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分类讨论思想

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 07:49
tags:高中数学思想方法

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2020年9月19日发(作者:舒春光)



分类讨论思想
摘要:分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数
学思想, 这种思想在简化研究对象,发展思维方面起着重要作用。
关键词:分类,化归,综述
数学方 法是研究数学学习和数学问题等活动的步骤、程序和格
式,具有可操作性和具体性,而数学思想则是指贯 穿于数学方法中
的普遍原则、策略及规律,它具有普遍性与概括性。能否利用数学
思想解答数学 问题,是衡量数学能力和素养高低的重要指标,在高
考中除考查基本知识、基本技能、基本方法的基础上 也特别重视数
学思想的考查。在高考中主要考查的数学思想有:函数与方程的思
想,等价转化的 思想,分类讨论的思想及数形结合的思想。以下就
分类讨论思想谈一点浅薄的认识。
所谓分类 讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对
象不能进行统一研究,我们就需要根据数学对象的本 质属性的相同
点和不同点,将对象区分为能用不同形式来解决的小问题,将这个
小问题逐一解决 ,从而使整个问题得到解决,这一思想方法,我们
称之为“分类讨论的思想”.有关分类讨论的思想的数 学命题在高
考试题中占有重要地位.
1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一,是历年高
考的重点
⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑思维的特点;



⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多,有利于对学生知识面的
考察;
⑶解决分类讨论问题,需要学生具有一定的分析能力和分类技
巧;
⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关.
2. 分类讨论的思想的本质
分类讨论思想的本质上是“化整为零,积零为整”,从而增加了
题设条件的解题策略.
3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤
⑴确定讨论对象和确定研究的区域的全体范围;
⑵对所讨论的问题进行科学合理的分类(分类时需要做到不重
复、不遗漏、标准统一、分层不越 级);
⑶逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决;
⑷归纳总结,整合得出结论.
4. 明确分类讨论的思想的原因,有利于掌握分类讨论的思想方
法解决问题,其主要原因有:
⑴由数学概念引起的分类讨论:如绝对值定义、等比数列的前n
项和公式等等;
⑵由 数学运算要求引起的分类讨论:如偶次方根非负、对数中
的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对 不等号方向的影响
等等;



⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;
⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论;
⑸由参数的变化引起的分类讨 论:某些含参数的问题,由于参
数的取值不同会导致所得结果不同,或由于不同的参数值要运用不
同的求解或证明方法;
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论,如排列、组合问
题,实际应用题等.
5. 分类讨论思想的类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的;
⑵问题中的条件是分类给出的;
⑶解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的;
⑷涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类
讨论的.
下面谈谈分类讨论思想在解题过程中的应用:
例1、 解不等式
分析:由于实数的绝对值是分类定义的,因此要去绝对值首先
应由 及 确定 的取值范围,然后求出零点 ,对未知数 进行分类
讨论,去掉绝对值符号。
解:当 时,原不等式可化为: ,解之得 ;
当 时,原不等式可化为: ,解之得 ;
当 时,原不等式可化为: ,解之得 ;



综上所述,原不等式的解集为
例2、 已知:双曲线过点 和 ,它的一个焦点为 ,求它的另一
个焦点的轨迹。
分析:由于双曲线的定义带有绝对值符号,所以应根据绝对值
概念进行分类讨论。
解设双曲线的另一个焦点为 则有
(1) 时,则有 ,又 ,所以 ,即所求点 的轨迹为线段ab的
垂直平分线(除去(1,0)点)。
(2) 时,则有 ,即所求 点的轨迹是以 为焦点,中心在(1,
4),长轴为10的椭圆,(除去f),方程为
点评: 以上两例由于数学概念本身是分类给出的,所以当应用
这些概念解题时需分类讨论,这样才能得到正确的 结论。
例3、 设数列 是由正数组成的等比数列, 是其前 项和,
证明:
分析:本题应根据等比数列求和公式的限制条件对 应分情况讨
论。
解:设 的公比为 ,由题设知 ,
点评:本题分类讨论的原因是等比数列的求和公式本身是分类
给出 的,在利用这些公式解题时需分情况作出解答。
例4、已知椭圆标准方程为 ,椭圆的离心率为 ,短轴一个端点
到右焦点的距离为 .



(1)求椭圆c的方程;
(2)设直线l与椭圆c交于a,b两点,坐标原点o到直线l
的距离为 ,求 的面积的最大值.
分析:
圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义,掌
握字母间的基本关系.
解:
(1)设椭圆的半焦距为c,依题意 ,∴所求椭圆方程为 .
(2)设 ,.
①当 轴时, .
②当ab与x轴不垂直时,设直线ab的方程为 .
由已知 ,得
把 代入椭圆方程,整理得,
当且仅当 ,即 时等号成立.当 时, ,综上所述 .
∴当|ab|最大时, 面积取得最大值为 。
点评:本题考查圆锥 曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关
系.对于直线方程,根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因。
在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不
同情况予以考查.这种分类思考的 方法是一种重要的数学思想方
法,同时也是一种解题策略.
分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不



同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础
知识的理解.提高分析问题、 解决问题的能力是十分重要的.正确的
分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.

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