以 直 代 曲

以 直 代 曲 精 妙 纷 呈
江苏省新海高级中学222206潘彩
“ 以直代曲”在微积分中是最基本、最朴素的思想方法，在新的课程准标中也被提到
了相当的高度，因此， 新教材中(如苏教版必修②及选修2-2)按排了丰富的例题和习题，旨
在引导学生体会“无限逼近”、 “量变到质变”与“近似与精确”的哲学原理，为教师和学生
的活动提供了广阔的思维空间，以期促进教 学方式和学习方式的改变．本文通过以直代曲在
求变化率（导数）、面积体积（定积分）、函数最值及证 明不等式等方面的应用向读者展示这
一思想方法精妙所在．
1.求变化率(导数)
例1．（苏教版1-1P
84
T12改编题）设曲线
y
围成的封闭图形的面积 为
S(t),
求
S
分析：不少同学想先求
S(t),
再求< br>S
'
'
?x
3
(x?0)
与直线
y?0及
x?t(t?0)

y
(t)
.
(t)
,而在学习
y?x
3
(x?0)

定积分之前
S(t)
很难求出,因而相当一部分同学
无从下手,若能从S
'
?t
的逼近值)入手，当自变量t增加
?t
后,图形增加的 曲边
梯形可以近似地看成矩形,运用以直代曲思想则容易解决.
解：设
?t
表示自变量t的增量,
?s
表示图形面积的增量(如图)
3
当
?t
很小时,
?s
可以看成是长为
t
,宽为
?t
的小矩形的面积,即
?s
O
(t)
的本质(即当
?t?0
时
?s

t
t??t

x
?t
3
??t

?s
3
?s
故
?t
,当
?t?0
时, 无 限趋近于
t
3
,即
S
'
(t)
=
t
3

?t
?t
例2. （苏教版选修1-1
P
84
T3
）（如图）酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm
水以20
cm
2
s
的流量倒入杯中，当水深为4cm时，
6
求水升高的瞬时变化率.
分析：本题一般思路先建立体积V与水深h的等量关系，
8
然后用导数定义，或等式两边对时间t求导，还可以求
4
h关于t的函数,再求导,但都比较麻烦,实际上，所求水升高
的瞬时变化率，即求当水深为4cm时，水升高的增量
?h
与 时间增量
?t
的比值，因此只需建立
?h
与
?t
之间的 关系即可，
当
?t
很小，水增加的形状可近似地看圆柱（实际上是圆台 ），其体积等于倒入水的体积，立

得
?h
与
?t
之间的关系．
解：显然，当 水深为４时，水面直径为３．设经过
?t
ｓ后水面升高了
?h
，此时，水增加 的
9
?
?h9
?
?
3
?
形状可近似地看圆 柱，则
??
?
?h?20?t
，故即水升高的瞬时变化率为
cms< br>
?
80
?t80
?
2
?
评注:以上两例打 破定势思维,直抓问题的本质，运用以直代曲的思想方法破题,解法新颖别
致，给人耳目一新之感.
2
2.求面积、体积(定积分)
例3. （苏教版必修②
P
61< br>T11
）设半径为r的圆的面积为
S?
?
r
2
，试推 导圆周长公式
c?2
?
r
．
分析：我们知道当圆环的内外半径无限 接近时即为圆，所以，圆可以近似地看成圆环，因此，
考虑当圆的半径由
r变为r??r
所增加的圆环面积与以圆环内外周长为长，
?r
为宽的两矩形
面积的关系，运用“两 边夹”思想解决问题．
解:如图；设
?r
为一个正数,考虑半径分别为
r< br>和
r??r
的两个同心圆所围成的圆环.此圆
222
环的面积为
s
0
?
?
(r??r)?
?
r?2
?
r ??r?
?
(?r)

△r
△r+r
r
c
1
C
2
△r
c
1
△r
C
2
s1

s
2


设
s
1
是以 小圆周长
c
1
为长,
?r
为宽的矩形面积,
s
2< br>是以大圆周长
c
2
为长,
?r
为宽的矩
形面积, 可以看出:
s
1
?s
0
?s
2
，故有
c< br>1
?r
即
c
1
?
2
?
r??r?< br>?
(?r)
2
＜
C
2
?r

