化抽象为直观，便于学 生理解。对于概念
中的一些关键字词，比如 “任意”、“都”、“存在”
在多媒体课件中用不同的颜色加以标明，便于学

生加深印象。对于一些容易出错的问题采取小组
讨论法，纠错法。例如教师提出“讨论函数的< br>单调性”，让学生分组讨论，然后推荐代表发言。
有学生会回答是“递减函数”，理由是“图形的 形
状是下降”。也有同学会回答“不是单调函数”，
理由是“因为x
1
=-1 ，x
2
=1时，x
1
2
，这时
f(-1)函数，同样也不是增函数”。也有同学会回答“函
数在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)也是减少，理
由是可以用定义来证明之。根据学生的不同 回
答，首先让其它组的同学予以纠正，充分发挥学
生的力量；当学生碰到困难时，教师予以引导 ，
点拨，最后统一结论。对于例（3）学生熟悉的
烟花问题，可采用自学导学法，首先让学生通 读
题目，理解题意，然后利用多媒体演示动画模型，
激发学生学习兴趣；接着相互讨论，共同解 决。
最后学生提问，教师答疑，师生共同小结求最值
的基本方法。
六、评价设计 < br>《高中数学课程新标准》中提出：“对学生数
学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成与发

展；既要关注学生数学学习 的结果，更要关注他
们在学习过程中的变化和发展。”根据新课程标
准的要求，发展性评价的核 心是关注学生的发
展、促进学生的发展，实现评价发展性功能的一
个重要举措就是突出评价的过 程性，评价将贯穿
于教学的整个过程，将学生在数学学习活动过程
中的全部情况都纳入评价的范 围，而不只是评价
学生的学习的结果。在本教学设计过程中，始终
注重过程评价，注重评价的针 对性，实效性。主
要体现在三个方面：一是基础知识掌握情况的评
价。对函数的单调性和函数的 最大（小）值的定
义能否深刻的，全面的理解，特别是一些关键字
词，如“任意两个”、“都” 、“存在”的理解。举出
正面和反面的例子让学生辨别，个别评价与集体
评价相结合。二是基本 技能掌握情况的评价。主
要包括函数单调性判断的基本方法（图象法，定
义法，复合函数法）， 如何选择不同的方法。证
明函数单调性的基本步骤和基本策略（主要是作
差变形的策略），单调 区间的确定。求最值的基
本方法的掌握情况等。三是数学思想的落实和数
学探究能力培养的评价 。运用函数图象理解和研
究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象

（草图），提升学生数形结合的思想。函数单调
性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自
主探究活动，体验数学概念的形成过程。让学生真正参与到数学活动中来，让学生真正成为学习
的主人。
（具体的教学评价见教学过程）
七、教学过程设计
设计环节 设计意图 师生活动



“问题是数
学的心
一．创设脏”，把问
情境，导题作为出
出问题 发点，为下
一步提出
探索性的
问题创设
有效的学
习环境。
学校准备建
造一个长方形的花坛，周长
设计为16米。由于受周围
地理位置限制，其中 一边的
长度既不能超过6米，又不
能少于1米。
问1、建立面积y与一边长x
的函数关系式。
生：y=x(8-x) (1≤x≤6)
教师提出问题：

问2、画出上面函数的图象。
问3、指出y的值与x值的
变化关系。
生：当1≤x≤4时，y随x值
的增大而增大，
当4≤x≤6时，y随x值的增
大而减小。
以实际问问4、求出面积的最大值与
题为背景、最小值。
以学生熟生：当x=4时， S
max
=16m；
悉的一元当x=1时，S
min
=7m
二次函数引导学生解决，体会函数单
为入口点，调性与最大（小）值在实际
激活学生中的应用 。
原有的认
知，让学生
对所要学
的新知获
得感性的
认识。
从形象、直请学生分别画出下列函数
观的图形的图象，并探讨函数值y与

入手，为探自变量x之间的关系：
y=x ， y=x ， y= ， y=x
3

学生动手画图，个别板演，
集体探讨函数值与自变量
之间 的关系，教师适当引
导。
二、借助索与思考
信息技问题提供
术，利用方向和 “路
熟悉的函标”，并借
数，给出机发展学
单调性直生的动手
y=x在R上y 随x的增大而
观认识。 实践能力、
增大。
创新能力、
y=x在(-∞,0)上y随x的增大
和探索能
而减少，在(0,+∞)上y随x
力。
的增大而增大。
y=在（-∞，0）上y随x的
增大而减少,在 （0，+∞）上
y随x的增大而减少。
y=x
3
在R上y随x的增大而
增大。
教师利用信息技术，动画演
示函数的图象。
三、从定
性到定
量，引出
怎样用数学语言表示y=x在
R上y随x的增大而增大
呢？（学生讨论，教师引导，

单调性的从定性描得出增函数的定义） (学生
定义，并述到定量不一定一下子答得比较完能深刻理描述，从通整，教师应抓住时机予以启
解定义的俗的日常发，纠正，补充)。
含义。 用语到严一般地，设函数f(x)的定义
谨的数学域为I：如果对于属于I内
语言，让学某个区间D上的任意两个自
生学会抽变量值x
1
、x
2
, 当x
1
2
时,都
象概括，学有f(x
1
)< f(x
2
).那么就说f(x)
会逻辑地、在这个区间D上是增函数
合理地思 (increasing
考问题。


function)

用类比的方法得出减函数
注意数形
的定义：
结合，定义
如果对于属于I内某个区间
是严谨的
D上的任意两个自变量值
语言，图象
x
1
、x
2
,当x
1
2
时,都有
是直观的
f(x
1
)> f(x
2
).那么就说f(x)在
语言，注意
这个区间D上是减函数
两者有机
(decreasing

的结合。



利用类比
方法，实现
知识与能
力的迁移
教师提出
问题，让学
生在自主
function )
如果函数y =f(x)在某个区间
D上是增函数或减函数。那
么就说函说y=f(x)在这一区
间 具有（严格的）单调性，
区间D叫做y= f(x)的单调区
间.
1、“函数y=x
2
是单调递增函
数”这一说法对吗？
探索，讨
2、y=在（0,+∞）上是减函
论，在合作数 ，在(-∞,0)是减函数，能
交流中，充否说函数在整个定义域上
分体现学是减函数？
生学习的3、函数在某个区间是否一
主体性，对定具有单调性？
概念进一4、如何理解定义中“任意”
步深入的两个字？
领会。
四、讲解 1、 教材例（1）p34讲解：

例题、巩例（1）是让学生自己通看教材，学生

固知识，利用函数提问，学生自行解决，师生
提高
力。
能的图象来共同总结：
判断函数（1）单调性与端点无关。
的单调性，（2）判断函数的基本方法
具有直观-----图象法。
性，也是常2、 教材例（2）p34讲解：
用方法。 教师板演，师生共同总结：
（1） 判断函数的基本方法
-----定义法。
（2） 总结定义法证明单调
例（2）是性的基本步骤：
利用单调 1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
性的定义 2 作差f(x
1
)-f(x
2
)；
来证明函3 变形（因式分解、配方、
数的单调通分有理化）；
性。通过本4 定号（即判断差f(x
1
)－
题的讲解，f(x
2
)的正负）；
具有严谨⑤下结论（指出函数f(x)在
性，能加深区间D上的单调性）
对定义的3、在解题中，根据题目的
理解。 实际情况和具体要求，选择
适当的方法。

从熟悉，具
函数入手，积的最大值与最小值
探讨最大，分析上面图象可以发现，函< br>五、回归
引例，探
最小值，让数y=x(8-x) (1≤x≤6)的图象
学生 有感上有一个最高点（4，16），
任意的x∈［1,6］,都有f(x)

≤f (4),当一个函数f(x)有最
高点，我们就说函数有最大
值。有一个最低点（1，7），< br>任意的x∈［1,6］,都有f(x)
重新
体的二次演示引例函数的图象及面
性 认识。
讨最大

（小）值

的含义


用数学语≧f(1),当一个函数f(x)有最
言描述最低点，我们就说函数有最小
大 值，最小值。而函数f(x)=x的图象没
值。 有最高点也没有最低点，所
以函数f(x)=x没有最大值，
也没有最小值。
六、归纳 得出函数最大值的定义：
最大(小）从特殊到一般地，设函数y=f(x)的定