?2
?
r?
?
?r
＜
c
2

当
?r
越来越小(趋于0)时,大圆周长
c
2
和小圆周长
c< br>1
就趋近于圆周长C,且
?
?r
趋于0,因

此 ,
C?2
?
r?C
,从而半径为ｒ的圆的周长为
c
例4.若 球的表面积公式
S
球
2
?2
?
r

43
?4
?
r
,试导出球的体积公式
V
球
??
r

3
分析：我们可以把半径
r
的球近似地看成是由 若干个厚度为
?r
的球壳构成，其体积等于这
些球壳的体积之和，而当
?r< br>趋近于0时, 球壳的体积可用长方体体积代替，即近似地等于
其面积与厚度之积，从而可求球的体积．
解: 设球的半径为
r
,则其表面积为
S(r)
,体积为
V(r)
,将半径
r
分割成
n
等分,各分点到
球心的距离分别为
r< br>1
,r
2
???
r
n
,则
V(r)?S(r
1
)?r?S(r
2
)?r?????S(r
n
)?r
?S(r
2
)?r?????S(r
n
)?r
无限趋 近于
V(r)
,
r
2
当
?r
无限趋近于0时,
S(r
1
)?r
r
4
3
由定积分定义可知
?
S(x)dx?V(r)?
?
4
?
xdx?
?
r

00
3
故表面积为
S
球
4
?4
?
r
2
的球的体积公式
V
球
?
?
r
3

3
评注:在老教材中,圆的周长是直接给出的,球的体积是由祖暅原理导出(参 考模型很难想到)
上述二例利用以直代曲，无限逼近(两边夹)的思想方法处理面积体积问题,这正是新 课标所
倡导的.
3.求函数的最值
例
222
3a?a3b?b3 c?c
?
??
5.设
a,b,c?R
且
a?b?c?1,求
u?
的最
222
1?a1?b1?c
小值
分析: u是关于a,b,c的轮换式,可以猜想当
a?b?c?
1
时取得最小值,但运用函数 或
3
不等式知识很难破题,若考虑到函数
线的关系，以直代曲,则容易获解.
3x
2
?x
1
f(x)?
(0x?
处的切
3
1?x
2
3x
2
?x
1
解:考虑曲线
f(x)?
(0x?
处的切线方程
2< br>3
1?x
x
2
?6x?1
11
9
'
1
'
1
,
f()?
故切线方程为
y?f()?f()(x? )

f(x)?
22
333
310
(1?x)
'

即
y?
91
(x?)

103
3x
2
?x91
?(x?)
下面证明当02
103
1?x
3x91
1
2
等价于证
(?)(x?)?0
即证
(10x?3x?3)(x?)?0

2
3
3
1?x
10
1
2
整理后即为< br>3(x?3)(x?)?0

3
由0x?
1
时取等号
3
3a
2
?a91
?(a?)
于是有
2
103
1?a
3b
2
?b913c
2
?c91
?( b?)

?(c?)
同理
22
103103
1? b1?c
3a
2
?a3b
2
?b3c
2
?c9???(a?b?c?1)?0
以上三式相加可得
222
10
1?a1 ?b1?c
即u的最小值为0,当且仅当
a?b?c?
1
时取得.
3
评注：本题一反求最值的常规,构造函数,用过某点处的切线来代替曲线(也是一种放缩变换)
来求最值,构思精巧,方法独特.
4.证明不等式
1
p
?2
p
?????n
p
1
?,n?N
*
例6．设
p?0
，求证：
p?1
p?1
n
分析：本题若用均值不等式或数学归纳法均 不易证，
若将左边化为
()?
y
1
n
p
12< br>p
1n1
?()??????()
p
?

nnnnn
p
则可把它视为函数
y?x
在[0,1]上分割面积和，
而右边
1
1
?
?
x
p
dx
正是曲 边三角形的面积，
p?1
0
Ａ
O

p
证明：考虑函数
y?x
（p>0）在[0，1]上n等分分割（如图）
由图形即可知不等式成立。
1
n

Ｂ
１
ｘ

1
p
12
p
1n
p
1
1< br>p
?2
p
?????n
p
这n个小矩形的面积之和为
()??()??????()?
=
n
p?1
nnnnnn
这些小 矩形的面积之和显然大于曲边三角形OAB的面积
?
1
0
x
p
dx?
1

p?1
1
p
?2
p
???? ?n
p
1
?,n?N
*
即
p?1
p?1
n
?
原不等式成立.
评注：本题证明看似 新奇，实际上运用的都是新课标中提倡的最基本的数学思想方法，如分
割求和，数形结合，以直代曲等.
以上从四个方面说明以直代曲思想方法的简单应用，为我们处理数学问题提供了新的视
角，新的 途径，用心体会，回味无穷.