值的定一般，揭示义域为I，如果存在实数M
义，并加数学通常满足：
以说明，的发现过⑴ 对于任意的x∈I,都有
解释 程，便于学f(x)≤M；
生接受。 ⑵存在x
0
∈I，使得f(x
0
)=M
那么，我们称M是函数
y=f(x)的最大值（maximum
value） 利用类比让学生仿照最大值的定义，
方法，实现给出函数y=f(x)的最小值的
知识与能 定义（minimum value）。
力的迁移 一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数M
满足：
⑴ 对于任意的x∈I,都有
教师提出f(x)≥M；
问题，让学⑵存在x
0
∈ I，，使得
生在自主f(x
0
)=M
探索，讨那么，我们称M是函数
论，在合作y=f(x)的最小值（maximum
交流中，对value）
概念进一

步深入的
领会。
1、函数y=x、y=有没有最
值？
2、如何理解定义中的“存
在”“任意”的含义？
3、以前求最值有哪些方
法？


例(3）、例(4)的教学采用自
学导学法，按以下步骤实
例(3)是学施：
生熟悉的1、 学生通读题目，理解题
烟花问题，意
七、函数
单调性、
可转化为2、 利用多媒体演示动画，
二次函数激发学生学习兴趣。
来解决，难3、 学生自学，相互讨论，
最大（小）
度不大。 共同解决。
值应用
4、 学生提问，教师答疑。
5、 师生共同小结求最值的
例(4)是单基本方法：
调性与最（1）转化为二次函数的最
值问题的值问题。
综合，具有①配方法

一定的难②注意实际问题的条件限
度。注意转制。
化为反比（2）利用函数的单调性求
例函数，利最值------在闭区间上。
用数形结①先证明在在闭区间上具
合。 有单调性。
②端点值即为函数的最值。
利用课堂课堂练习：
练习巩固课本第38页练习1、练习2、
所学的知练习3、练习4。
识内容，数学生独立思考与讨论相结
学思想，数合，教师巡查，个别辅导与
学方法，以集体辅导相结合。
八、练习、
达到教学
交流、反
目标，本环
馈、评价
节以个别
辅导为主，
体现面对
全体学生
的课改新
理念。
九、课堂通过学生知识小结：

小结 自我小结，1、函数单调性，最大（小）
既充分发值的概念。
挥学生的2、判断函数单调性的基本
主观能动方法。
性，提高学3、用定义法判断函数的基
生分析，概本步骤
括，综合，4、求最大（小）值的基本
抽象能力，方法。
又有利于师生、生生互动：
学生把新1、你觉得本节课中印象最
知融入自深的是什么？
己已有的2、你觉得本节课中最大的
知识体系。 困惑是什么？
让学生提问题，自行解决，
教师适当补充。
十、布置沟通课内作业布置
作业 与课外，使1、 书面作业：课本P
45
习
学生基础题1．3（A组） 第1- 5题．
性学力与2、 研究性作业：设f(x)是
发展性学定义在R上的增函数，
力协调发f(xy)=f(x)+f(y)，
展，让不同1）求f(0)、f(1)的值；

学生得到2）若f(3)=1，求不等式
不同的发f(x)+f(x-2)>1解集
展。
八、设计反思
在普通高中数学课程标准强调高中数学活动
中的师生互 动，明确指出“必须关注学生的主体
参与，师生互动”进行在教师指导或引导下“数学
化”过程 ，“再创造”过程。建构主义认为，知识
是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用
过程中 ，通过同化和顺应，使自身的认知结构得
以转换和发展。备课不只是对知识和教学内容的
准备， 也包括对学生、学情的分析和掌握.二者
的和谐统一是提高教学效果的基本要求。发现、
探究、 讲解、演练相结合教学法的确立，就是基
于对学生认知基础和认知规律的关注。
在整个的设计 过程中，始终体现以学生为中
心的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设
问和引导，关注学 生的认知过程。强调学生的品
德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流
和合作，重视探究 问题的习惯的培养和养成。同
时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不
同的学生都有发展 ，体现因材施教的原则。通过

讨论交流，进一步加深对概念的理解，完善认知
结构，让学生在“平衡－－不平衡－－新平衡”
中不断得到丰富和发展。通过讨论交流，实现生
生互助，丰富情感体验；实现师生互助，活跃课
堂气氛。